2021-2022学年高中数学人教A版选修2-3测评：1-1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 WORD版含解析.docx

1、第2课时课后篇巩固探究基础巩固1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是()A.2 160B.720C.240D.120解析第1张门票有10种分法,第2张门票有9种分法,第3张门票有8种分法,由分步计数原理得共有1098=720(种)分法.答案B2.从0,1,2,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()A.100B.90C.81D.72解析分两步,第1步选b,因为b0,所以有9种不同的选法;第2步选a,因为ab,所以也有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知共有99=81(个)点满足要求.答案

2、C3.满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10解析当a=0时,很显然方程有解,此时b可取4个值,故有4个有序数对满足题意;当a0时,需=4-4ab0,即ab1.显然有3个有序数对不满足题意,且分别为(1,2),(2,1),(2,2).共有34=12(个)有序数对,此时满足题意的有序数对(a,b)有12-3=9(个).故满足题意的有序数对(a,b)的个数为4+9=13.答案B4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A

3、.42B.30C.20D.12解析原定的5个节目产生6个空位,将其中1个新节目插入,有6种不同的插法,然后6个节目产生7个空位,将另一个新节目插入,有7种不同的插法.由分步乘法计数原理知共有76=42(种)不同的插法.答案A5.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有种.解析分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c:第四、五块田分别有2种方法,共有22=4(种)方法.(2)若第三块田放a:第四块有

4、b或c两种方法,若第四块放c:第五块有2种方法;若第四块放b:第五块只能种作物c,共1种方法.综上,共有32(22+2+1)=42(种)方法.答案426.已知集合M=1,2,3,4,集合A,B为集合M的非空子集,若对xA,yB,xy恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个.解析当A=1时,B有23-1=7(种)情况;当A=2时,B有22-1=3(种)情况;当A=3时,B有1种情况;当A=1,2时,B有22-1=3(种)情况;当A=1,3,2,3,1,2,3时,B均有1种情况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案177.五个工程队承建某

5、项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有种.解析完成承建任务可分五步.第1步,安排1号,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有44321=96(种)不同的承建方案.答案968.某文艺小组有20人,其中会唱歌的有14人,会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参加演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法?解第1类,首先从只会唱歌的10人中选出1人,有10种

6、不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有10种不同的选法,共有1010=100(种)不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6人中选1人,共有46=24(种)不同的选法.所以一共有100+24=124(种)不同的选法.9.在3 000到8 000之间有多少个无重复数字的奇数?解分两类:一类是以3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排首位有3种方法,再排个位有4种方法,最后排中间两个数有87种方法,所以满足要求的数有3487=672(个).另一类是首位是4或6的四位奇数,也可分三步完成,满足要求的数有2587=560(个).由分类加法计数原理得,满足要求的数共

7、有672+560=1232(个).10.如图是某校的校园设施平面图,现有不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选,求有多少种不同的着色方案.操场宿舍区餐厅教学区解操场可从6种颜色中任选1种着色;餐厅可以从剩下的5种颜色中任选1种着色;宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选一种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理,知共有6544=480(种)不同的着色方案.能力提升1.从集合1,2,3,4,5中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同

8、的直线有()A.18条B.20条C.25条D.10条解析第1步,确定A的值,有5种不同的取法;第2步,确定B的值,有4种不同的取法.其中当A=1,B=2与A=2,B=4时,直线是相同的.当A=2,B=1与A=4,B=2时,直线是相同的.故不同的直线共有54-2=18(条).答案A2.袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有()A.336种B.21种C.104种D.146种解析分三类:当取出一红一白时,有87种不同的取法;当取出一红一黄时,有86种不同的取法;当取出一白一黄时,有76种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=87+86+76=1

9、46(种)不同的取法.答案D3.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列个数为()A.3B.4C.6D.8解析递增的等比数列为1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9共4个.同理,递减的等比数列也有4个,故所求的等比数列有8个.答案D4.现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4100 m接力赛跑,第一棒只能从甲、乙两个人中安排一人,第四棒只能从甲、丙两个人中安排一人,则不同的安排方法共有种.解析若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有43=12(种);若乙跑第一棒,则不同的安排方法有243=24(种),故不同的安排方法共有24+12=36

10、(种).答案365.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级的学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.解析因为甲、乙二人不能担任文娱委员,所以先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有343=36(种).答案366.从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,那么这样的抛物线共有多少条?解第1步,确定c的取值.由题意知c=0,所以c有1种取值方法;第2步,确定a的取值.由于a0,因此b有3种取值方法.根据分步乘法计数

11、原理,知满足题意的抛物线共有N=331=9(条).7.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有54311=60(种)不同的涂色方法.(2)(方法一)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并

12、且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B,D颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,最后D涂B的颜色,有5432=120(种)不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2120=240(种)不同的涂色方法.(方法二)分两类.第1类,C与A颜色相同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有543=60(种)不同的涂色方法.共有54312=120(种)不同的涂色方法.第2类,C与A颜色不同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有543=60(种)不同的涂色方法.共有54321

13、=120(种)不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有120+120=240(种)不同的涂色方法.8.(选做题)如图用n种不同颜色,给图中A、B、C、D四个区域涂色,允许同一种颜色涂不同区域,但相邻区域不能涂同一种颜色.(1)若n=3,共有多少种不同的涂法?(2)若n=5,共有多少种不同的涂法?(3)若n5且nN*,共有多少种不同的涂法?解按题图中A、B、C、D四个区域的顺序依次分四步完成,每步涂一个区域.则:(1)当n=3时,第一步,涂A有3种涂法;第二步,涂B有2种涂法;第三步,涂C有1种涂法;第四步,涂D有1种涂法,所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有3211=6(种).(2)当n=5时,第一步,涂A有5种涂法;第二步,涂B有4种涂法;第三步,涂C有3种涂法;第四步,涂D有3种涂法,所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有5433=180(种).(3)当n5且nN*时,第一步,涂A有n种涂法;第二步,涂B有n-1种涂法;第三步,涂C有n-2种涂法;第四步,涂D有n-2种涂法,所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有n(n-1)(n-2)(n-2)=n(n-1)(n-2)2(种).