2021-2022学年高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数课后篇巩固提升（含解析）北师大版选修2-2.docx

1、第二章DIERZHANG变化率与导数3计算导数课后篇巩固提升A组1.函数y=lg x在x=1处的瞬时变化率为()A.0B.1C.ln 10D.1ln10解析y=1xln10,函数在x=1处的瞬时变化率为11ln10=1ln10.答案D2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为3x-y+1=0,则()A.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在解析由导数的几何意义可知曲线在点(x0,f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以f(x0)=3.故选B.答案B3.已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f(x)g(x),则()A.x23C.0x23D.x23解析f(x)

2、=x2,g(x)=x3,且f(x)g(x),2x0.x(3x-2)0.x23.答案D4.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0解析切线l与直线x+4y-8=0垂直,切线l的斜率为4.又y=4x3,由切线的斜率为4,得4x3=4,即x=1,切点坐标为(1,1).切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.答案A5.已知偶函数f(x)在R上可导,且f(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在x=-5处切线的斜率为()A.2B.-2C.1D.-1解析由f(x+2)

3、=f(x-2),得f(x+4)=f(x),可知函数f(x)的周期为4,又函数f(x)为偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1),所以曲线y=f(x)在x=-5处切线的斜率k=f(-5)=-f(1)=-1.答案D6.已知f(x)=sin x,g(x)=cos x,h(x)=ln x,则f4+g4-h12=.解析f(x)=(sinx)=cosx,g(x)=(cosx)=-sinx,h(x)=(lnx)=1x,f4+g4-h12=22-22-2=-2.答案-27.已知幂函数y=f(x)的导函数的图像过点1,12,则f(2)=.解析设f(x)=x,则f(x)=x-1,f(1)=12,f(x)=x12

4、.f(2)=2.答案28.在曲线y=4x2上求一点P,使曲线在该点处的切线的倾斜角为135.解设点P坐标为(x0,y0),y=-8x-3,f(x0)=-8x0-3=tan135=-1.x0=2,代入y0=4x02,得y0=1.点P的坐标为(2,1).9.(1)求曲线y=ex在x=2处的切线方程;(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线方程.解(1)y=ex,y=ex.当x=2时,y=e2,故所求切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.(2)设切点坐标为(x0,ex0),在该点处的切线的斜率为k=ex0,故切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),当切线过原点时,有0-ex0=e

5、x0(0-x0),解得x0=1,因此所求切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.10.设曲线f(x)=x上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PRx轴于点R,求RQ的长.解f(x)=x=x12,f(x)=12x-12=12x.f(x1)=12x1.又直线n与m垂直,直线n的斜率为-2x1.直线n的方程为y-y1=-2x1(x-x1),令y=0,得-y1=-2x1(xQ-x1),xQ=12+x1.又知xR=x1,|RQ|=|xQ-xR|=12+x1-x1=12.B组1.在下列四个命题中,真命题的个数为()

6、若函数f(x)=x,则f(0)=0;加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;函数y=x5的导数的值恒大于或等于零.A.0B.1C.2D.3解析f(x)=x在x=0处不可导;加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数;y=(x5)=5x40,所以正确的命题为.答案B2.若指数函数f(x)=ax(a0,a1)满足f(1)=ln 27,则f(-1)=()A.2B.ln 3C.ln33D.-ln 3解析f(x)=axlna,则f(1)=alna=ln27,解得a=3.f(x)=3xln3.f(-1)=ln33.答案C3.正弦曲线y=sin x上有一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角

7、的范围是.解析y=(sinx)=cosx,且cosx-1,1,k-1,1.设直线l的倾斜角为,则由k=tan知-1tan1,且0,).0,434,.答案0,434,4.设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处的切线分别为l1,l2,求a值变化时,l1与l2交点的轨迹.解将y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须=(-1)2+4a0,即a-14.设两交点为(,2),(,2),且.由y=x2得y=2x,则切线l1,l2的方程分别为y=2x-2,y=2x-2,设两切线交点为(x,y),则x=+2,y=.又,是方程的解,由根与系数的关系可知+=1,=-a,代入得x=12,y=-a14.从而,所求的轨迹为直线x=12上的y14的部分.