3.2.1 向量共面的充要条件 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册.docx

1、学生版第 3 章 空间向量及其应用3.2 空间向量基本定理3.2.1 向量共面的充要条件本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威

2、力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法；2、类比法理解共面向量的充要条件，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题；（重点、难点）3、用好基底、基向量及向量的线性组合的；1、逻辑推理：通过平面向量与空间向量的对比，；

3、2、数学运算：借助共线、共面向量；3、直观想象：借助共线、共面向量；【自主学习】问题导学：预习教材P96P97的内容，思考以下问题：1、回忆与复习共线向量、表示及应用；2、类比引入向量共面的充要条件、表示及应用；【知识梳理】1、类比共线向量与共面向量因为两个向量的和是通过平行四边形或三角形（都是平面图形）作出的，所以两个向量的任何线性组合都与原来的两个向量共面；反之，如果给定两个互不平行的向量，任意与这两个向量共面的向量都是这两个向量的线性组合；这个结论是在给定的两个向量所在的平面上使用（见必修课程8,1节）平面向量基本定理得到的；事实上，平面向量基本定理在空间中应该叙述为如下的向量共面的充要

4、条件；向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么，空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得；共线向量共面向量定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，则这些向量叫做 或 ；平行于同一个平面的向量，叫做 ；充要条件对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数，使；如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使；应用证明：三点或多点共线证明：三个向量或多个向量共面【说明】1、向量共面的条件向量平行于平面的定义已知向量，作，如果的基线OA平行于平面或在内，则就说向量平行于平面，记作：；共面向量的定义：平行于同一平面的向量，叫做共

5、面向量；思考1：平面向量基本定理中对于向量与有什么条件，在空间中能成立吗？【解析】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）若，则存在唯一的实数，使；（ ）若xy，则与，共面；（ ）若与，共面，则xy；（ ）若xy，则P，M，A，B共面；（ ）若P，M，A，B共面，则xy；（ ）【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题注意考查了用类比的思想理解向量共面；更深刻理解平面向量分解定理；2、对于空间的任意三个向量，它们一定是（ ）A共面向量 B共线向量 C不共面向量 D既不共线也不共面的向量3、若(，R)，则直线AB与平

6、面CDE的位置关系为 4、已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x_【题型探究】题型一、向量共线的充要条件例1、如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且；求证：，三点共线；【说明】判定两向量共线的充要条件就是：就是寻找使成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出，从而得；其进一步应用，就是证明“三点共线”；题型二、向量共线充要条件的应用例2、如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，利用向量法求证：四边形EFGH是梯形；题型三、向量共面的充要条件例3、对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中

7、点试证：与、共面；【说明】1、判断三个(或三个以上)向量共面的方法：（1）应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示（2）选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式2、利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系；题型四、向量共面充要条件的应用例4、叙述并用向量法证明线面垂直的判定定理【提示】设，若要证明直线，就是要证明直线垂直于平面内的任意

8、一条直线，故在平面内作任意一条直线，并在，上取非零向量，利用共面向量基本定理建立，的联系，只需证明即可.【解析】线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.【说明】本题考查学生对于线面垂直的判定定理的理解及证明，考查共面向量基本定理在证明中的运用.【素养提升】空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说，共线时，表示，的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说时，也具有相同的意义，且与任意向量都共线；空间一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对(x，y)，使xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，

9、平面MAB内的任一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据，也可用来把已知共面条件转化为向量式，以便应用向量这一工具；易错防范：易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行【典例】已知AB，CD是异面直线，CD，AB，M，N分别是AC，BD的中点证明：MN；【易错警示】易错原因纠错心得本题易由直接得到MN.忽略对MN这种情况的讨论线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有()A与共线 B与同向 C与

10、反向D与共面2、若空间中任意四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()APAB BPAB C点P可能在直线AB上 D以上都不对3、下列命题中，正确的命题的序号是 若，则与方向相同或相反；若，则A，B，C，D四点共线；若与不共线，则空间任一向量；若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；4、设M是ABC的重心，记，则 5、下列各式可以确定A，B，C，D四点共面的是_(填序号)； ；2； .B级：“四能”提升训练6、判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3

11、)如果t，则P，A，B共线()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()7、空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则 8、如图，在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量9、已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面10、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，且M，N分别为BD，AE的中点，求证：MN平面CDE.教师版第 3 章 空间向量及其应用3.2 空间向量基本定理3.2.1 向量共面的充要条件本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高

12、境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何

13、问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法；2、类比法理解共面向量的充要条件，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题；（重点、难点）3、用好基底、基向量及向量的线性组合的；1、逻辑推理：通过平面向量与空间向量的对比，；2、数学运算：借助共线、共面向量；3、直观想象：借助共线、共面向量；【自主学习】问题导学：预习教材P96P97的内容，思考以下问题：1、回忆

14、与复习共线向量、表示及应用；2、类比引入向量共面的充要条件、表示及应用；【知识梳理】1、类比共线向量与共面向量因为两个向量的和是通过平行四边形或三角形（都是平面图形）作出的，所以两个向量的任何线性组合都与原来的两个向量共面；反之，如果给定两个互不平行的向量，任意与这两个向量共面的向量都是这两个向量的线性组合；这个结论是在给定的两个向量所在的平面上使用（见必修课程8,1节）平面向量基本定理得到的；事实上，平面向量基本定理在空间中应该叙述为如下的向量共面的充要条件；向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么，空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得；共线向量共面向量定义

15、如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；平行于同一个平面的向量，叫做共面向量；充要条件对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数，使；如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使；应用证明：三点或多点共线证明：三个向量或多个向量共面【说明】1、向量共面的条件向量平行于平面的定义已知向量，作，如果的基线OA平行于平面或在内，则就说向量平行于平面，记作：；共面向量的定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量；思考1：平面向量基本定理中对于向量与有什么条件，在空间中能成立吗？【解析】平面向量基本定理中要求向量a与b不共

16、线，在空间中仍然成立【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）若，则存在唯一的实数，使；（ ）若xy，则与，共面；（ ）若与，共面，则xy；（ ）若xy，则P，M，A，B共面；（ ）若P，M，A，B共面，则xy；（ ）【提示】注意理解向量共线的充要条件，理解向量平行及其应用；注意与公理2的推论的关联；【答案】；【解析】对于，反例：，所以，是假命题；对于，若xy，则与，肯定在同一平面内，所以，是真命题；对于，若，共线，与不共线，则xy就不成立；所以，是假命题；对于，若xy，则，三个向量在同一平面内，P，M，A，B共面，是真命题；对于，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则x

17、y不正确，所以，是真命题；【说明】本题注意考查了用类比的思想理解向量共面；更深刻理解平面向量分解定理；2、对于空间的任意三个向量，它们一定是（ ）A共面向量 B共线向量 C不共面向量 D既不共线也不共面的向量【答案】A；【解析】根据共面向量定理知，一定共面；3、若(，R)，则直线AB与平面CDE的位置关系为 【答案】AB平面CDE或AB平面CDE；【解析】由(，R)及共面向量定理可知：向量与向量、共面，即直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行；4、已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x_【答案】；【解析】已知x且M，A，B，C四点共面，则x1，解得x；【题型探究】

18、题型一、向量共线的充要条件例1、如图所示，在正方体中，在上，且，在对角线上，且；求证：，三点共线；【提示】注意题设与向量的符号表示与几何表示的关联；【证明】设，由已知，所以，；所以，又所以，；则，三点共线；【说明】判定两向量共线的充要条件就是：就是寻找使成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出，从而得；其进一步应用，就是证明“三点共线”；题型二、向量共线充要条件的应用例2、如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，利用向量法求证：四边形EFGH是梯形；【提示】注意理解向量共线充要条件与应用；【证明】因为，E、H分别是边AB、

19、AD的中点，所以，()()()，所以，且|，又F不在EH上，则四边形EFGH是梯形；题型三、向量共面的充要条件例3、对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点试证：与、共面；【提示】注意构建与平面向量分解定理的交汇； 【证明】空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，则，.又E、F分别是AB、CD的中点，故有，将代入中，两式相加得2.所以，即与、共面【说明】1、判断三个(或三个以上)向量共面的方法：（1）应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示（2）选择目标向量以外的一组基

20、底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式2、利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系；题型四、向量共面充要条件的应用例4、叙述并用向量法证明线面垂直的判定定理【提示】设，若要证明直线，就是要证明直线垂直于平面内的任意一条直线，故在平面内作任意一条直线，并在，上取非零向量，利用共面向量基本定理建立，的联系，只需证明即可.【解析】线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.问题：若，是平面内的两条相交直线，如果，求

21、证：.证明：在平面内作任意一条直线，分别在，上取非零向量，.则，即，又因为直线，相交，所以向量，不共线，所以由向量共面的充要条件可知，存在惟一一组有序实数对，使， 故，所以，根据线面垂直的定义可知，.【说明】本题考查学生对于线面垂直的判定定理的理解及证明，考查共面向量基本定理在证明中的运用.【素养提升】空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说，共线时，表示，的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说时，也具有相同的意义，且与任意向量都共线；空间一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对(x，y)，使xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，

22、平面MAB内的任一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据，也可用来把已知共面条件转化为向量式，以便应用向量这一工具；易错防范：易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行【典例】已知AB，CD是异面直线，CD，AB，M，N分别是AC，BD的中点证明：MN；【证明】因为CD，AB，且AB，CD是异面直线，所以在平面内存在向量，使得，且两个向量不共线；由M，N分别是AC，BD的中点，得；.所以， ，共面，所以MN或MN.若MN，则AB，CD必在平面内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾故MN；【易错警示】易错原因纠错心得本题易由直接得到MN.忽略对

23、MN这种情况的讨论线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有()A与共线 B与同向 C与反向D与共面【答案】A；【解析】根据题意向量，与任何向量都共面，所以只有在，共线的条件下才有可能.2、若空间中任意四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()APAB BPAB C点P可能在直线AB上 D以上都不对【答案】A；【解析】因为mn1，所以m1n，所以(1n)n，即n()，即n，所以与共线又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即PAB.3

24、、下列命题中，正确的命题的序号是 若，则与方向相同或相反；若，则A，B，C，D四点共线；若与不共线，则空间任一向量；若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；【答案】【解析】中，当，有零向量时，不正确；中，当时，则A，B，C，D四点共面，不一定共线，不正确；中，当，共面时，才能有，故不正确；为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；4、设M是ABC的重心，记，则 【答案】()【解析】如图，M是ABC的重心，()()()5、下列各式可以确定A，B，C，D四点共面的是_(填序号)； ；2； .【答案】；【解析】由可知向量，共面，且有公共端点A，则可以确定A

25、，B，C，D四点共面；，其中系数1，则可以确定A，B，C，D四点共面；由2，可知，共线，可以确定A，B，C，D四点共面；，即有，即，则可以确定A，B，C，D四点共面B级：“四能”提升训练6、判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3)如果t，则P，A，B共线()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()【答案】(1)(2)(3)(4)7、空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则 【答案】3 【解析】23；8、如图，在空间四边形ABCD中，G为BCD

26、的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量【解析】G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()，(如图所示)9、已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面【解析】设pxmyn，即3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面10、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，且M，N分别为BD，AE的中点，求证：MN平面CDE.【提示】欲证MN平面CDE，可用共面向量的定理，结合线面平行的判定定理求解【证明】证法1：M为BD的中点，()又N为AE的中点，()()又.又与不共线，根据向量共面的充要条件，可知，共面又MN平面CDE，MN平面CDE.证法2：如图，连接AC，四边形ABCD为矩形，M在AC上，且为AC的中点，又M，N分别为AC，AE的中点，故().与共线；又CE平面CDE，MN平面CDE，MN面CDE.【说明】利用向量判断线面平行的方法常见的有两种：一种是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；另一种是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量表示出直线上的向量这两种方法都要注意说明直线不在平面内；