江苏省徐州市2022-2023学年高三数学上学期期末模拟测试试卷（PDF版带解析）.pdf

1、 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40数学试题参考20222023学年度高三年级第一学期期末模拟测试答案与解析分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 设集合|37 AxxN，2|log(2)2 Bxx，则 AB=A|36xx B|36 xx C 456，D 45，【答案】D【解析】因为2|log(2)2 Bxx=|26xx，|37 AxxN，所以 AB=45，2设复数 z 的共轭复数为 z，若(1i)izzC，则 z 对应的点位于复平面内的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】因为(1i)izzC，所以i11 i1i22z ，

2、11 i22z ，所以 z 对应的点位于复平面内的第三象限 3 已知|22 3，aba b，则ab A62 B62 C624 D624【答案】A【解析】因为|22 3，aba b，所以2222|2222 3284 326abaa bb 4等差数列 na的前n 项和为nS，55a，728S，则202211kkS A 20211011 B 40442023 C 20231012 D2【答案】B 【解析】设等差数列的首项为1a，公差为 d，由题意有1145767282adad，解得111ad，数列的前 n 项和111111222nn nn nn nSnadn ，裂项可得12112()(1)1kSk

3、kkk，所以20221111111140442(1)()()2(1)2232022202320232023kkS 5 如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 12m，最低点 B 处离地面 7m若从离地高 4m 的 C 处观赏它，若要视角 最大，则离墙的距离为 A6 m B3 m C 4m D 2 6 m【答案】D【解析】设离墙的距离为 x m，则8355tan8 3242 241xxxx xx，当且仅当242 6xxx，即时去等号 6 已知函数()sin002f xAxA，的部分图象如图所示，若把()f x 图 象上所有点向左平移 6 个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x A 3si

4、n 2x B3sin 23x C3sin 26x D3cos2x 【答案】D【解析】由函数()sin002f xAxA，的部分图象，得 O x y 6 12 3 3 A（第 6 题）B C 12 4 7（第 5 题）5 23 4 126A，所以2，又因为当6x时，函数()f x 取得最大值，所以 2262k，即26kkZ，又因为2，所以6，()3sin 26f xx 所以()3sin 23sin 23cos26662g xf xxxx 7 椭圆22221(0)yxCabab：经过点(03)，点 F 是椭圆的右焦点，点 F 到左顶点的 距离和到右准线的距离相等过点 F 的直线l 交椭圆于 A，B

5、 两点（A 点位于 x 轴下方），且2AFBN，则直线 l 的斜率为 A1 B 2 C52 D5 【答案】C【解析】设椭圆的焦距为 2c，由椭圆经过点(03)，得3b，由点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等 得2aaccc，又222abc，由可得2a，1c ，所以椭圆C 的标准方程为22143yx 设11(,)A x y,22(,)B xy,10y 由2AFBN得，)1(2121xx 即2123xx 由第二定义可得 M 到右准线的距离是 N 到右准线的距离的 2 倍 即）（21424xx 由解得211x，代入椭圆方程，13 54y ，所以直线的斜率为52 8设min.a aba bb a

6、b，若函数12()min e21xf xxxmx，有且只有三个零点，则实数 m 的取值范围为 A12 ，B34 ，C1 ，D54 ，【答案】C【解析】设 1exg xx，则 1e1xgx，由 1e10 xgx，得1x ；由 1e10 xgx，得1x ，所以函数 1exg xx在(1，上单调递减，在1 ，上单调递增，所以0min()(1)e10g tg，即得函数 1exg xx有且只有一个零点1，且当1x 时，1e0 xg xx 又因为2()21h xxmx 在(m，上单调递增，在m ，上单调递减，且函数2()21h xxmx 至多有两个零点，又函数12()min e21xf xxxmx，有且只

7、有三个零点，所以函数2()21h xxmx 一定有一个零点大于1，另一个零点小于1，所以 1220hm，所以1m 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知变量 y 与 x 具有线性相关关系，统计得到 6 组数据如下表：x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 若 y 关于 x 的线性回归方程为 0.8yxa，则 A变量 y 与 x 之间正相关 B14.4y C 6.8a D当12x 时，y 的估计值为15.6 【答案】

8、AB【解析】选项 A：因为 y 关于 x 的线性回归方程为 0.8yxa，所以 0.80b，所以变量 y 与 x 之间正相关故选项 A 正确；选项 B：因为1 8.19.41214.418.52414.46y，所以选项 B 正确；选项 C：因为1 247101522106x，所以14.40.8 10a，所以 6.4a 故选项 C 不正确；选项 D：因为 y 关于 x 的线性回归方程为 0.86.8yx，所以当12x 时，0.8 126.416y，所以选项 D 不正确 10已知函数 yf x的导函数为 yfx，则 A若 yf x在 xa处取得极值，则 0fa B若函数 yf x在a b，上是减函

9、数，则当xa b，时，0fx C若 yf x为偶函数，则 yfx是奇函数 D若 yf x是周期函数，则 yfx也是周期函数【答案】ACD【解析】选项 A：因为函数 yf x在 xa处取得极值，所以根据函数极值的定义，导函数 yfx在 a 的左右两侧符号相反，在 xa时，导函数值 0fa故选项 A 正确；选项 B：函数3()f xx 在1 1，上是减函数，当1 1x ，时，230 xfx ，所以选项 B 不正确；选项 C：因为 yf x为偶函数，所以()fxf x，所以()fxfx，所以 yfx是奇函数故选项 C 正确；选项 D：设()yf x是周期为(0)T T 的周期函数，则()()f xT

10、f x，所以()()fxTfx，所以()yfx也是周期为(0)T T 的周期函数故选项 D 正确 11已知函数 f(x)=cosx+1cos x，则 Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 AD BCEFGHCf(x)的图象关于直线 x 对称 Df(x)的图象关于02，中心对称【答案】BCD【分析】因为cos x 可以为负，所以 A 错；因为11()cos()cos()cos()cosfxxxf xxx，所以()f x 为偶函数，f(x)的图象关于 y 轴对称，B 正确；1(2)cos(2)()cos(2)1()cos()(),cos()fxxf xxfxxf xx ，所以

11、 f(x)的图象关于直线 x 对称，关于02，中心对称，故 C D 正确 12如图，矩形 ABCD 中，210 2ADAB，边 AD BC，的中点分别为 E F，直线 BE 交 AC 于点 G，直线 DF 交 AC 于点 H现分别 将ABE，CDF沿 BE DF，折起，点 A C，在 平面 BFDE 同侧，则 A当平面 AEB 平面 BEDF 时，AG 平面 BEDF B当平面/AEB平面CDF 时，/AECD C当 A C，重合于点 P 时，二面角 PDFB的大小等于60 D当 A C，重合于点 P 时，三棱锥 PBEF与 PDEF外接球面公共圆的周长为10 【答案】ACD 【解析】因为在矩

12、形 ABCD 中，210 2ADAB，边 AD BC，的中点分别为 E F，所以10 35 6113333AGACEGBE，所以 EGEAGAAB，EGAEAB，所以90EGA，ACBE，同理 ACDF 选项 A：因为平面 AEB 平面 BEDF，平面 AEB 平面 BEDFBE，又 AGBEAG，平面 AEB，所以 AG 平面 BEDF 故选项 A 正确；选项 B：因为 AGBE，/FHDFBEDC，所以 A C G H，四点在同一平面内，又因为平面 ABE 平面 AGHCAG，平面CDF 平面 AGHCCH，所以由平面/ABE平面 CDF，得/AG CH，又 AGCH，所以四边形 AGHC

13、 是平行四边形，所以/AC GH 取 HD 的中点Q，连接CQ EQ，则 EGQH，又/EGQH，所以四边形 EGHQ 是平行四边形，所以/EQGHAC，EQGHAC，所以四边形 AEQC 是平行四边形，/AECQ 故选项 B 不正确；选项 C：连接 PG，因为 PHDF GHDF，所以PHG为二面角 PDFB的平面角 又因为 PHHGPG，所以60PHG 故选项 C 正确；选项 D：因为90BPEBFE ，90DPFDEF ，所以三棱锥 PBEF的外接球的直径 为 BE，球心为 BE 的中点，半径等于 5 6122BE，三棱锥 PDEF的外接球的直径为 DF，球心为 DF 的中点，半径等于

14、5 6122DF，所以两外接球心间的距离为 15 22 AD，A DE GC HF B QP DE GHQF B 所以三棱锥 PBEF与 PDEF外接球面公共圆的半径为 225 65 2522 所以公共圆的周长为 2510 故选项 D 正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若双曲线2222:100yxCabab，的离心率为2，则C 的两条渐近线所成的角等于 _【答案】90 【解析】因为双曲线2222:100yxCabab，的离心率为2，所以222aba，即得1ba ，又因为C 的两条渐近线方程为byxa，所以C 的两条渐近线的斜率为 1，倾斜角分别为 45135

15、，方程为 yx ，所以C 的两条渐近线所成的角为90 14写出一个同时具有下列性质的函数解析式为()f x _ 不是常数函数；()()0fxf x；(1)(1)fxfx【答案】cos x（答案不唯一）【解析】由()()0fxf x，得()()fxf x，所以函数()f x 是偶函数，所以由(1)(1)fxfx，得()f x 的是图象关于 x=1 对称，()cosf xx 符合题意 15若521axxxx 的展开式中所有项的系数和为 243，则展开式中4x 的系数是_【答案】9 【解析】令1x ，则55(2)32433a，解得1a 52xx展开式的通项公式为 55 2155C2 C2rrrrrr

16、rTxxx，所以5211xxxx 的展开式中4x 的系数是001552C2C9 16早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅 原理：幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果 被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等将 双曲线221:13yCx 与03yy，所围成的平 面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示 的几何体，其中线段OA 为双曲线的实半轴，点 B 和 C 为直线3y 分别与与双曲线一条渐近线及右 支的交点，则线段 BC 旋转一周所得的图形的面积是_，几何体的体积为_【答案】

17、4 33，【解析】因为(13)(23)BC，所以线段 BC 旋转一周所得的图形的面积 22S 因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，所以根据祖暅原理，得：几何体的体积为 2231333V 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，22caab （1）证明：2CA；（2）若3a，1sin3A，求ABC的面积 【解析】(1)在 ABC中，由余弦定理得，2222coscababC，因为22caab，所以2222cosaabababC，所以2 cosbaaC 2 分

18、由正弦定理得，sinsin2sincosBAAC，所以sinsinsincoscossinBACACAC，CBAO 所以 cossinsincossinACACA，sinsinCAA 4 分 因为 A，B，C 是三角形内角，所以CAA，即2CA.5 分（2）因为1sin3A，(0,)A，所以22 2cos1sin3AA，所以4 2sinsin 22sincos9CAAA，227coscos2cossin9CAAA，7 分 172 24 223sin=393927B 8 分 由正弦定理得，sinsinacAC，所以sin4 2sinaCcA，所以 ABC的面积112346 2sin3 4 222

19、279SacB 10 分 18（12 分）已知正项数列 na的前n项和为nS，且222220nnSnnSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）若lgnnba（其中 x 表示不超过 x 的最大整数），求数列 nc的前 100 项的和100T【解析】(1)由222220nnSnnSnn得：220nnSSnn 因为 na为正项数列，所以0nS，所以2nSnn 2 分 当1n 时，112aS；当2n 时，221112nnnaSSnnnnn 4 分 经检验：12a 满足2nan 所以2nan nN 6 分（2）lg 2nbn 7 分 10012100Tccc lg 2lg 4lg8lg10lg98lg

20、100lg200 4 045 1 51 2147 12 分 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，/ADBC，N 为 PB 的中点（1）若点 M 在 AD 上，2AMMD，34ADBC，证明：/MN平面 PCD；（2）若34PAABACADBC，求二面角 DACN的余弦值【解】（1）在四棱锥 PABCD中，取 PC 的中点T，连接 DT TN，由 N 为 PB 中点，知/TNBC，12TNBC 1 分 因为 2AMMD，34ADBC，所以2132MDADBC，又因为/ADBC，所以/TNDM，TNDM，3 分 四边形 DMNT 为平行四边形，所以/MNDT 4 分

21、又因为 DT 平面 PCD，MN 平面 PCD，所以/MN平面 PCD 5 分（2）因为 ABAC，所以ABC为等腰三角形，取 BC 的中点 E，连接 AE，则 AEBC，又因为/ADBC，所以 AEAD 因为 PA 平面 ABCD，所以 APAD APAE，分别以 AB AD AP，所在 A P MD C B N T A P D C B N z y x E 的直线为 x y z，轴，建立 如图所示的空间直角坐标 系 Axyz，又因为34PAABACADBC，所以0 0 00 3 05 2 052 00 0 3ADCBP，因为 N 为 PB 中点，所以 53122N，所以535 2 0122A

22、CAN，7 分 设平面 ACN 的法向量为x y z，n，所以1505 225302205322ACx y zxyANx y zxyz，nn 令5y ，得平面 ACN 的一个法向量为4 5253，n 9 分 又因为平面 ACD 的一个法向量为0 0 1，m，10 分 所以2224 5250 0 134 5cos1614 5253 ，m n 设二面角 DACN的大小为，所以221sin114 59 161cos16161，m n 12 分 20（12 分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120 的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标

23、），所得数据均在区间20 32，内，将其按组距为 2 分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于 28 mm 的棉花为优质棉（1）求频率分布直方图中 a 的值；（2）已知抽取的容量为120 的样本棉花产自于 A B，两个试验区，部分数据如下 22列联表：A 试验区 B 试验区 合计 优质棉 10 非优质棉 30 合计 120 将 22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与 A B，两个试 验区有关系；（3）若从这批 120 个样本棉花中随机抽取 3 个，其中有 X 个优质棉，求 X 的分布列和数学期望E X 注：独立性检验的临界值表：20Px 0.15 0.10

24、 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中 nabcd【解】（1）根据频率分布直方图中的数据，有 2(2440.200)1aaaaa，所以0.025a 2 分（2）根据频率分布直方图，知 120 个样本棉花中优质棉共有 120(0.10020.0252)30个 完整 22列联表如下：A 试验区 B 试验区 合计 优质棉 10 20 30 非优质棉 60 30 90 合计 70 50 120 所以22120(1030206

25、0)10.310.82870503090 5 分 所以没有99.9%的把握认为优质棉与 A B，两个试验区有关系 6 分（3）由频率分布直方图，知 120 个样本棉花中，纤维长度不小于 28 mm 的优质棉的 概率为 14，从中随机抽取 3 个，其中有 X 个优质棉，则13 4XB，0303 1127(0)14464P XC；1213 1127(1)14464P XC；223 119(2)14464P XC；3033 111(3)14464P XC 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 10 分 所以 X 个优质棉的数学期望为301236464646

26、44272791E X 或13344E X 12 分 已知椭圆21（12 分）高中试卷君2222:10yxCabab的离心率为63，直线l 过C 的焦点且垂直于 x 轴，直线l 被C 所截得的线段长为2 （1）求 C 的方程；（2）若C 与 y 轴的正半轴相交于点 P，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在C 上，PAPB，60PAB，求PAB的面积【解】（1）设椭圆2222:10yxCabab的半焦距为 c，则直线l 的方程为 xc，由22221xyxabc，得2422221xaccbyba，所以直线l 被 C 所截得的线段长为222ba，即222ba，2 分 又22232cacba，所以

27、2 22.ab，所以 C 的方程为22182yx 4 分（2）由（1）得 02P，因为 A 在 x 轴的负半轴上，所以直线 PA的 斜率存在且大于0，又 PAPB，所以直线 PB 的斜率存在且小于0，设直线 PB 的方程为20ykxk，则 直线 PA 的方程为120yxkk，令0y，得2xk，即 20Ak，所以222PAk 6 分 由221822yxykx，得22148 20kxkx，所以28 2014kxxk ，即 2228 28 221414kkBkk，所以22228 218 211414kkkPBkkk 8 分 因为在PAB中，PAPB，60PAB，所以3PBPA，即2228 21322

28、014kkkkk，即24 38300kkk，所以3326kk ，10 分 当32k 时，2144222322PAkPBPA，PAB的面积为7 3124PABSPA PB 当36k 时，2782622362PAkPBPA，PAB的面积为13 31212PABSPA PB 12 分 OPABx y 22（12 分）已知函数22()exaxxf x（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a ，证明：1()02f xxx【解】（1）由22()exaxxf x，得 22222 e2e212()eexxxxaxaxxaxaxfx，1 分 因为22418440aaa，当0a 时，由2 1()0exxf

29、x，得1x ；由2 1()0exxfx，得1x 2 分 当0a 时，由()0fx，得221111aaaaxaa ；由()0fx，得221111aaaaxxaa ，3 分 当0a 时，由()0fx，得221111aaaaxxaa ，；由()0fx，得221111aaaaxaa 4 分 所以当0a 时，函数()f x 在1，上单调递增，在1 ，上单调递减；当0a 时，函数()f x 在221111aaaaaa ，上单调递增，在 221111aaaaaa ，上单调递减；当0a 时，函数()f x 在221111aaaaaa ，上单调递减，在 221111aaaaaa ，上单调递增 5 分（2）方法

30、1：当1a 时，22()exxxf x，所以1()02f xxx等价于 21e202x xxx 设21()e102xg xxxx，则()e10 xg xxx，设()()e10 xh xg xxx，则()e100 xh xx，所以()()e1xh xg xx在0 ，上是增函数，7 分 所以0()(0)e100g xg，所以21()e12xg xxx在0 ，上是增函数，8 分 所以21()e1(0)02xg xxxg，所以21e102xxxx 10 分 所以当0 x 时，222111e212222x xxxxxxxx 2323111111110242224xxxxx 所以1()02f xxx 12

31、 分 方法 2：当1a 时，22()exxxf x，所以1()02f xxx等价于2212exxxx，即210022exxxxx，6 分 设 21022exxxg xxx，则 2222 123e13e2222exxxxxxgxxx 设232()2 123e2343e0 xxh xxxxxx，则2()2363e00 xh xxxx，所以函数32()2343exh xxx在0 ，上是减函数 8 分 因为(0)50h，2353332123e555h 676319127676454131303755225612537525025，所以存在唯一的030 5x，使得 00h x，即 032002343e0

32、 xxx 所以当00 xx时，00h xgx，函数 g x 在00 x，上是增函数；当0 xx时，00h xgx，函数 g x 在0 x，上是减函数，所以当0 xx时，函数 g x 取得极大值也是最大值 所以 0000max02122exxxg xg xx，又因为 02002 123e0 xxx，所以02002e123xxx，所以 32000022max00000321232222 122 12xxxxg xxxxxx 10 分 因为030 5x，且函数32232yxx在30 5，上是增函数 所以 2002 120 xx，3232003361232232055125xx，所以 32002max0023202 12xxg xxx 所以 21022exxxg xx，即得1()02f xxx 12 分