2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何测评一训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx

1、过关综合测评第一章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB,AD,BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量答案C解析结合图形,A,B明显错误;AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D错误.2.(2020湖南张家界期末)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对答案C解析ab=-4+0+4=0,a

2、b.-4-2=-6-3=21,ac.bc=-8+0+8=0,bc,故选C.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1答案D解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.4.已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量OG是()A.OG=OA+23OB+23OCB.OG=12OA+23OB+23OCC.OG=16OA+13OB+13OCD.OG=16OA+13OB+23OC答案C解析

3、OG=OM+MG=OM+23MN=OM+23(MO+OC+CN)=13OM+23OC+13(OB-OC)=16OA+13OB+13OC.5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26答案B解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得平面ABCD的一个法向量n=(3,12,4).故四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.6.(2020江西高安期中)已知两个不重合的平面与平面AB

4、C,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由题意,计算n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,计算n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C解析设向量a+b与c的夹角为,因为a+b=(-1,-2

5、,-3),所以|a+b|=14,cos=(a+b)c|a+b|c|=12,所以=60.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120.8.(2020上海闵行期中)长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0

6、,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2,A3B3,A4B4,此时A1B2A1B1=22=4;与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5;A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5;与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4;与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3;A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3;A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+4=3;与A3

7、B2=(0,1,2)相等的向量为A4B1,此时A1B2A4B1=22=4;A4B2=(-1,1,2),A1B2A4B2=1+4=5.综上,集合A=x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5中元素的个数为3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则()A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B对称的点为(5,8,

8、-3)C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)答案ACD解析由图形及其已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B(4,5,0)对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0).故A,C,D正确.10.(2020江苏南通期末)设a,b,c是空间一个基底,下列说法正确的有()A.若ab,bc,则acB.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.a+

9、b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底答案BCD解析对于A,b与a,c都垂直,a,c夹角不一定是2,故A错误;对于B,根据基底的概念可知,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;对于C,根据空间向量的基本定理可知,C正确;对于D,由于a,b,c为空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,设a+b,b+c,c+a共面,不妨设a+b=x(b+c)+(1-x)(c+a),化简得c=xa+(1-x)b,所以a,b,c共面,这与已知矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,可作为空间的一个基底,故D正确.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的是()A.(A1A+A1D1

10、+A1B1)2=3(A1B1)2B.A1C(A1B1-A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角是60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|答案AB解析由向量的加法得A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,(A1C)2=3(A1B1)2,故A正确;A1B1-A1A=AB1,AB1A1C,A1CAB1=0,故B正确;ACD1是等边三角形,AD1C=60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1与向量A1B的夹角是120,故C不正确;ABAA1,ABAA1=0,故|ABAA1AD|=0,故D不正确.12.在正方体ABCD-

11、A1B1C1D1中,给出下列四个命题:其中正确的命题是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12B.A1C(A1B1-A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角为60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|答案AB解析A中,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故A正确;B中,A1B1-A1A=AB1,由AB1A1C,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60,但AD1与A1B的夹角为120,故C不正确;D中,|ABAA1AD|=0,故D也不正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13

12、.设a=(2,6,-3),则与a平行的单位向量的坐标为,同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=.答案27,67,-37或-27,-67,3713,-23,23或-13,23,-23解析设与a平行的单位向量为u,则u=a=(2,6,-3),且|u|=1=(2)2+(6)2+(-3)2,解得=17,u=27,67,-37或u=-27,-67,37.设同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量e=(x,y,z),则ea=0,eb=0,|e|=1,即2x+2y+z=0,4x+5y+3z=0,x2+y2+z2=1,解得x=13,y=-23,z=23或x=-13,y

13、=23,z=-23,e=13,-23,23或e=-13,23,-23.14.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则|a|=.答案352解析a=(1,n,2),b=(-2,1,2),2a-b=(4,2n-1,2).2a-b与b垂直,(2a-b)b=0,-8+2n-1+4=0,解得n=52,a=1,52,2,|a|=1+254+4=352.15.已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),O(0,0,0),点P在平面ABC内,OP平面ABC,则点P的坐标为.答案49,29,49解析设P(x,y,z),则OP=(x,y,z).A(1,0,0),B

14、(0,2,0),C(0,0,1),AB=(-1,2,0),BC=(0,-2,1).OP平面ABC,-x+2y=0,-2y+z=0,x=z=2y,P(2y,y,2y),AP=(2y-1,y,2y),BP=(2y,y-2,2y),CP=(2y,y,2y-1).点P在平面ABC内,(2y-1,y,2y)=(2y,y-2,2y)+(2y,y,2y-1),2y-1=2y(+),y=(y-2)+y,2y=2y+(2y-1),y=29,P49,29,49.16.(2021浙江杭州模拟)已知e1,e2,e3是空间单位向量,e1e2=e2e3=e3e1=12,若空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),|a

15、|=2,则|ae3|的最大值是.答案233解析空间向量a满足a=xe1+ye2(x,yR),且e1e2=e2e3=e3e1=12,则|a|2=x2+y2+xy.又由|a|=2,得|a|2=4.即x2+y2+xy=4.又|ae3|=|(xe1+ye2)e3|=12|x+y|,由于x2+y22xy,所以由x2+y2+xy=4,整理得3xy4,即xy43,所以|x+y|2=x2+y2+2xy=x2+y2+xy+xy4+43=163,故|x+y|43,所以|ae3|=12|x+y|23=233,当且仅当x=y=233时,等号成立.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

16、骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM-AC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM,所以BN=-12a+12b+12c,|BN|2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174,所以|BN|=172,即BN的长为172.18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面

17、边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为3,求侧棱的长.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+|BB1|2+BB1BC=|AB|BC|cos+|BB1|2=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解由(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+|BB1|2=|BB1|2-1.又|AB1|=|AB|2+|BB1|2=2+|BB1|2=|BC1|,所以cos=|BB1|2-

18、12+|BB1|2=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.19.(12分)(2020北京西城期中)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c;(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值;(3)求ABC的面积.解(1)B(1,-1,-2),C(3,0,-4),BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2).|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),mR,|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,

19、-1,2).(2)a=AB=(-1,-1,0),b=AC=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2).向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-110,sin=1-110=310,ABC的面积SABC=12|AB|AC|sin=1225310=32.20.(12分)设点E,F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点.如图,以C为坐标原点,射线CD,CB,C

20、C1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.(1)求向量D1E与C1F的数量积.(2)若点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,问是否存在直线MN,使MN平面ABCD?若存在,求点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)在给定的空间直角坐标系中,C1(0,0,2),F(2,2,1),C1F=(2,2,-1),D1(2,0,2),E(1,2,0),D1E=(-1,2,-2),所以D1EC1F=-12+22+(-2)(-1)=4.(2)存在唯一直线MN,使MN平面ABCD.若MN平面ABCD,则MN与平面ABCD的一个法向量(0,0,1)平行,所以设M(a,a,m),N(a,a

21、,n),MN=(0,0,n-m),nm.又因为点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,所以D1MD1E,C1NC1F,即D1M=D1E,R,C1N=tC1F,tR,(a-2,a,m-2)=(-,2,-2),(a,a,n-2)=(2t,2t,-t),所以a-2=-,a=2,m-2=-2,a=2t,n-2=-t,解得a=43,m=23,n=43,所以点M,N的坐标分别是M43,43,23,N43,43,43.21.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连

22、接GH.(1)求证:ABGH;(2)求平面DGH与平面GHE的夹角的余弦值.(1)证明因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EFAB,DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD,DC平面PCD,所以EF平面PCD.又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH.又EFAB,所以ABGH.(2)解在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90.又PB平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,

23、0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以EQ=(-1,2,-1),FQ=(0,2,-1),DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由mEQ=0,mFQ=0,得-x1+2y1-z1=0,2y1-z1=0,取y1=1,得m=(0,1,2).设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由nDP=0,nCP=0,得-x2-y2+2z2=0,-y2+2z2=0,取z2=1,得n=(0,2,1).设平面DGH与平面GHE的夹角为,则cos=|cos|=|mn|m|n|=45.22.(12分)(2021陕西咸阳模拟

24、)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,且AC=BC=CC1=2,M是AB1,A1B的交点,N是B1C1的中点.(1)求证:MN平面A1BC;(2)求平面AA1B与平面A1BC夹角的大小.(1)证明以C为原点,分别以CB,CC1,CA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由AC=BC=CC1=2,知A1(0,2,2),B1(2,2,0),B(2,0,0),C1(0,2,0),M(1,1,1),N(1,2,0),A1B=(2,-2,-2),CB=(2,0,0),MN=(0,1,-1),MNA1B=0-2+2=0,MNCB=0+0+0=0,MNA1B,MNCB.又CBA1B=B,MN平面A1BC.(2)解作CHAB于点H.平面ABC平面ABB1A1,CH平面A1BA,故平面A1BA的一个法向量为CH=(1,0,1).又由(1)知,平面A1BC的一个法向量为MN=(0,1,-1),cos=CHMN|CH|MN|=-12.平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为3.