2021-2022学年高中数学人教A版选择性必修第一册测评：2-3-2-2-3-4 两点间的距离公式　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 WORD版含解析.docx

1、2.3.2两点间的距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为()A.1B.-5C.1或-5D.-1或5解析由|AB|=(a+2)2+(3+1)2=5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.答案C2.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.21313C.51326D.71020解析直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,63=m11-3,解得m=2.两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6

2、x+2y+1=0.两条直线之间的距离为d=|-6-1|62+22=71020.答案D3.(多选题)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为55,则点A的坐标可以是()A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,2)D.(1,1)解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得|2(1+t)-(1+3t)-1|22+1=55,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选AB.答案AB4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A.

3、3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0解析设P(x,y),则(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2,即3x+y+4=0.答案B5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是()A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知|2-3-6|22+32=|2-3+C|22+32,解得C=-6(舍去)或C=8.故所求直线的方程为2x+3y+8=0.(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的

4、对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.答案D6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的距离为()A.52B.25C.510D.105解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2,-10),由对称性可得光线从A到B经过的距离为|AB|=(-3-2)2+5-(-10)2=510.选C.答案C7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有条.解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由|-k+3|1+k2=1得,k=43,所以直线方程为4x

5、-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.答案28.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m=.解析根据两平行直线之间的距离公式,得|m|25=1,解得m=5.答案59.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.解(方法1)点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.直线l的方程是y=2

6、或x-y+2=0.(方法2)当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时,直线l与点A,B的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.10.已知ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(mR,m30).(1)判断ABC的形状;(2)当BC边上的高为1时,求m的值.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=32,直线AC的斜率为kAC=-23,

7、所以kABkAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此ABC为直角三角形.(2)解方程组3x-2y+6=0,2x+3y-22=0,得x=2,y=6,即A(2,6).由点到直线的距离公式得d=|32+46-m|32+42=|30-m|5.当d=1时,|30-m|5=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.关键能力提升练11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是()A.10B.355C.6D.35解析由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).点P(x,y)在

8、直线2x+y-1=0上,y=1-2x,|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5(x+15)2+95,故当x=-15时,|MP|取得最小值355.故选B.答案B12.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0解析根据题意得,所求直线与直线OA垂直,因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12.所以由点斜式方程得y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.答案A13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中

9、点M到原点的距离的最小值为()A.32B.23C.33D.42解析由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c-7且c-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.答案A14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQl1,点A(-3,-3),B32,12,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为()A.1302B.13+322C.13D.32解析(方法1)如图1,

10、由平行线间的距离公式得|PQ|=322.图1设点P(a,-a-2),点Qa+32,-a-12.则|AP|+|PQ|+|QB|=(a+3)2+(-a+1)2+322+a2+(-a-1)2=(a+3)2+(a-1)2+322+a2+(a+1)2.设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则(a+3)2+(a-1)2+a2+(a+1)2=|MC|+|MD|CD|=13.图2故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+13.(方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=322.图3过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA|=|PQ|.则有PQ􀰿AA.设点A(x0

11、,y0),则x0=-3+32222=-32,y0=-3+32222=-32.因此,点A-32,-32,则|AB|=13.连接AQ,则四边形AAQP是平行四边形,故|AP|+|QB|=|AQ|+|QB|AB|=13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|322+13.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+13.答案B15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14x-y7,则点P到坐标原点距离的取值可以是()A.6B.8.5C.10D.12解析点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14x-y7,-6x3.线段4x+3y=0(-6x3)过原点,点P到坐

12、标原点的最近距离为0.又点(-6,8)在线段上,点P到坐标原点的最远距离为(-6)2+82=10.点P到坐标原点距离的取值范围是0,10.对照选择项知ABC均可.答案ABC16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是()A.y=x+1B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=0解析点M到直线y=x+1的距离d=|5-0+1|12+(-1)2=324,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离d=|

13、0-2|=24,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.答案BC17.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为.解析显然lx轴时符合要求,此时l的方程为x=1;当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.点A,B到l的距离相等,|-2k+1-k|k2+1=|4k-5-k|k2+1,|1-3k|=|3k-5|,解得k=1,l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案x=1或x-y-1=018.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距

14、离等于7510,且直线l1不经过第四象限,则a=.解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为|-2a-1|42+(-2)2=7510,整理得|2a+1|25=7510,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a0,所以a=3.答案319.(2020黑龙江佳木斯一中高二月考)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;(2)求OAB面积的最小值.解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即k

15、x-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d=|-4k+3|k2+1=4,解得k=-724.故直线l的方程为-724x-y-4-724+3=0,即7x+24y-100=0.(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,所以A-3k+4,0,B(0,-4k+3).则OAB的面积S=12|OA|OB|=12-3k+4(-4k+3)=12-9k-16k+24.由题意可知k0,则-9k-16k2(-9k)(-16k)=24,当且仅当k=-34时,等号成立.故OAB面积的最小值为12(24+24)=24.20.在ABC中,A(1,1),B(m,m),C(4,2)(1m4),求当m为何值时,ABC的面积

16、S最大.解A(1,1),C(4,2),|AC|=(4-1)2+(2-1)2=10,直线AC的方程为x-3y+2=0.根据点到直线的距离公式,可得点B(m,m)到直线AC的距离d=|m-3m+2|10,S=12|AC|d=12|m-3m+2|=12(m-32)2-14.1m4,1m2-12m-3212,0m-32214,当m=94时,ABC的面积S最大.学科素养创新练21.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).则(a+2)2+(b+2)2的取值范围是.解析由(a+2)2+(b+2)2联想两点间的距离公式,设点Q的坐标为(-2,-2),又点P的坐标为(a,b),则|P

17、Q|=(a+2)2+(b+2)2,于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即(-2-1)2+(-2-0)2=13,当PQAB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.则Q点到直线AB的距离d=|-2-2-1|12+12=52=522,所以252(a+2)2+(b+2)213.答案252,1322.在x轴上求一点P,使得(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解(1)如图,设直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|=(0-4)2+(4-1)2=5.直线BA的斜率kBA=1-44=-34,直线BA的方程为y=-34x+4.令y=0,得x=163,即P163,0.故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为163,0.(2)作A关于x轴的对称点A,则A(4,-1),连接CA,则|CA|为所求最小值,直线CA与x轴交点为所求点.又|CA|=(4-3)2+(-1-4)2=26,直线CA的斜率kCA=-1-44-3=-5,则直线CA的方程为y-4=-5(x-3).令y=0,得x=195,即P195,0.故距离之和最小值为26,此时P点的坐标为195,0.