4.5函数的应用（二） 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、4.5 函数的应用（二）一、函数的零点1概念：对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：思考函数的零点是函数与x轴的交点吗？二、函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解思考1函数零点存在定理的条件有哪些？思考2在函数零点存在定理中，若f(a)f(b)0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有

2、唯一零点？三、二分法对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考1若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？思考2二分法的解题原理是什么？四、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1确定零点x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0.2求区间(a，b)的中点c.3计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点(2)若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc.(3)若f(c)f(b)0(

3、此时x0(c，b)，则令ac.4判断是否达到精确度：若|ab|0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)六、应用函数模型解决问题的基本过程1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型3求模求解数学模型，得出数学模型4还原将数学结论还原为实际问题考点一 零点的求解【例1】(2020武威第六中学高二期末(文)若函数的零点是()，则函数的零点是( )AB和CD和【练1】(2020北京高一期中)已知函数，那么方

4、程f(x)0的解是( )ABx1CxeDx1或xe考点二 零点区间的判断【例2】(2020湖南娄底高二期末)函数的零点所在的区间为( )ABCD【练2】 (2020浙江高一课时练习)设函数与的图象的交点为，则所在的区间是( )ABCD考点三 零点个数的判断【例3】(1)(2020哈尔滨市第十二中学校高二期末(文)函数的零点个数为( )A0个B1个C2个D3个(2)(2020山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程的实数解的个数为( )A1B2C3D0【练3】(2020浙江高一课时练习)函数在区间(0,1)内的零点个数是( )A0B1C2D3考点四 根据零点求参数【例4】(2020江苏省海头高级中学

5、高一月考)方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )ABCD【练4】 (2020吉林长春外国语学校高二开学考试)函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是( )ABCD考点五 二分法【例5】(2020福建高一期中)设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间ABCD不能确定【练5】(2020郸城县实验高中高一月考)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A2.1，1B4.1，5C1.9，2.3D5，6.1考法六 函数模型【例6】(2020定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，

6、计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：)A2022年B2023年C2024年D2025年【练6】(2019四川高一期末)某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍()求a，b的值；()求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，课后习题1. （2020高一上越秀期末）函数 f(x)=lnx+2x-3 的零点所在的一个区间是（ ）

7、 A.(0,12)B.(12,1)C.(1,32)D.(32,2)2. （2021高一下湛江期末）函数 f(x)=2x-1+x-5 的零点所在的区间为（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)3. （2020高一上来宾期末）函数 f(x)=2x+lnx-1 的零点所在的区间为（ ） A.(1,32)B.(32,2)C.(0,12)D.(12,1)4. （2020高一上毕节期末）若 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260

8、f(1.438)=0.165 f(1.4065)=-0.052 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.55. 若二次函数 y=x2+ax+b 的两个零点分别是2和3，则 2a+b 的值为. 6. （2021云南模拟）函数 f(x)=2sinxcosx-3cos2x-1 在 (-，) 上的零点之和为. 7. （2021高一下西安月考）方程 x=sinx 实根的个数为 8. （2021高二下孝感期末）已知 x0 是函数 f(x)=e2lnx+x-2+lnx-2 的零点，则 e2-x0+lnx0 的值为. 9. （2020高一上

9、泉州期末）已知函数 f(x)=4x+a2x . （1）若 f(x) 为偶函数，求 a 的值； （2）若函数 g(x)=f(x)-(a+1) 在 -1,1 上有2个不同的零点，求 a 的取值范围. 10. （2020高一上越秀期末）已知1与2是三次函数 f(x)=x3+ax+b(a，bR) 的两个零点. （1）求 a，b 的值； （2）求不等式 ax2-bx+10 的解集. 11. （2021沈阳模拟）已知函数 f(x)=xlnx+a ， a0 . （1）证明： f(x) 有且仅有一个零点； （2）当 a(-2e2,0) 时，试判断函数 g(x)=12x2lnx-14x2+ax 是否有最小值？若

10、有，设最小值为 h(a) ，求 h(a) 的值域；若没有，请说明理由. 12. （2020高一上咸阳期末）已知函数 f(x)=ln(3+x)+ln(3-x) 的定义域为 (-3,3) . （）证明：函数 f(x) 是偶函数；（）求函数 f(x) 的零点.精讲答案思考答案不是函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标思考一答案定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.思考二答案满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)f(b)0.思考一答案二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的

11、零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解思考二【例1】【答案】B【解析】由条件知，的零点为和.故选B.【练1】【答案】C【解析】依题意，所以.故选：C【例2】【答案】C【解析】可以求得，所以函数的零点在区间内故选C【练2】 【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则,而当x=2时，则，故选B.【例3】【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令，则，即，又，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：(2)方程的实数解的个数，即为方程的实数解的个数，即为函数与函数图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示：只有一个交点，所以方

12、程的实数解的个数为1故选：A【练3】【答案】B,在范围内，函数为单调递增函数又，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个【例4】【答案】B【解析】方程中，令，得，化简得，解得，所以时，方程有两个不相等的实数根；故选：B.【练4】【答案】C【解析】由条件可知，即a(a3)0，解得0a3.故选C【例5】【答案】B【解析】 又 由零点存在定理可得在区间存在零点.方程的根落在区间故选：B【练5】【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C【例6】【答案】C【解析】设从年后，第年该公司全

13、年投入的研发资金开始超过万元，由题意可得：，即，两边取对数可得：，则，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是年.故选C.【练6】【答案】()，；()5年.【解析】， ，又，即，联立解得，由得，由得，故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍练习答案1.【答案】 C 【考点】函数零点的判定定理 【解析】因为函数 y=lnx 、 y=2x-3 均为 (0,+) 上的增函数，所以，函数 f(x) 为 (0,+) 上的增函数， f(1)=-10 ，即 f(1)f(32)0 ，因此，函数 f(x)=lnx+2x-3 的零点所在的一个区间是 (1,32) .故答案为：C.【分析】根据题意

14、由对数函数和一次函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的值结合零点存在定理即可得出零点的区间。2.【答案】 B 【考点】函数零点的判定定理 【解析】设任取 x1，x2，x10 所以 f(x1)f(x2) ， f(x)=2x-1+x-5 为增函数.所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)又因为 f(2)0 ，所以零点所在的区间为 (2,3) .故答案为：B.3.【答案】 D 【考点】函数零点的判定定理 【解析】函数 f(x)=2x+lnx-1 为 (0,+) 上的增函数， 由 f(1)=10 ， f(12)=2-ln2-132-ln2-1=12-ln20 ， f(1.4065)

15、=-0.0520) ，且 -1log2a1 ， log2a0 ，解得 12a1 或 10 ， 根据二次函数的性质得不等式的解集为： x|-1x17 所以不等式的 ax2-bx+10 解集为 (-1,17) 【考点】一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程，函数的零点与方程根的关系 【解析】 (1)由已知条件结合方程根的情况以及零点的定义，代入整理得到关于a与b的方程组，计算出a与b的值即可。 (2)由(1)的结论即可得出一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而即可求出不等式ax2-bx+10的解集。 11.【答案】 （1）证明： a0 ， x(0,1) 时，显然

16、有 f(x)=xlnx+a0 ， f(x) 单调递增又 f(1)=a1 ， f(e-a)=-ae-a+a=a(1-e-a)0 ，即 f(1)f(e-a)1-a-1+a=0 ，用此法需证 xlnxx- 1(x1) ，其他取点方法合理即可)（2）解： g(x)=xlnx+a x(0,1 ， g(x)=f(x)0 ， x(1,+) ， g(x)=f(x) 单调递增.又 g(1)=a0 ，故存在唯一 x1(1,e2) ，使 g(x1)=0 ，即 x1lnx1+a=0 .x(0,x1) ， g(x)0 ， g(x) 单调递增.因此函数 g(x)=12x2lnx-14x2+ax 有最小值.h(a)=g(x

17、)min=g(x1)=12x12lnx1-14x12+(-x1lnx1)x1=-12x12lnx1-14x12 令 (x)=-12x2lnx-14x2 ， x(1,e2) ，则 (x)=-xlnx-x03-x0 ，解得 -3x3 ， 所以函数的定义域为 x|-3x3 关于原点对称，又 f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x) ， f(x) 是偶函数. （） f(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2) .令 f(x)=ln(9-x2)=0 ， 9-x2=1 ，解得 x=22 （经检验符合题意）.函数 f(x) 的零点为 -22 和 22 .【考点】函数奇偶性的判断，指数式与对数式的互化，函数的零点 【解析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 f(x) 是偶函数。（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。