2022年高考数学一轮复习 考点规范练43 圆的方程（含解析）新人教A版.docx

1、考点规范练43圆的方程基础巩固1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案:D解析:由题意可得圆的半径r=(1-0)2+(1-0)2=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.3D.2答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=(x-0)2+(y-0)22=

2、|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若ACBC=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线答案:A解析:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由ACBC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)

3、2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1答案:A解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-1答案:D解析:曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+

4、1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.6.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=r=2=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)得,C(1,2),B(0,2+1),

5、则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x+2+1,令y=0,得x=-2-1,即切线在x轴上的截距为-1-2.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0k243所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=.答案:34解析:由题意知,圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k21k20),则|2a|5=455,即a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.9.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.解:(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得4

6、x0-23-x0=1,则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=22,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r,解得x0=1,y0=-4,r=22.因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2

7、=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.能力提升11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,且k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B

8、间的距离为2,动点P与A,B距离之比为2,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23答案:A解析:如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,ymax=22,PAB面积的最大值是12222=22,故选A.12.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.255C.355D.455答案:B解析:由题意可知,圆心在

9、第一象限.设圆心为(a,a)(a0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=|2-1-3|5=255.当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=|25-5-3|5=255.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为.答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析:设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=

10、0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.14.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.解:(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0,得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8.若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB0矛盾.x=-6,y=-8舍去,

11、即AB=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10.OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直线OB的方程为y=12x.设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3,故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.高考预测15.已知平面区域x0,y0,x+2y-40恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.答案:(x-2)2+(y-1)2=5解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.