2021-2022学年高中数学人教B版选择性第一册课后练习：2-8　直线与圆锥曲线的位置关系 WORD版含解析.docx

1、第二章平面解析几何2.8直线与圆锥曲线的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的延长线交抛物线的准线l于点C,若|BC|=2,|FB|=1,则|AB|=()A.2B.3C.4D.5答案C解析已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A,B在准线上的投影分别为M,N,线段AB的延长线交抛物线的准线l于点C,若|BC|=2,|FB|=1,由BNCAMC,可得BNBC=AMAM+FB+BC=12,可得|AF|=|AM|=3,所以|AB|=|AF|+|FB|=4.故选C.2.已知双曲线中心在原点,

2、且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程为()A.x23-y24=1B.x24-y23=1C.x25-y22=1D.x22-y25=1答案D解析由c=7,得a2+b2=7.焦点为F(7,0),可设双曲线方程为x2a2-y27-a2=1,并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,x1+x2=-2a27-2a2,由已知得-2a27-2a2=-232,解得a2=2,故双曲线的方程为x22-y25=1.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜

3、率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案D解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.4.(多选)已知ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.2+1B.22C.2D.2-1答案ABD解析ABC为等腰直角三角形,如果C=2,圆锥曲线E为椭圆,e=2c2a=A

4、BCA+CB=22.ABC为等腰直角三角形,如果C=4,A或B为直角,圆锥曲线E为椭圆,e=ABCA+CB=12+1=2-1.ABC为等腰直角三角形,如果C=4,A或B为直角,圆锥曲线为双曲线,e=AB|CA-CB|=12-1=2+1.5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为.答案2b2a解析设一个焦点为F(c,0),其中c2=a2+b2,过F且垂直于x轴的弦为AB,则A(c,y0),A(c,y0)在双曲线上,c2a2-y02b2=1.y0=bc2a2-1=b2a.|AB|=2|y0|=2b2a.6.已知直线经过抛物线y2=4x的焦点F,并交抛物线于

5、A,B两点,在抛物线的准线上的一点C满足CB=2BF,则|AF|=.答案4解析CB=2BF,C是直线AB与准线的交点,过A,B作准线的垂线AN,BM,N,M是垂足,准线与x轴交点为K,如图.|BM|=|BF|,|CB|=2|BM|,MCB=6.抛物线方程为y2=4x,则p=2,|KF|=2,|CF|=2|KF|=4,又|CA|=2|AN|,而|AN|=|AF|,|AF|=|CF|=4.7.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.解由已知条件知直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1,整

6、理得12+k2x2+22kx+1=0,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-412+k2=4k2-20,解得k22,所以k的取值范围为-,-2222,+.8.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F2(2,0),O为原点,椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和为23.(1)求椭圆的标准方程及离心率;(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A,B两点,求OAB的面积.解(1)由题意,c=2,2a=23,a=3,b2=a2-c2=1,椭圆的标准方程为x23+y2=1,离心率为e=63.(2)由题得直线l的方程为y=2x+2,代入椭圆方程得13x2+

7、24x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1080,x1+x2=-2413,x1x2=913.|AB|=1+22|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=56313.又点O到直线AB的距离d=21+22=25,SOAB=12d|AB|=122556313=6313,即OAB的面积为6313.关键能力提升练9.已知直线y=k(x+2)与双曲线x2m-y28=1,有如下信息:联立方程组y=k(x+2),x2m-y28=1,消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:(1)当A=0时,该方程恒有一解;(2)当A0时,=B2-4AC0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离

8、心率的取值范围是()A.(1,3B.3,+)C.(1,2D.2,+)答案B解析依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-2-m,即00)的焦点为F,直线的斜率为3且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD中点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2答案ABC解析如图,Fp2,0,直线l的斜率为3,则直线方程为y=3x-p2,联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3p2=0.解

9、得xA=32p,xB=16p,由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2.抛物线方程为y2=4x,xB=16p=13,则|BF|=13+1=43.|BD|=|BF|cos60=4312=83,|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=43+83=4,则F为AD中点.运算结论正确的是A,B,C.11.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案2解析设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1

10、-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.12.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.解(

11、1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,

12、得4-5k2-10k-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或-2305.13.在椭圆x24+y27=1上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离.解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32x+m,代入x24+y27=1,并整理得4x2+3mx+m2-7=0,=9m2-16(m2-7)=0,解得m2=16,即m=4,故两切线方程为y=32x+4和y=32x-4,显然y=32x-4,即3x-2y-8=0距l最近,且最短距离d=|-16+8|32+(-2)2=81313.由3x-2y-8=0,x24+y27=1,得x=32,

13、y=-74,故切点为P32,-74.14.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).(1)求抛物线C的方程;(2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.(1)解由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0.所以=(t+2)2+80,y1+y2=t,y1y2=-t-3.所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1(y1+1)(y

14、2+1)=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=-12,所以k1k2是定值.15.已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)(a-3b).(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;(2)设曲线C与直线y=kx+m(k0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.解(1)(a+3b)(a-3b),(a+3b)(a-3b)=0,a2-3b2=0,x2+3y2=3,即点M(x,y)的轨迹C的方程为x23+y2=1.(2)由y=kx+m,x2+3y2-3=0,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.曲线C与直线y

15、=kx+m(k0)相交于不同的两点,=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)0,即3k2-m2+10.且x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3(m2-1)1+3k2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则x0=x1+x22=-3km1+3k2,y0=kx0+m=m1+3k2.|AP|=|AQ|,PQAN.设kAN表示直线AN的斜率,又k0,kANk=-1.即-1-m1+3k23km1+3k2k=-1,得3k2=2m-1.3k20,m12.将代入得2m-1-m2+10,即m2-2m0,解得0m0).由y=kx,x24+y22

16、=1,得x=21+2k2.记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.()设G(xG,yG),则-u和xG是方程()的解,故xG=u(3k2+2)2+k2,由此得yG=uk32+k2.从而直线PG的斜率为uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k.所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以PQG的面积S=12|PQ|PG|=8k(1+k2)(1+2k2)(2+k2)=8(1k+k)1+2(1k+k)2.设t=k+1k,则由k0,得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t2在区间2,+)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.因此,PQG面积的最大值为169.