22.3.2 用一元二次方程解决复杂的应用问题教案2023—2024学年华东师大版数学九年级上册.docx

1、第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题教学过程一、复习引入1.一元二次方程解决相关几何问题，需要充分利用平面图形的一些知识，如图形的面积公式、体积公式、勾股定理、图形的全等.2.列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要掌握下列关系式：（两次变化）原数（1+增长的=后来数.原数（1-降低的=后来数.3.列一元二次方程解决有关利润问题时，要掌握下列关系式：商品利润=销售价-原价=原价利润率=单件利润件数.二、探索新知【例1】 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图.（1）如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形边长

2、为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？（3）你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？如果有，请你求出长方体侧面积的最大值是多少？解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm,根据题意，得解得只取x=0.5.答：剪去的正方形边长为0.5cm.(2)根据题意，填表如下：观察表中数据发现：随着折叠成的长方体底面积减小，剪去的正方形边长增大，折叠成的长方体的侧面积先增大后减小.（3）长方体的侧面积存在最大值.设剪去的正方形边长为xcm,折叠成的长方体的侧面积为Scm.根据题意可得S随x变化的函数关系式为

3、整理,得配方,得所以当x=2.5时，S有最大值为50.答：当剪去的正方形边长为2.5cm时，折叠成的长方体的侧面积有最大值为【例2】 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？分析：翻一番，即为原产值的2倍.若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位.解：（1）设原产值为1个单位，这两年中产值的平均年增长率为x,根据题意，得解得增长率不可能为负值，答：这两年中产值的平均年增长率为41.4%.（2）设第一年的增长率为x,则第二年的增长率应为2x.根据题意，得解得增长率不

4、可能为负值，答：第一年的增长率为28%时，可以实现两年后产值翻一番.【例3】 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：(1)请你根据上表所给的数据表述出每件售价提高的价格（元）与产品的日销售量减少的数量（件）之间的关系.（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价多少元时，每日盈利可达到1600元？分析：（1）从表中可以看出，每件售价提高多少元，日销售量就要减少多少件.（2）可根据表格中“每件售价130元时，日销售为70件”，以此为基础，利用公式“每件商品的利润销售量=总利润”列出方程，得出答案.解：（1）由表格中

5、数量关系可知，该产品每件售价上涨1元，其日销售量就要减少1件.（2）设每件产品的售价在130元的基础上，涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销售量为(70-x)件.根据题意，得（130+x）-120(70-x)=1600.解这个方程，得x+130=160.答：每件商品的定价为160元时，每日盈利可达到1600元.三、 巩固练习1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率.（精确到1%）2.某商

6、店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增长（或降低）1元，销售量将减少（或增加）10台.商店若希望获得2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？答案：1.设新品种花生每公顷产量的增长率为x,则出油率的增长率为根据题意，得解得(不合题意，舍去).答：新品种花生每公顷产量的增长率约为14%，出油率的增长率约为7%.2.（1）设销售定价在52元的基础上增加了x

7、元，则每台家电所获利润为(52+x-40)元，销售量为(180-10x)台.（2）根据题意，得(52+x-40)(180-10x)=2000.解得当x=-2时，定价为52+(-2)=50(元)，此时的销售量为180-10(-2)=200(台);当x=8时,销售定价为52+8=60（元），此时的销售量为180-108=100(台).都符合题意.销售定价为50元，进货200台；或销售定价为60元，进货100台.（3）设最大利润为W（元），则W=(12+x)(180-10x)=-10(x-3)+2250.当x=3时，W取最大值2250.故当销售定价为55元时，能获得最大利润2250元，应进货180-103=150（台）.四、归纳小结用一元二次方程能解决的问题涉及实际生活的方方面面，题型新颖，解法灵活，综合性强.解题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，应从多角度来考虑.常见的题型有形积问题、增长（降低）率问题、利润问题等.课后作业教材习题22.3第3、4、5、6题.