2022-2023学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 第2课时 指数函数的图象和性质学案 新人教B版必修第二册.docx

1、第2课时指数函数的图象和性质基础自测1函数f(x)12x1的定义域为()ARB(0，)C0，) D(，0)2下列判断正确的是()A1.51.51.52B0.520.53Ce22eD0.90.20.90.53已知y113x，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()4已知函数f(x)4ax1(a0且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_课堂探究素养提升强化创新性题型1指数函数的图象问题经典例题例1(1)如图所示是下列指数函数的图象：yaxybxycxydx则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc(2)函数y2|x|的

2、大致图象是()(3)若直线y2a与函数yax1|1(a0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_方法归纳1指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a0，a1)的图象与直线x1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大2图象变换法适用于相关函数图象已知或容易画出的情况，要熟悉y2x，y(12)x，y10x，y(110)x的图象3画函数图象时，若解析式不是最简形式，需先化简解析式；若是分段函数，则分别画出各部分的图象，最后得到

3、所求函数的整体图象跟踪训练1(1)已知函数yax、ybx、ycx、ydx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是()AbdacBbdbcDadd 1 a b，即得解(2)若a1，1b0，则函数yaxb的图象一定在()A第一、二、三象限B第一、三、四象限C第二、三、四象限D第一、二、四象限(3)函数y|2x1|的大致图象是()题型2解简单的指数不等式经典例题例2(1)不等式3x21的解集为_；(2)若ax11a53x(a0，且a1)，求x的取值范围状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围方法归纳解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数

4、yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解跟踪训练2(1)解不等式13x22)3；(1)化成同底，确定指数函数的单调性(2)已知(a22a3)x(a22a3)1x，求x的取值范围(2)判断a22a3的范围(3)函数y2x18的定义域是_题型3指数型函数的定义域与值域例3(1)求y3x1+3x的值域；(2)若函数f(x)ax1(a0，a1)的定义域和值域都是0，2，则实数a等于_；(3)已知函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1，1上最大值是14，求a的值；(4)已知函

5、数f(x)(12)x22x的值域是()A(，2 B(0，2C2，) D0，12方法归纳复合函数的值域(1)分层：一般分为外层yat，内层tf(x)(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求yat的值域跟踪训练3(1)函数f(x)ex22x3，x0，3时f(x)的值域为()A(0，) B(e3，1)Ce4，1 D(e4，)先求得x22x 3的取值范围，再求得f(x)的值域(2)求函数y4x2x1的定义域、值域题型4指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)a12x+1(xR)(1)用定义证明：不论a

6、为何实数，f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1，5上的最小值状元随笔(1)用定义法证明函数的单调性需4步：取值；作差变形；定号；结论(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(x)f(x)或f(x)f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)0，建立方程求参数跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)2xa2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性，并用单调

7、性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，)上的单调性(3)利用单调性求最值，得值域第2课时指数函数的图象和性质基础自测1解析：要使函数有意义，则2x10，2x1，x0.答案：B2解析：因为y0.9x是减函数，且0.50.2，所以0.90.20.90.5.答案：D3解析：方法一y23x与y410x单调递增；y113x与y310x110x单调递减，在第一象限内作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y23x与y410x单调递增，且y410x的图象上升得快，y113x与y23x的图象关于y轴对称，y310x与y410x

8、的图象关于y轴对称，所以选A.答案：A4解析：令x10，得x1，此时f(1)5.所以函数f(x)4+ax1(a0且a1)的图象恒过定点P(1，5)答案：(1，5)课堂探究素养提升例1【解析】(1)可先分为两类，的底数一定大于1，的底数一定小于1，然后再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)函数y2|x|12x，x0，2x，x0，因为y2|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以函数图象在y轴右侧为减函数，0y1，左侧为增函数，01时，通过平移变换

9、和翻折变换可得如图 (1)所示的图象，则由图知12a2，即12a1，与a1矛盾当0a1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知12a2，即12a1，即为所求【答案】(1)B(2)C(3)(12，1)跟踪训练1解析：(1)如图，作出直线x1，得到cd1ab，所以bd0，13x1；011+3x1，111+3x0；0111+3x1，值域为(0，1)(2)当a1时，函数f(x)ax1(a0，a1)在0，2上单调递增，则f0=0f2=a21=2，解得：a3当a1时，函数f(x)ax1(a0，a1)在0，2上单调递减，则f0=2f2=0无解，故a3.(3)y(ax1)22；y(a

10、x1)22在区间1，1上最大值是14，(ax)max5；故当a1时，a5；当0a1时，a15，故a15.综上所述，a5或a15.(4)由于x22x(x1)211，所以00，2x12，即x1时，y取最小值34；同时y可以取一切大于34的实数；值域为34，)答案：(1)C(2)见解析例4【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)f(x2)a12x1+1a+12x2+12x12x21+2x11+2x2.因为x1x2，所以2x12x20，又(1+2x1)(1+2x2)0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数(2)

11、因为f(x)在xR上为奇函数，所以f(0)0，即a120+10，解得a12.所以f(x)1212x+1，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间1，5上的最小值为f(1)因为f(1)121316，所以f(x)在区间1，5上的最小值为16.跟踪训练4解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2xa2x12x+a2x成立，即2x(1a)12x(1a)，所以1a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)2x12x，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)2x1+12x12x2+12x22x12x2+12x112x22x12x2+2x22x12x12x22x12x2112x1+x22x12x22x1+x212x1+x2，因为x1x2，且x1，x2(0，)，所以2x12x2，2x1+x21，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递增(3)由(2)知f(x)在0，)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)f(0)2.故函数f(x)的值域为2，).