2023年高考数学一轮复习 第八章 直线与圆 圆锥曲线 13 圆锥曲线压轴小题突破 培优课练习（含解析）.docx

1、圆锥曲线压轴小题突破 题型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 例 1(1)(2022济南联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1(c,0)，F2(c,0)，点 P 是椭圆 C 上一点，满足|PF1 PF2|PF1 PF2|，若以点 P 为圆心，r为半径的圆与圆 F1：(xc)2y24a2，圆 F2：(xc)2y2a2都内切，其中 0r0，令 x3，得 yM5k，yN 14k，即 M(3,5k)，N3，14k，则|MN|5k 14k.设PMN 与PAB 的外接圆的半径分别为 r1，r2，由正弦定理得 2r1|MN|sinMPN，2r2|AB|sinAPB，MP

2、NAPB180，sinMPNsinAPB，l1l22r12r2r1r2|MN|AB|5k 14k4 25k 14k4 54，当且仅当 5k 14k，即 k 510时，等号成立，即l1l2的最小值为 54.思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题 跟踪训练 1(1)(2022深圳模拟)F1，F2分别为双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右两支曲线分别交于 A，B 两点，若 lF2B，则 F2A F2B等于()A42 3 B4 3 C62 5

3、D62 5 答案 C 解析 在双曲线 C 中，a1，b 2，c 3，则 F1(3，0)，F2(3，0)，因为直线 l 过点 F1，由图知，直线 l 的斜率存在且不为零，因为 lF2B，则F1BF2为直角三角形，可得|BF1|2|BF2|2|F1F2|212，由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2，所以 4(|BF1|BF2|)2|BF1|2|BF2|22|BF1|BF2|122|BF1|BF2|，可得|BF1|BF2|4，联立|BF1|BF2|2，|BF1|BF2|4，解得|BF2|51，因此 F2A F2B(F2B BA)F2B F2B2 BA F2B(51)262 5.(2)(多选)(20

4、22德州模拟)已知椭圆 C：x25y2b21(0b0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 是双曲线 C 右支上异于顶点的点，点 H 在直线 xa 上，且满足PHPF1|PF1|PF2|PF2|，R.若 5HP4 HF23 HF10，则双曲线 C 的离心率为()A3B4C5D6 答案 C 解析 由PHPF1|PF1|PF2|PF2|，R，则点 H 在F1PF2的角平分线上，由点 H 在直线 xa 上，则点 H 是PF1F2的内心，由 5HP4 HF23 HF10，由奔驰定理(已知 P 为ABC 内一点，则有 SPBCPASPACPBSPABPC0)知，1 212HF FHF PHF P

5、SSS543，即12|F1F2|r12|PF1|r12|PF2|r 543，则|F1F2|PF1|PF2|543，设|F1F2|5，|PF1|4，|PF2|3，则|F1F2|2c5，即 c52，|PF1|PF2|2a，即 a2，则 eca5.(2)(2022江苏百师联盟联考)过抛物线 C：x22py(p0)上点 M 作抛物线 D：y24x 的两条切线 l1，l2，切点分别为 P，Q，若MPQ 的重心为 G1，32，则 p_.答案 316 解析 设 Mx0，x202p，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设过点 M 的直线方程为 xtyx202p x0，与 y24x 联立得 y24tyx202p

6、 4x0，即 y24ty2tx20p 4x00，由题意知 16t242tx20p 4x0 0，即 2pt2x20t2px00，则 t1t2x202p，t1t2x0(t1，t2分别表示 l1，l2斜率的倒数)，由于方程0，则其根为 y2t，当 tt1时，y12t1，当 tt2时，y22t2，MPQ 的重心为 G1，32，x202py1y2x202p2(t1t2)x202p2x202p3x202p92，而 x1x2t1y1x202p x0t2y2x202p x0 2(t21t22)x202p(t1t2)2x0 2(t1t2)22t1t2x202p(t1t2)2x0 2x404p22x0 x404p

7、22x0 x404p22x0.x0 x1x2 x404p2x03，联立得 p 316.思维升华 圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力 跟踪训练 2(1)已知 F1(1,0)，F2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF1|MF2|4，若 I 是MF1F2的内心，G 是MF1F2的重心，记IF1F2与GF1M 的面积分别为 S1，S2，则()AS1S2 BS1S2 CS1|F1F2|2，所以 M 的轨迹是椭圆x24y231 在第一象限内的部分，如

8、图所示 因为 I 是MF1F2的内心，设内切圆的半径为 r，所以MF1|MF2|F1F2r2|F1F2|yM2，所以 ryM3，所以 S1|F1F2|r2yM3，又因为 G 是MF1F2的重心，所以 OGGM12，所以12122133MOFF MFSSS 13|F1F2|yM2yM3，所以 S1S2.(2)在平面直角坐标系 Oxy 中，双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为_ 答案 32 解析 设 OA 所在的直线方程为 ybax，则 OB 所在的直线方程为 ybax，解方程

9、组 ybax，x22py，得 x2pba，y2pb2a2，所以点 A 的坐标为2pba，2pb2a2，抛物线的焦点 F 的坐标为0，p2.因为 F 是OAB 的垂心，所以 kOBkAF1，所以ba2pb2a2 p22pba1b2a254.所以 e2c2a21b2a294，解得 e32.题型三 圆锥曲线在生活中的应用 例 3(1)(2022湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2y221 的左、右焦点，

10、若从点 F2发出的光线经双曲线右支上的点 A(x0,2)反射后，反射光线为射线 AM，则F2AM 的角平分线所在的直线的斜率为()A 3B 33 C.33 D.3 答案 B 解析 由已知可得 A(x0,2)在第一象限，将点 A 的坐标代入双曲线方程可得 x20421，解得 x0 3，所以 A(3，2)，又由双曲线的方程可得 a1，b 2，所以 c 3，则 F2(3，0)，所以|AF2|2，且点 A，F2都在直线 x 3上，又|OF1|OF2|3，所以 tanF1AF2|F1F2|AF2|2 32 3，所以F1AF260，设F2AM 的角平分线为 AN，则F2AN(18060)1260，所以F2

11、AM 的角平分成所在的直线 AN 的倾斜角为 150，所以直线的斜率为 tan150 33.(2)第 24 届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图 1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B 分别向内层椭圆引切线 AC，BD(如图 2)，且两切线斜率之积等于 916，则椭圆的离心率为()图 1 图 2 A.34B.74 C.916D.32 答案 B 解析 若内层椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为 x2ma2y2mb21(m1

12、)，A(ma,0)，B(0，mb)，设切线 AC 为 yk1(xma)，切线 BD 为 yk2xmb，yk1xma，x2a2y2b21，整理得(a2k21b2)x22ma3k21xm2a4k21a2b20，由 0 知(2ma3k21)24(a2k21b2)(m2a4k21a2b2)0，整理得 k21b2a21m21，同理 yk2xmb，x2a2y2b21，可得 k22b2a2(m21)，(k1k2)2b4a4 9162，即b2a2 916，故 ecaa2b2a2 74.思维升华 圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应

13、用等相关问题，体现出数学的应用性 跟踪训练 3(1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C 的方程为 x24y24，其左、右焦点分别是 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P，且|PF1|1，过点P 且与直线 l 垂直的直线 l与椭圆长轴交于点 M，则|F1M|F2M|等于()A.2 3 B1 2 C13 D1 3 答案 C 解析 由椭圆的光学性质得直线 l平分F1PF2，因为12PMFPMFSS|F1M|F2M|12|PF1|PM|sinF1PM12|PF2|PM|sinF2PM|P

14、F1|PF2|，由|PF1|1，|PF1|PF2|4 得|PF2|3，故|F1M|F2M|13.(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1B2C3D2.5 答案 A 解析 清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为 r，圆心为(0，r1)，圆的方程为 x2(yr1)2r2，代入双曲线方程 y2x21，得 y2(r1)yr0，y1 或 yr，要使清洁钢球到达底部，即 r1.课时精练 1(2022遵义

15、模拟)双曲线x29y2271 上一点 P 到右焦点 F2的距离为 6，F1为左焦点，则F1PF2的角平分线与 x 轴交点坐标为()A(1,0)B(0,0)C(1,0)D(2,0)答案 D 解析 设交点为 D(x,0)，用面积法12PDFPDFSS12|F1D|h12|F2D|h，化简可得角平分线定理|DF1|PF1|DF2|PF2|，由双曲线定义知|PF1|2a|PF2|6612，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的 2倍，因为左焦点(6,0)，右焦点(6,0)，所以 x62(6x)，解得 x2.2天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴 a 的三次方

16、跟它的公转周期 T 的二次方的比值都相等，即a3T2k，k GM42，其中 M 为中心天体质量，G 为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为 1.5 亿千米，地球的公转周期为 1 年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为 60 亿千米，取 103.1，则冥王星的公转周期约为()A157 年 B220 年 C248 年 D256 年 答案 C 解析 设地球椭圆轨道的长半轴为 a1，公转周期为 T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为 a2，公转周期为 T2.则 a31T21 GM42，a32T22 GM42，两式相除并化简得 T22a32a31T21601.

17、531640010，所以 T280 10803.1248(年)3(2022东三省四市联考)已知直线 xya 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，|OAOB|3|OAOB|，则实数 a 的值为()A2 B 2 C 3 D 6 答案 D 解析 由|OAOB|3|OAOB|得，(OAOB)23(OAOB)2，又 O 为圆 x2y24 的圆心，则|OA|OB|2，所以OAOB2，所以|OA|OB|cosAOB2，即 cosAOB12，所以AOB3，所以AOB 为等边三角形，则 O 到直线 xya 的距离为 d 3，即 d|a|1212 3，解得 a 6.4(2022郑州模拟)已知 A

18、，B 是椭圆x2a2y2b21(ab0)长轴的两个端点，P，Q 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2(k1k20)若椭圆的离心率为 22，则|k1|k2|的最小值为()A1B.2C.32 D.3 答案 B 解析 设点 P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知 Q(x0，y0)，不妨令 y00，A(a,0)，B(a,0)，则 k1 y0 x0a，k2 y0 x0a，显然有ax0a，则|k1|k2|y0ax0 y0ax0 2ay0a2x20，因为椭圆的离心率为 22，即 e2c2a2a2b2a21b2a212，即 a 2b，x202b2y20b21x202b22y

19、20，则|k1|k2|2ay02b2b22y20ay0，因为 00)的左、右焦点，点 M 在双曲线 C 的左支上，MF2与双曲线 C 的一条渐近线交于点 D，且 D 为 MF2的中点，点 I为OMF2的外心，若 O，I，D 三点共线，则双曲线 C 的离心率为()A.2B3C.5D5 答案 C 解析 不妨设点 M 在第二象限，设 M(m，n)，F2(c,0)，由 D 为 MF2的中点，O，I，D 三点共线知直线 OD 垂直平分 MF2，则 OD：y1ax，故有 nmca，且12n1amc2，解得 ma21c，n2ac，将 Ma21c，2ac，即 M2a2c2c，2ac，代入双曲线的方程可得a2c

20、22a2c24a2c2 1，化简可得 c25a2，即 e 5，点 M 在第三象限时，同理可得 e 5.6(2022济南联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 M(异于坐标原点 O)，若线段 MF1交双曲线于点 P，且MF2OP，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52 D.6 答案 A 解析 不妨设渐近线的方程为 ybax，因为 MF2OP，O 为 F1F2的中点，所以 P 为 MF1的中点，将直线 OM，MF1的方程联立 ybax，yabxc，可得 Ma2c，abc，又 F1(c,0)，所以 Pca2

21、c2，ab2c 即 Pa2c22c，ab2c，又 P 点在双曲线上，所以a2c224a2c2 a24c21，解得ca 2，所以该双曲线的离心率为 2.7已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线 C 上的三个动点，其中 x1x2x3且 y2b0)与双曲线 C2：x2a21y2b211(a10，b10)的左、右焦点，设椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内交于点 M，椭圆 C1与双曲线C2的离心率分别为 e1，e2，O 为坐标原点，若()A|F1F2|2|MO|，则1e211e22 2 B|F1F2|2|MO|，则1e211e222

22、C|F1F2|4|MF2|，则 e1e2的取值范围是23，32 D|F1F2|4|MF2|，则 e1e2的取值范围是23，2 答案 BD 解析 如图，设|MF1|m，|MF2|n，焦距为 2c，由椭圆定义可得 mn2a，由双曲线定义可得 mn2a1，解得 maa1，naa1，当|F1F2|2|MO|时，则F1MF290，所以 m2n24c2，即 a2a212c2，由离心率的公式可得1e211e222，故 B 正确；当|F1F2|4|MF2|时，可得 n12c，即 aa112c，可得1e11e212，由 0e11，可得1e212，即 1e22，则 e1e2 2e222e2，可设 2e2t(3t0

23、，b0)的右顶点、右焦点分别为 A，F，过点 A 的直线 l 与 C 的一条渐近线交于点 Q，直线 QF 与 C 的一个交点为 B，AQABAQFB，且BQ4FQ，则双曲线的离心率 e 为_ 答案 3 104 解析 在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)中，A(a,0)，渐近线为 ybax，设右焦点为 F(c,0)，由AQABAQFBAQ(ABBF)0，即AQAF0，即AQAF，直线 l：xa，由双曲线对称性知，不妨令 Q(a，b)，设 B(x0，y0)，则BQ(ax0，by0)，FQ(ac，b)，因为BQ4FQ，则(ax0，by0)4(ac，b)，解得 x04c3a，y03b，即 B

24、(4c3a，3b)，又点 B 在双曲线 C 上，则有c3a2a23b2b21，即(4e3)210，解得 e3 104，因为 e1，则 e3 104.10早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系 Oxy，根据图上尺寸，溢流孔 ABC所在抛物线的方程为_，溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标为_ 答案(x14)2365 y 14013 解析 设桥拱所在抛物线方程为 x22py，由图可知，曲线经过(20，5)，代入方程得 2022p(5)

25、，解得 p40，所以桥拱所在抛物线方程为 x280y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线 C1：(x14)22py，由图知抛物线 C1经过点 A(20，5)，则(2014)22p(5)，解得 p185，所以 C1：(x14)2365 y.点 A 即桥拱所在抛物线 x280y 与 C1：(x14)2365 y 的交点坐标，设 A(x，y)，7x14，由 x280y，x2365 y，7x14，解得 x14013.所以点 A 的横坐标为14013.11(2022江苏七市调研)“康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一定理的内容是这样的：如图，ABC 的三条边长分别为

26、BCa，ACb，ABc.延长线段CA 至点 A1，使得 AA1a，以此类推得到点 A2，B1，B2，C1和 C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆已知 a4，b3，c5，则由ABC 生成的康威圆的半径为_ 答案 37 解析 设 M 是圆心，因为|A1C2|A2B1|B2C1|，因此点 M 到直线 AB，BC，CA 的距离相等，从而 M 是 RtABC 的内心，作 MNAC 于 N，连接 MC2，则|MN|CN|34521，|NC2|156，所以|MC2|1262 37.12(2022苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 4 2cm，杯深 8cm，称为抛物线酒杯在杯口

27、放一个表面积为 36cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为_(单位：cm)答案 6 0，12 解析 因为杯口放一个表面积为 36cm2的玻璃球，所以球的半径为 3cm，又因为杯口宽 4 2cm，所以如图 1 所示，|AB|4 2，|C1A|C1B|3，C1DAB，所以|AD|BD|2 2，所以|C1D|C1B|2|DB|2 981，所以|DE|2，又因为杯深 8cm，即|OD|8，故最小距离为|OD|DE|6，如图 1 所示，建立直角坐标系，易知 B(2 2，8)，设抛物线的方程为 ymx2，所以将 B(2 2，8)代入，得 m1，故抛物线方程为 yx2，图 1 图 2 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图 2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为 x2(yr)2r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即 x2x2r2r，则有 x2(x212r)0 恒成立，解得 12r0，可得 0r12.所以玻璃球的半径的取值范围为0，12.