2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若直线l1：2x+ay+10与直线l2：x2y+20平行，则a（）A1B1C4D42（5分）已知圆C1：x2+y24y0，圆C2：x2+y22x2y+10，则两圆的位置关系为（）A内切B相交C外切D外离3（5分）假设P（A）0.3，P（B）0.4，且A与B相互独立，则P（AB）（）A0.12B0.58C0.7D0.884（5分）已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0，b0)，抛物线E：y24x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲

2、线C的两条渐近线分别交于点A，B，若ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay=33xBy=32xCy=233xDy=3x5（5分）已知数列an为等比数列，且a3是a2与a44的等差中项，若a12，则该数列的前5项和为（）A2B10C31D626（5分）已知平面的一个法向量为n=(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m=(1，0，1)，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A33B22C63D327（5分）已知抛物线C：y22px（p0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（）Ay24x

3、By28xCy212xDy216x8（5分）已知数列an为等差数列且a10，数列1anan+1的前n项和为n2n+1，则an（）An+1Bn+2C2n1D2n+1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）下列说法中正确的是（）A直线x+y+20在y轴上的截距是2B直线x+3y+1=0的倾斜角是60C直线mxy+m+20（mR）恒过定点（1，2）D过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y30（多选）10（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的

4、点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（）A事件A与事件C互斥B事件C与事件D互为对立事件C事件A与事件B相互独立DP（A）P（D）（多选）11（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn+2an+118，数列an的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（）A数列an是递增数列Ba19CTn的最大值为T4DTn的最大值为T5（多选）12（5分）已知F为双曲线x2y24=1的右焦点，直线ykx（k0）与该双曲线相交于A

5、，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（）Ak的取值范围是（0，2）B若|AF|2，则|BF|4C若AFBF，则点A的纵坐标为355D若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a24，S77，则a6 14（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点，若MN=xa+yb+zc则x+y+z 15（5分）如图所示、点A，B1，B2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)

6、的顶点，F为C的右焦点，若AB1B2F，则椭圆C的离心率为 16（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在空间直角坐标系中，已知向量a=(x，1，2)，b=(2，y，1)，其中x，yR，a，b分别是平面与平面的法向量（1）若a，求x，y的值；（2）若且|a|=3，求x，y的值18（12分）已知圆C的圆心在直线x2y0上，且与直线x2y+50相切于点（3，4）（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：3

7、x4y60被圆C截得的弦AB的长19（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛（1）求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为12，女生乙答对每道题的概率均为23，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率20（12分）已知数列an满足：a11，且nan+1（n+1）an+1，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和Sn21（12分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCBB12，ABC120，

8、点E满足AE=AC，（0，1）（1）当=12时，求A1C与B1E所成角的余弦值；（2）是否存在实数使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为3022（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQx轴时，|PQ|=3（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、AQ与直线x3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

9、题目要求的.1（5分）若直线l1：2x+ay+10与直线l2：x2y+20平行，则a（）A1B1C4D4【解答】解：直线l1：2x+ay+10与直线l2：x2y+20平行，1a+220，即a4此时两直线不重合故选：D2（5分）已知圆C1：x2+y24y0，圆C2：x2+y22x2y+10，则两圆的位置关系为（）A内切B相交C外切D外离【解答】解：O1：x2+y24y0的圆心为O1（0，2），半径r2，O2：x2+y22x2y+10的标准方程为（x1）2+（y1）21，圆心为O2（1，1），半径R1，两圆的圆心距|O1O2|=11+(12)2=2，2122+13，故两圆相交，故选：B3（5分）假

10、设P（A）0.3，P（B）0.4，且A与B相互独立，则P（AB）（）A0.12B0.58C0.7D0.88【解答】解：P（A）0.3，P（B）0.4，且A与B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）0.12，故P（AB）P（A）+P（B）P（AB）0.3+0.40.120.58故选：B4（5分）已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0，b0)，抛物线E：y24x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay=33xBy=32xCy=233xDy=3x【解答】解：由题意可知，抛物线E：y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1

11、，ABF为正三角形，A（1，233），设双曲线C的一条渐近线方程为y=bax，233=ba（1），ba=233，双曲线C的渐近线方程为y233x故选：C5（5分）已知数列an为等比数列，且a3是a2与a44的等差中项，若a12，则该数列的前5项和为（）A2B10C31D62【解答】解：设等比数列的公比为q，由a3是a2与a44的等差中项得a2+a442a3，解得q2，于是，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则S5=2(125)12=62故选：D6（5分）已知平面的一个法向量为n=(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m=(1，0，1)，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A33B22C6

12、3D32【解答】解：由已知，设直线l与平面所成角为，则sin|cosm，n|=|11+20+11|1+4+11+0+1=262=33，故选：A7（5分）已知抛物线C：y22px（p0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（）Ay24xBy28xCy212xDy216x【解答】解：抛物线y22px的焦点为F（p2，0），准线为x=p2，设直线的方程为y2（xp2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=2(xp2)y2=2px，消去y整理得4x26px+p20，所以x1+x2=3p2，x

13、1x2=p24，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，设线段AB的中点为E，则有AEEMBE，因为点M的纵坐标为4，所以点E的纵坐标为4，所以y1+y28，又y1+y22（x1p2）+2（x2p2）2（x1+x2）2pp，p8，y216x，故选：D8（5分）已知数列an为等差数列且a10，数列1anan+1的前n项和为n2n+1，则an（）An+1Bn+2C2n1D2n+1【解答】解：数列1anan+1的前n项和为n2n+1，则1a1a2=131a1a2+1a2a3=25，即a1a2=3a2a3=15，设公差为d，则a1(a1+d)=3(a1+d)(a1+2d)=15，解方程得a11（负

14、值舍去），d2，故an2n1故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）下列说法中正确的是（）A直线x+y+20在y轴上的截距是2B直线x+3y+1=0的倾斜角是60C直线mxy+m+20（mR）恒过定点（1，2）D过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y30【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线x+y+20，令x0可得y2，即直线与y轴的交点坐标为（0，2），则直线x+y+20在y轴上的截距是2，A正确；对于B，直线x+3y+1=0，即y

15、=33x33，直线的斜率k=33，则该直线的倾斜角为150，B错误；对于C，直线mxy+m+20（mR）即y2m（x+1），恒过定点（1，2），C正确；对于D，过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y30和y2x，D错误；故选：AC（多选）10（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（）A事件A与事件C互斥B事件C与事件D互为对立事件C事件A与事件

16、B相互独立DP（A）P（D）【解答】解：抛掷两枚骰子，用表格表示试验的所有可能结果如下：12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）事件A“第一枚骰子底面数字为奇数”，则A有8个样本点，且P（A）=12，事件B“第二枚骰子底面数字为奇数”，则B有8个样本点，且P（B）=12，事件C“两枚骰子底面数字之和为偶数”，则C有8个样本点，且P（C）=12，事件D“两枚骰子底面数字之和为奇数”，则D有8个样本点，且P（D）=12；所以事件A与事件C不是互斥事件，有共同事件（

17、1，1），（1，3），（3，1）和（3，3），选项A错误；事件C与事件D是互为对立事件，选项B正确；因为AB（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）共四个样本点，所以P（AB）=14，P（A）P（B）=14，所以P（AB）P（A）P（B），事件A与事件B相互独立，选项C正确；P（A）P（D）=12，选项D正确故选：BCD（多选）11（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn+2an+118，数列an的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（）A数列an是递增数列Ba19CTn的最大值为T4DTn的最大值为T5【解答】解：等比数列an中，Sn+2an+118，所以Sn+1+2an+21

18、8，所以an+1+2an+22an+10，所以q=an+2an+1=12，所以a1+2a2a1（1+2q）2a118，解得a19，选项B正确；an9(12)n1，数列an是单调递减数列，选项A错误，前n项积为Tn99129122.912n1=9n(12)n(n1)2，所以Tn+1Tn=an+19(12)n，即n3时，an+11，Tn+1Tn；n3时，an+11，Tn+1Tn，所以Tn的最大值是T4，选项C正确，选项D错误故选：BC（多选）12（5分）已知F为双曲线x2y24=1的右焦点，直线ykx（k0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（）Ak

19、的取值范围是（0，2）B若|AF|2，则|BF|4C若AFBF，则点A的纵坐标为355D若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+）【解答】解：双曲线x2y24=1的渐近线方程为：y2x，直线ykx（k0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），则A在渐近线的下方，所以k2，所以k的取值范围是（0，2），所以A正确；双曲线的左焦点为F1，连接BF1，AF1，四边形AFBF1是平行四边形，|AF1|AF|2a2，|BF|AF1|2+|AF|4，所以B正确；当AFBF时，可知A1FAF，且|AF1|AF|2，在RtAF1F中，|AF1|2+|AF|2=

20、|F1F|2=4c2=4(a2+b2)=4（1+4）20，解得|AF1|4，|AF|2，SAF1F=12|F1F|yA=12|AF1|AF|，可得yA=455，所以C不正确；当AF平行渐近线y2x时，直线AF：y2（x5），联立双曲线y=2(x5)x2y24=1，可得A（355，455），|AF|2，为满足条件，A应在A右边，|AF|2，|AF|的取值范围是（2，+），所以D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a24，S77，则a66【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a24，S77，a1+d=47a1+21d=

21、7，解得a1=132，d=52，a6a1+5d=132252=6故答案为：614（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点，若MN=xa+yb+zc则x+y+z14【解答】解：在四面体OABC中，MN=MO+OC+CN，点M在OA上，且OM3MA，N为BC的中点，可得OM=34OA=34a，CN=12CB=12（OBOC）=12（bc），则MN=34a+c+12（bc）=34a+12b+12c，又MN=xa+yb+zc，可得x=34，yz=12，则x+y+z=34+12+12=14故答案为：1415（5分）如图所示、点A，

22、B1，B2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的顶点，F为C的右焦点，若AB1B2F，则椭圆C的离心率为 1+52【解答】解：根据题意易得B1（0，b），A（a，0），F（c，0），B2（0，b），又AB1B2F，kAB1kB2F=1，babc=1，b2ac，a2c2ac，e2+e10，又e（0，1），e=1+52，故答案为：1+5216（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为 y22x【解答】解：因为动圆圆心在x轴上移动，且该动圆始终经过点A（2，0）和B（x，0），所以AB为该动圆的直

23、径，又因为点C（0，y）在该动圆上，所以CACB=0，即2x+y20，所以点M（x，y）的轨迹方程为y22x故答案为：y22x四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在空间直角坐标系中，已知向量a=(x，1，2)，b=(2，y，1)，其中x，yR，a，b分别是平面与平面的法向量（1）若a，求x，y的值；（2）若且|a|=3，求x，y的值【解答】解：（1）ab，x2=1y=21，解得x4，y=12；（2）|a|3，x2+1+4=3，解得x2，又ab，2xy+20，故x，y的值为x2，y6；x2，y218（12分）已知圆C的圆心在直线x2y0

24、上，且与直线x2y+50相切于点（3，4）（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：3x4y60被圆C截得的弦AB的长【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x2a）2+（ya）2r2（其中a0，r0），则其圆心C（2a，a）到直线x2y+50的距离：|2a2a+5|5=(32a)2+(4a)2，解得a2，r=5所以圆C的标准方程为（x4）2+（y2）25；（2）圆的圆心到直线3x4y60的距离为：|1286|9+16=25直线l：3x4y60被圆C截得的弦AB的长为：25425=22519（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛（1）求恰好抽到1名男生和1

25、名女生的概率；（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为12，女生乙答对每道题的概率均为23，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率【解答】解：（1）记3名男生为1，2，3，两名女生为a、b，从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学，基本事件为12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种不同取法；恰好抽到1名男生和1名女生的基本事件为1a，1b，2a，2b，3a，3b共6种，故所求的概率值为P=610=35；（2）甲答对2道题的概率为1212=14，乙只答对1道题的概率值为C2

26、123（123）=49，所以甲答对2道题且乙只答对1道题的概率为1449=1920（12分）已知数列an满足：a11，且nan+1（n+1）an+1，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和Sn【解答】解：（1）数列an满足：a11，且nan+1（n+1）an+1，nN*，则（n1）annan1+1，n2，3，n，两式相减可得，nan+1（n1）an（n+1）annan1，即nan+1+nan1（n+1）an+（n1）an2nan，则an+1+an12an，所以an为等差数列，因为a11，所以a22a1+13，故数列an的通项公式为an2n1；（2）an2n=(2n1)

27、2n，Sn=121+322+523+（2n1）2n，2Sn122+322+524+（2n1）2n+1，两式作差可得，Sn=2+23+24+2n+1（2n1）2n+1=2+23(12n1)12(2n1)2n+1，故Sn=(2n3)2n+1+621（12分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCBB12，ABC120，点E满足AE=AC，（0，1）（1）当=12时，求A1C与B1E所成角的余弦值；（2）是否存在实数使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30【解答】解：（1）以过点B且垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为ABBCBB12

28、，ABC120，所以A1（3，1，2），C（0，2，0），B1（0，0，2），=12时，E为AC的中点，所以E（32，12，0），A1C=（3，3，2），B1E=（32，12，2），cosA1C，B1E=A1CB1E|A1C|B1E|=32+32+43+9+434+14+4=55，所以A1C与B1E所成角的余弦值为55；（2）设存在实数使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30，因为平面BB1C1C的一个法向量为m=（1，0，0），设平面B1C1E的一个法向量为n=（x，y，z），因为B1C1=（0，2，0），AE=AC=（3，3，0），所以B1E=B1B+BA+AE=（0，0，2）+（

29、3，1，0）+（3，3，0）（33，1+3，2），所以nB1C1=2y=0nB1E=3(1)x+(1+3)y2z=0，则n=（1，0，32(1)），令cosm，n=mn|m|n|=111+34(1)2=32，解得=13，即存在实数=13时，使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为3022（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQx轴时，|PQ|=3（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、AQ与直线x3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围【解答】解：（1）由题意

30、可得，b1，当PQx轴时，点P，Q关于x轴对称，不妨设点P在x轴上方，又因为此时|PQ|=3，点E（1，0）在线段PQ上，所以点P的坐标为（1，32），所以1a2+34=1，解得a2，所以椭圆C的方程为x24+y21（2）当直线l不存在斜率时，则直线l的方程为x1，不妨设点P在x轴上方，Q在x轴下方，则P（1，32），Q（1，32），所以直线AP的方程为y（132）x+1，当x3时，解得点M的纵坐标为yM4332，同理，解得点N的纵坐标为yM4+332，所以|MN|yMyN|33，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x+1），点P，Q与椭圆C的顶点不重合，则k0且k1，由y=k(x+1

31、)x24+y2=1，得（1+4k2）x2+8k2x+4k240，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k241+4k2，|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=41+3k21+4k2，又直线AP的方程为y=y11x1x+1，当x3时，解得点M的纵坐标为yM=3(y11)x1+x1+3y13x1，同理，解得点N的纵坐标为yN=3(y21)x2+1=x2+3y23x2，所以|MN|yMyN|x1+3y13x1x2+3y23x2|(x1x2+3y1y23x2)(x1x2+3y1y23x1)x1x2|=3|1k|x1x2|x1x2|=3|1k|41+3k21+4k2|4k244k2+1| =31+3k2|k+1|=31+3k2(k2+1)2=33(k+1)26(k+1)+4(k+1)2 34(k+1)26k+1+3，令t=1k+1，则t12且t1，所以|MN|34t26t+3=3(2t32)2+34332且|MN|3，综上所述，|MN|的取值范围为332，3）（3，+）