2024年新结构题型中大题考点预测：导数综合 学生版.pdf

1、12024 年新结构题型中大题考点预测：导数综合目录题型一：导数恒能成立问题题型二：导数与函数零点问题题型三：导数解决双变量问题题型四：导数中的极值点偏移问题题型一：导数恒能成立问题1(2023黑龙江佳木斯模拟预测)已知函数 f x=lnx-a2x2-ax+a-1 a R(1)试讨论 f x的单调性；(2)若不等式 f x+1+a2 x+12+exx+1 0 对任意的 x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.2(2023湖南郴州模拟预测)已知 f(x)=alnx+12 x2-2x(a R 且 a 0)在(0,+)上单调递增，g x=cosx+xsinx.(1)当 a 取最小值时，证明 f x

2、12 x2-x-1 恒成立.(2)对 x1-,，x21e,e，使得 f x2x2-a g x1成立，求实数 a 的取值范围.23(2024云南昆明模拟预测)已知函数 f x=ln x+1-x+x22x -1,+和 g x=x22+sinx+cosx-x-1 x -1,2(1)讨论 f x与 g x的单调性；(2)若 ln x+1+1 sinx+cosx+ax 在 0,+上恒成立，求实数 a 的取值范围4(2024广东模拟预测)已知函数 f x=ex+cosx-2，g x=sinx.(1)求证：当 x 0,+，g(x)x ax 恒成立，求实数 a 的取值范围.35(2024湖南模拟预测)已知函数

3、 f x=a2ex-3ax(a R,a 0,e 是自然对数的底数，e=2.71828).(1)当 a=1 时，求函数 f x的零点个数；(2)当 a=1 时，证明：f x cosx-2x；(3)证明：若 a 1,+,x R，则 f x 1-2sinx.6(2024全国模拟预测)已知函数 f x=axex 和函数 g x=lnxax 有相同的最大值.(1)求 a 的值；(2)设集合 A=x f x=b，B=x g x=b(b 为常数).证明：存在实数 b，使得集合 A B 中有且仅有 3个元素.47(2023上海模拟预测)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx(b、c R)，其导函数为 f(x)

4、，(1)若函数 f(x)有三个零点 x1、x2、x3，且 x1+x2+x3=3,x1x3=-9，试比较 f(3)-f(0)与 3f(2)的大小.(2)若 f(1)=-2，试判断 f(x)在区间(0,2)上是否存在极值点，并说明理由.(3)在(1)的条件下，对任意的 m,n R，总存在 x 0,3 使得|f(x)+mx+n|t 成立，求实数 t 的最大值.8(2023 高三全国专题练习)已知函数 f x=lna2x-2 ax+alna.(1)求证 f x a2-3；(2)是否存在实数 k，使得只有唯一的正整数 a，对于 x (0,+)恒有：f(x)1 使 g x1-g x2m f x1-f x2

5、成立，则在区间 a,b上，称 g x为 f x的“m 倍扩张函数”设 f x=ex,g x=-x2+x，若在区间-2,12上 g x为 f x的“m 倍扩张函数”(1)求实数 m 的取值范围；(2)证明：f x与 g x的图象存在两条公切线611(2024湖北武汉二模)已知函数 f x=e lnx+1x+1-alnx，h x=exex(1)当 x 1 时，求证：h x-12 x+32；(2)函数 f x有两个极值点 x1，x2，其中 x1 e3a12(2024广西南宁一模)已知函数 f x=lnx-ax+a,g x=x-1ex-a-ax+1 a R(1)若 f x 0，求 a 的值；(2)当

6、a 0,1时，证明：g x f x7题型二：导数与函数零点问题13(23-24 高三上湖北期中)已知 a 0，曲线 C1：y=alnx 与 C2：y=exa 没有公共点.(1)求 a 的取值范围；(2)设一条直线与 C1，C2分别相切于点 i,j，s,t.证明：(i)i+t j+s；()0 i+se 0，曲线 y=f x在点 0,f 0处的切线与直线 x+y-2=0 垂直，证明：f x ln x+2；(2)若对任意的 x1,x2且 x1 12；(3)判断关于 x 的方程 f(x)+x=0 实数根的个数，并证明16(23-24 高三上安徽池州期末)已知函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y

7、=x 对称，若 f x=ex，构造函数 p(x)=xf(x)+ag(x)(1)当 a=1 时，求函数 p(x)在点(1,p(1)处的切线与坐标轴围成三角形的面积；(2)若 r(x)=(x+1)f(x)-g(x)(其中 g(x)为 g(x)的导函数)，当 a=-1 时，(t+1)r(t)=p(t)，证明：59 t 0，函数 g(x)=f(x)-aln|x|有且仅有 2 个零点，求 a 的值.18(2023全国模拟预测)一类项目若投资 1 元，投资成功的概率为 p(0 p 0)；如果投资失败，则会亏掉 1 元本金为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的 x(0 x 1 时，使得

8、平均回报率 f(x)最高的投资比例 x 满足凯利公式 x=pb-(1-p)b；(2)若 b=1，p=12，求函数 g(x)=e12x-x-f(cosx)在(0,)上的零点个数1019(2023上海浦东新二模)设 P 是坐标平面 xOy 上的一点，曲线 是函数 y=f x的图象若过点P 恰能作曲线 的 k 条切线 k N，则称 P 是函数 y=f x的“k 度点”(1)判断点 O 0,0与点 A 2,0是否为函数 y=lnx 的 1 度点，不需要说明理由；(2)已知 0 m ，g x=sinx证明：点 B 0,是 y=g x0 x 2+2a.题型三：导数解决双变量问题22(22-23 高三上吉林

9、通化开学考试)已知函数 f x=1-xex-a(x2+1)(a R).(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f x有两个不同的零点 x1,x2，证明：x1+x2 0.1223(2023山东威海一模)已知函数 f x=ex-ax 有两个零点.(1)求实数 a 的取值范围；(2)设 x1,x2是 f x的两个零点，求证：fx1x2 0.24(23-24 高三上重庆沙坪坝期中)已知函数 f x=aex-12 x2+a 有两个不同的极值点 x1,x2x1 0，且 x1+mx2 m+1，求 m 的取值范围.1325(23-24 高三上湖南长沙阶段练习)函数 f x=alnx+12 x2-a+1x+32

10、(a 0).(1)求函数 f x的单调区间；(2)当 a=1 时，若 f x1+f x2=0，求证：x1+x2 2；(3)求证：对于任意 n N*都有.26(2023四川成都模拟预测)若函数 f x=alnx-12 x2+a+12 x 0有两个零点 x1,x2，且 x1 x2(1)求 a 的取值范围；(2)若 f x在 x1,0和 x2,0处的切线交于点 x3,y3，求证：2x3 0).()证明：F(x)存在两个零点 x1，x2；()证明：F(x)的两个零点 x1，x2满足 x1+x2+2 1，过 M m,0斜率为 k 的直线与曲线 y=lnx 交于 P，Q 两点(P 在第一象限，Q 在第四象

11、限).(1)若 M 为 PQ 中点，证明：0 k 1.1529(2023全国模拟预测)已知函数 f x=1+2lnxx2.(1)设函数 g x=ekx-1kx k 0，若 f x g x恒成立，求 k 的最小值；(2)若方程 f x=m 有两个不相等的实根 x1、x2，求证：x1x2+x2x1 2 1-lnmm.30(2023陕西安康二模)已知函数 f x=alnx，g x=bex(e 为自然对数的底数)(1)当 a=e 时，恰好存在一条过原点的直线与 f x，g x都相切，求 b 的值；(2)若 b=1，方程 xg x-f x-ax=0 有两个根 x1，x2，(0 x1 e2-x1+x216

12、31(22-23 高三上广东揭阳期末)已知函数 f x=2alnx+x2-2(a+1)x(a 0).(1)讨论 f x的零点个数；(2)当 f x有两个零点时，分别设为 x1，x2 x1 2x1，证明：x1x2 8e2 1733(2022山东临沂二模)已知函数 f(x)=x-12 sinx(1)若存在 x 4,2，使 f(x)ax 成立，求 a 的取值范围；(2)若 g(x)=f(x)-mlnx，存在 x1，x2(0,+)，且当 x1 x2时，g x1=g x2，求证：x1x2 1.1835(23-24 高三上湖北期中)已知 h x=lnx-ax(1)若 h x有两个零点，求 a 的取值范围；

13、(2)若方程 ax ex=lnx+x 有两个实根 x1、x2，且 x2 x1，证明：h x1ex1+x2ex22 0.36(2023安徽淮南一模)已知 f(x)=alnx+x 有两个不同的零点 x1,x2 0 x1 0 恒成立，求实数 的范围.1937(22-23 高三上安徽六安阶段练习)已知函数 f(x)=a+1alnx+1x-x(a 0)，函数 g x是定义在 0,+的可导函数，其导数为 g x，满足 0 g x-g x(1)若 f x在 0,+上单调递减，求实数 a 取值范围；(2)对任意正数 x1,x2 x1 x2，试比较 x21g x1x2与 x22g x2x1的大小38(22-23

14、 高三上内蒙古阶段练习)已知函数 f(x)=ex-e-x-ax(a R)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2，证明：2-a f x1-f x2x1-x2 02039(2023湖南永州一模)已知 f(x)=x2-kxlnx-1，g(x)=12 ax2-xlnx+x(1)不等式 f(x)0 对任意 x 1 恒成立，求 k 的取值范围；(2)当 g(x)有两个极值点 x1,x2 x1 x2时，求证：(2ae-1)x1+x2 2e.40(23-24 高三上云南昆明阶段练习)设 a，b 为函数 f x=x ex-m(m 0)的两个零点(1)若当 x 1x 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)证明：ea+eb-2