2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习试题：第9章第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 2 WORD版含解析.docx

1、第九章 直线和圆的方程 第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1.2021 南京市学情调研在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 A:(x-1)2+y2=1,点 B(3,0),过动点 P 引圆 A 的切线,切点为 T.若|PT|=|PB|,则动点 P 的轨迹方程为()A.x2+y2-14x+18=0 B.x2+y2+14x+18=0 C.x2+y2-10 x+18=0 D.x2+y2+10 x+18=0 2.2021 云南省部分学校统一检测圆 x2+y2-4y-4=0 上恰有两点到直线 x-y+a=0(a0)的距离为,则 a 的取值范围是()A.(4,8)B.4,8)C.(0,4)D.(0,4

2、3.2021 河南省名校第一次联考已知圆 C:(x-a)2+y2=4(a2)与直线 x-y+2-2=0 相切,则圆 C 与直线 x-y-4=0 相交所得弦长为()A.1 B.C.2 D.2 4.2021安徽省示范高中联考已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cos+bsin+2=0和a2cos+asin+2=0,则经过 A(a2,a),B(b2,b)两点的直线 l 与圆 x2+y2=4 的位置关系是()A.相交 B.相离 C.相切 D.与 的取值有关 5.2020 武汉市高三学习质量检测圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-4x+4y-12=0 的公共弦的长为()A.B.2 C.

3、2 D.2 6.2020 贵阳市高三摸底测试“m=”是“直线 x-my+4m-2=0 与圆 x2+y2=4 相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.2020 湖北武汉部分学校测试已知 A(-1,0),B(1,0)两点以及圆 C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0),若圆 C 上存在点 P,满足 =0,则 r 的取值范围是()A.3,6 B.3,5 C.4,5 D.4,6 8.2020 浙江名校联考设圆 x2+y2-2x-3=0 截 x 轴和 y 轴所得的弦分别为 AB 和 CD,则四边形 ACBD 的面积是()A.8 B.4 C.

4、8 D.4 9.原创题已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点 A,B 在圆 C 上,满足|AB|=2,且 AB 的中点 M 在直线 2x+y+k=0 上,则实数 k 的取值范围是()A.-2,2 B.-5,5 C.(-,)D.-,10.2021 合肥市调研检测若直线 l 经过抛物线 x2=-4y 的焦点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1 相切,则直线 l 的方程为 .11.2020 湖北孝感模拟在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点 P,使得|PA|=|PB|,|PC|=|PD|,则实数 a 的取值范围是 .12.

5、2020 山东省质检过直线 x+y+1=0 上一点 P 作圆 C:x2+y2-4x-2y+4=0 的两条切线,切点分别为 A,B,若四边形 PACB的面积为 3,则点 P 的横坐标为 .13.2020 湖南模拟若函数 f(x)=-eax(a0,b0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b 的最大值是 .14.2018 全国卷,19,12 分理设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.15.2021 山西省晋南检测过

6、圆 x2+y2=4 上一点 P 作圆 O:x2+y2=m2(m0)的两条切线,切点分别为 A,B,若APB=,则实数 m=()A.B.C.1 D.2 16.2021 陕西百校联考已知圆 M:x2+y2+2x-1=0,直线 l:x-y-3=0,点 P 在直线 l 上运动,直线 PA,PB 分别与圆 M 相切于点 A,B,当切线长 PA 最小时,弦 AB 的长度为()A.B.C.2 D.4 17.2021 陕西省部分学校摸底检测已知圆 C1:x2+y2-kx-y=0 和圆 C2:x2+y2-2ky-1=0 的公共弦所在的直线恒过定点 M,且点 M 在直线 mx+ny=2 上,则 的最小值为()A.

7、B.C.D.18.2021 黑龙江省高三六校联考已知直线 x-y-3=0 与 x 轴交于点 A,与圆 M:(x-2)2+(y+3)2=4 交于 B,C 两点,过点A 的直线与过 B,C 两点的动圆 N 相切于点 P,当PBC 的面积最大时,切线 AP 的方程为()A.x+y+=0 B.x+y+=0 C.x+y-=0 D.x+y-=0 19.2020 惠州市一调已知双曲线 =1(a0,b0)的离心率为 2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 的公共点的个数为()A.1 B.2 C.4 D.0 20.2020 江苏,14,5 分在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P(,0),A,B 是圆

8、 C:x2+(y-)2=36 上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则PAB 面积的最大值是 .21.2020 广东省茂名市联考已知圆 C:x2+y2-8x-6y+F=0 与圆 O:x2+y2=4 相外切,切点为 A,过点 P(4,1)的直线与圆 C交于点 M,N,线段 MN 的中点为 Q.(1)求点 Q 的轨迹方程;(2)若|AQ|=|AP|,点 P 与点 Q 不重合,求直线 MN 的方程及AMN 的面积.22.2019 湖北省模拟已知圆 C 经过点 A(,),B(-,),直线 x=0 平分圆 C,直线 l 与圆 C 相切,与圆 C1:x2+y2=1相交于 P,Q 两点,且满足 OPOQ(O

9、 为坐标原点).(1)求圆 C 的方程;(2)求直线 l 的方程.23.递进型已知圆 C:x2+y2-2x-6y+4=0 与直线 l:x+y+b=0,若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且AOB=90(O 为坐标原点),则 b=,|AB|=.24.与不等式综合点 M(x,y)在曲线 C:x2-4x+y2-21=0 上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且 t 的最大值为 b,若 a,b 均为正实数,则 +的最小值为 .25.2020 南昌市一模递进型如图 9-2-1,一列圆 Cn:x2+(y-an)2=(an0,rn0)逐个外切,且所有的圆均与直线y=2 x 相切,若 r1

10、=1,则 a1=,rn=.图 9-2-1 答 案 第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1.C 设 P(x,y),由 圆 的 切 线 的 性 质 知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.因 为|PT|=|PB|,所 以 2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即2(x-3)2+y2+1=(x-1)2+y2,整理得 x2+y2-10 x+18=0,故选 C.2.A 将圆的方程 x2+y2-4y-4=0 化为标准方程得 x2+(y-2)2=8,则该圆的圆心坐标为(0,2),半径为 2.设圆心到直线x-y+a=0(a0)的距离为 d,因为圆 x2+(y-2)2=8 上恰有两点到直线 x-y+a=0(a

11、0)的距离为,所以 d3,即 -0,解得 4a0,b0),所以 f(x)=-eax,所以 f(0)=-,又 f(0)=-,所以在 x=0 处的切线的方程为y+=-x,即 ax+by+1=0.因为切线与圆 x2+y2=1 相切,所以圆 x2+y2=1 的圆心到切线的距离 d=1,即 a2+b2=1,因为a0,b0,所以 a2+b22ab,所以 2(a2+b2)a+b)2,所以 a+b,所以 a+b 的最大值是.14.(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 -),得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,

12、x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=.由题设知 =8,解得 k=-1(舍去),k=1.因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线的方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 -,)-),解得 ,或 ,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.15.C 如图 D 9-2-3,连接 OA,OB,OP,则APO=APB=,m=|OA|=|PO sinAPO=2 =1,故选 C.图 D 9-

13、2-3 16.B 解 法 一 由 题 意 可 得 圆M的 标 准 方 程 为(x+1)2+y2=2.设P(a,a-3),则|PA|2=|PM|2-|MA|2=(a+1)2+(a-3)2-2=2(a-1)2+6,所 以 当 a=1 时,|PA|2 取 得 最 小 值 6,所 以|PA|min=,此 时|PM|=2,SPAM=MA PA|=PM ,即 =2 ,解得|AB|=,故选 B.解法二 因为|PA|2=|PM|2-|MA|2=|PM|2-2,所以当|PA|取得最小值时,|PM|取得最小值,此时直线 PM 与直线 l 垂直,则|PM|=-=2,|PA|=-,所以 SPAM=MA PA|=PM

14、,即 =2 ,解得|AB|=,故选 B.17.C 由圆 C1:x2+y2-kx-y=0 和圆 C2:x2+y2-2ky-1=0,可得两圆的公共弦所在的直线方程为 k(x-2y)+(y-1)=0,联立-,-,解得 ,即点 M(2,1),又点 M 在直线 mx+ny=2 上,所以 2m+n=2.因为原点(0,0)到直线 2x+y=2 的距离d=,所以 的最小值为 ,故选 C.18.D 由题意得,A(,0),圆 M 的圆心 M(2,-3),所以|AM|2=(-2)2+32=16-4.如图 D 9-2-4,图 D 9-2-4 设H是BC的中点,则|AP|2=|AN|2-|NP|2=|AN|2-|NC|

15、2=(|AH|2+|NH|2)-(|CH|2+|NH|2)=|AH|2-|CH|2=(|AM|2-|MH|2)-(|MC|2-|MH|2)=|AM|2-|MC|2=12-4,所以|AP|为定值.在PBC 中,设 BC 边上的高为 h,则 SPBC=|BC h,由于|BC|不变,则当 PABC 时,h 最大,此时 SPBC取得最大值,此时 AP 的方程为 y=-(x-),即 x+y-=0,故选 D.19.B 双曲线 =1的一条渐近线的方程为y=x.由离心率e=2得 =4,即 =4,得 ,所以这条渐近线的方程为y=x.由 ,-)消去y整理得4x2-4x+1=0,因为=16-44=0,所以渐近线y=

16、x与圆(x-2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 的公共点的个数为 2,故选 B.20.10 解法一 连接 CA,CB,则|CA|=|CB|,连接 CP,由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|得 AB 的垂直平分线是直线 CP,设圆心C到AB的 距 离 为d 0d0,f(t)单调递增,当 t 5,7)时,f(t)0,f(t)单调递减,所以 f(t)max=f(5)=500,则PAB 面积的最大值为 10.解法二 如图 D 9-2-5,连接 CA,CB,则|CA|=|CB|,连接 PC,图 D 9-2-5 由|PA|=|PB|且|CA|=|CB

17、|,得 AB 的垂直平分线是直线 CP.当 AB 经过点 C 时,PAB 的面积 S=121=6.当 AB 在点C 的左上方时,记直线 PC 与 AB 的交点为 D,设ACD=,0,),则|AB|=2|AD|=12sin,|CD|=6cos,则PAB的面积 S=|AB PD|=12sin(6cos+1)=36sin cos+6sin,则 S=36cos2-36sin2+6cos=36cos 2+6cos=6(12cos2+cos-6),由 S=0 得 cos=(舍去 cos=-),且当 0cos 时,S0,S 单调递减;当 cos 0,S 单调递增,所以当 cos=时,S 取得最大值,且 Sm

18、ax=36-)+6-)=10.综上,PAB 面积的最大值为 10.21.(1)圆 C 的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25-F,圆心 C(4,3),半径为 -,由圆 C 与圆 O 相外切知 -+2=,所以 F=16.圆 C:(x-4)2+(y-3)2=9,点 P(4,1)在圆 C 内,弦 MN 过点 P,Q 是 MN 中点,则 CQMN,所以点 Q 的轨迹是以 CP 为直径的圆,方程为(x-4)2+(y-2)2=1.(2)连接 OC,线段 OC 与圆 O 的交点为 A,联立 y=x 与 x2+y2=4,解得点 A(,).若|AQ|=|AP|,则 P,Q 是以点 A 为圆心,AP 为半径

19、的圆与点 Q 的轨迹的交点,由(x-)2+(y-)2=(-4)2+(-1)2 与(x-4)2+(y-2)2=1 得 3x+y-13=0,所以直线 MN 的方程为 3x+y-13=0.点 C(4,3)到直线 MN 的距离 d=-,|MN|=2-.点 A 到直线 MN 的距离 h=-,所以AMN 的面积 S=|MN h=.22.(1)依题意知圆心 C 在 y 轴上,可设圆心 C(0,b),圆 C 的方程为 x2+(y-b)2=r2(r0).因为圆 C 经过 A,B 两点,所以()2+(-b)2=(-)2+(-b)2,即 b+b2=b+b2,解得 b=4,进而可得 r=.所以圆 C 的方程为 x2+

20、(y-4)2=.(2)当直线 l 的斜率不存在时,由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x=或 x=-,此时直线 l 与 C1交于 P,Q 两点,不妨设 P 在Q 点上方,则 P(,),Q(,-)或 P(-,),Q(-,-),则 =0,所以 OPOQ,满足题意.当 直 线l的 斜 率 存 在 时,易 知 其 斜 率 不 为0,纵 截 距 不 为0,故 可 设 直 线l的 方 程 为y=kx+m(k0,m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 l 的方程与圆 C1的方程联立,得 ,消去 y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,则=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(

21、k2-m2+1)0,即 1+k2m2,x1+x2=-,x1x2=-,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-)+m2=-,又 OPOQ,所以 =0,即 x1x2+y1y2=-=0,故 2m2=1+k2,满足 0,符合题意.因为直线 l:y=kx+m 与圆 C:x2+(y-4)2=相切,所以圆心 C(0,4)到直线 l 的距离 d=-,可得 m2-8m+16=,故 m2-8m+16=m2,得 m=2,故 1+k2=222,得 k=或 k=-,故直线 l 的方程为 y=x+2 或 y=-x+2.综上,直线 l 的方程为 x=或 x=-或 y=x+2 或 y

22、=-x+2.23.-2 4 由 -,得 2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得 -,因 为 AOB=90,所 以 ,所 以 =x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(-x1-b)(-x2-b)=0,即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,所以 b2+6b+4+b(-b-2)+b2=0,解得 b=-2,故直线 l 为 x+y-2=0.易知圆 C 的圆心为(1,3),半径为,故圆心到直线 x+y-2=0 的距离为 -,所以|AB=2-=4.24.1 曲 线C的 方 程 可 整 理 为(x-2)2+y2=25,则 曲 线C表 示 圆

23、 心 为(2,0),半 径 为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设 d=)-),则 d 表示圆 C 上的点到点(-6,6)的距离,则dmax=)-)+5=15,所以tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4.所以 ()(a+1+b)=1+1).又 2 =2(当且仅当 ,即 a=1,b=2 时取等号),所以 4=1,即 的最小值为 1.25.3 2n-1 圆 Cn:x2+-)与直线 y=2 x 相切,所以圆心(0,an)到切线的距离 dn=rn,所以 an=3rn,因为r1=1,所以 a1=3.圆 Cn与圆 Cn+1外切,所以|CnCn+1|=an+1-an=3(rn+1-rn)=rn+1+rn,所以 =2,数列rn是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 rn=2n-1.