4.5.3 函数的应用（二）(3)—函数模型的应用-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第四章 指数函数与对数函数 课时4.5.3 函数的应用（二）(3)函数模型的应用 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.阅读、收集一些现实生活、实际生产或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.4.5.3函数模型的应用基础过关练题组一利用已知函数模型解决问题1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,x0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x

2、+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;(2)当年产量为多少台时,该企业所获利润最大?题组二建立函数模型解决问题4.某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下 ()A.0.015克B.(1-0.5%)3克C.0.925克D.1000.125 克5.为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.(

3、1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;(2)为了布局“5G网络”,该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)6.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,飞机票价格为900元/张;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,每张飞机票价格就减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?题组

4、三拟合函数模型解决问题7. 如图是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是 ()8.如图是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.图图图由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图方案是,图方案是.9.某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价(单位:y元)与上市时间(单位:x天)的数据如下:上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪

5、念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:y=ax+b;y=ax2+bx+c;y=ax+b.(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.10.中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%,居全球首位.中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系为:当0x4,则由题意可得c4=30,ca=5,解得c=60,a=144,故选C.2.C当x=1时,由3 000=alog3(1+2)得a=3 000,所以到20

6、25年冬,即第7年,y=3 000log3(7+2)=6 000.故选C.3.解析(1)由题图可知该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,于是设y=kx+b(k0).点(3,600),(5,500)在其图象上,3k+b=600,5k+b=500,解得k=-50,b=750,y=-50x+750(3x12).(2)设该商品每天的利润为w元.由题意知w=(-50x+750)(x-3)-300,整理得w=-50(x2-18x+51)=-50(x-9)2-30.x3,12,当x=9时,w取得最大值,最大值为1 500.故当销售单价定为9元时,该商品每天的利润最大.4.解析设广告费为

7、x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=kx(k0),则y=t-x=kx-x.当x=100时,t=1 000,1 000=10k,解得k=100,t=100x,y=100x-x.令x=m,则m0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.5.A设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12a,又进行两次降价后的价格为1.12a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2a=0.992a6,即1.2n3,两边取对数,得nlg

8、1.2lg 3,nlg3lg1.2=lg3lg3-1+2lg26.03,又n为整数,n的最小值为7,又2 019+7=2 026,从2026年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.8.答案y=22-6x(011)解析根据题意得函数关系式为y=22-6x(011).9.解析(1)根据题意,得45p0=p0e-k,e-k=45,p(t)=p045t.(2)由p(t)=p045t11 000p0,得45t10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)3,t30.因此,至少还需过滤30个小时.10.B由题中表格可知函数在(0,+)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选

9、项可知B符合,故选B.11.答案甲解析对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.12.解析(1)由题意得,当0x100时,y=0.57x;当x100时,y=1000.57+(x-100)0.5=0.5x+7,则y关于x的函数关系式为y=0.57x,0x100,0.5x+7,x100.(2)由x=120100,得y=67,即应交电费67元.(3)1月用电:因为760.57100=57,所以x100,由0.5x+7=76得x=138;2月用电:因为630.57100=57,所以x100,由0.5x+7=63得x=112;3月用电:因为45.60.57

10、100=57,所以0x100,由0.57x=45.6得x=80,则138+112+80=330(千瓦时),即第一季度共用电330千瓦时.13.解析若以y=aekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得ae10k=4,ae40k=18,解得k0.050 136,a2.422 8.y=2.422 8e0.050 136x.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.若以y=axn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a10n=4,a40n=18,解得n1.085,a0

11、.328 9.y=0.328 9x1.085.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得a102+b10+c=4,a402+b40+c=18,a602+b60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2.y=1150x2+215x+2.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它比较符合实际情况.当x=120时,y=114,即当车速为120

12、km/h时,停车距离为114 m.能力提升练1.A依题意得2m=64,218k+m=16,解得m=6,k=-19,y=2-19x+6.当x=36时,y=2-1936+6=22=4(时),故选A.2.D设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a=28022-0.25=320.3.解析(1)当0x80时,y=100x-12x2+40x-500=-12x2+60x-500;当x80时,y=100x-101x+8 100x-2 180-500=1 680-x+8 100x.所以当0x80时,y=-12x2+60x-500;当x80时,y=1 680

13、-x+8 100x.(2)当0x80时,y=-12(x-60)2+1 300,当x=60时,y取得最大值,最大值为1 300.当x80时,y=1 680-x+8 100x1 680-2x8 100x=1 500,当且仅当x=8 100x,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500.所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.4.D设每年减少的比例为x,因此1克这种放射性元素,经过100年后剩余1(1-x)100克,依题意得(1-x)100=0.5,所以x=1-1000.5.3年后剩余为(1-x)3,将x的值代入,得结果为1000.125,故选D.5.解析(1)根据

14、题意,设该公司的总收入为W万元,则W=5010+x81-x100,0x100.若该公司月总收入不减少,则有5010+x81-x1001050,解得0x20.(2)设该公司总盈利为y万元,则y=5010+x81-x100-210+x8=-x216+x+480,0x100,结合二次函数的性质分析可得,当x=8时,该公司的总盈利最大.6.解析(1)设旅行团人数为x,飞机票价格为y元/张,则y=900,0x30,xN*,900-10(x-30),30x75,xN*,即y=900,0x30,xN*,1 200-10x,30x75,xN*.(2)设旅行社获利S元,则S=900x-15 000,0x30,x

15、N*,x(1 200-10x)-15 000,30x75,xN*,即S=900x-15 000,0x30,xN*,-10(x-60)2+21 000,30x75,xN*.因为S=900x-15 000在区间(0,30上单调递增,所以当x=30时,S取最大值12 000,又因为S=-10(x-60)2+21 000在区间(30,60上单调递增,在(60,75上单调递减,所以当x=60时,S取最大值21 000.故旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润.7.D根据题中图象可知在第一段时间吴老师离家的距离随着时间的增加而增加,第二段时间吴老师离家的距离随着时间的增加不变,第三段时间吴老师离家的距离

16、随着时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各选项可知,只有选项D正确,故选D.8.答案降低成本,票价不变;增加票价解析由题图知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图与题图相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图表示降低成本,票价不变,题图与题图相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图表示增加票价,故答案为降低成本,票价不变;增加票价.9.解析(1)随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三个函数中y=ax+b和y=ax+b显然都

17、是单调函数,不满足题意,选择y=ax2+bx+c.(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,1 296a+36b+c=90,解得a=14,b=-10,c=126.y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26,当x=20时,y有最小值,且ymin=26.故当纪念章上市20天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为26元.10.解析(1)当0x6时,由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a0),由题中表格数据可得f(0)=c=0,f(1)=a+b+c=74,f(2)=4a+2b+c=3,解得a=-14,b=2,c=0.所以当0x6时, f(x)=-14x2+2x.当x6时, f(x)=13x-t,由题中表格数据可得,f(9)=139-t=19,解得t=7,所以当x6时,f(x)=13x-7.综上,f(x)=-14x2+2x,0x6,13x-7,x6. (2)当0x3,所以函数f(x)的最大值为4.