5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（学案）-2022-2023学年高一数学精品同步课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

1、5.5.1 三角恒等变换第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】课程标准学科素养1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征3.能灵活运用公式进行化简和求值.1.逻辑推理2.数学运算【自主学习】两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式名称公式简记符号条件两角和的余弦cos() C()，R两角和的正弦sin() S()，R两角差的正弦sin() S()两角和的正切tan() T()，k(kZ)两角差的正切tan() T()注意：在应用两角和与差的正切公式时，只要tan，tan，tan()(或tan

2、()中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题总结：公式的结构特征和符号规律对于公式C(-) ，C(+) ，可记为“余余正正，符号异”.对于公式S(-) ，S(+) ，可记为“正余余正，符号同”.对于公式T(-) ，T(+) ，可记为“分子同,分母异”.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)把公式cos()coscossinsin中的用代替，可以得到cos()()(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的() (3)对任意的，角，都有tan ()tantan1tantan.() (4)tan能根据公式tan()直接展

3、开()(5)tantan，tantan，tan()三者知二可表示或求出第三个()2.cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于()A. BC0D13.若tan 3，tan ，则tan()等于()A. B C3 D34.sin 45cos 15cos 45sin 15_.【经典例题】题型一 给角求值点拨：给角求值问题涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin () sin cos cos sin 即为正用， sin cos cos sin sin ()即为逆用。公式的逆用是三角式变形的重要手段，有时还需把三角函数式的系数0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用例

4、如：cossinsincoscossinsin()注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如tan1，tan，tan等.还要注意tan，tan.例1 求下列各式的值： (1) sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin cos ；(3).【跟踪训练】1 求下列各式的值：(1)cos 105； (2)cos75sin135sin45cos15；(3)1-tan27tan33tan27+tan33； (4).题型二 给值求值点拨：解题时要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1.当条件中有两角

5、时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差角的拆分方式如下：()()，2()()，2()()，()，()等.2.当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角例2 (1) 已知cos ，sin ，是第三象限角求sin()，sin()的值；(2)已知sin (34)513，cos (4)35，且0434，求cos ()【跟踪训练】2 (1)若3，tan()2，则tan(2)_.(2)已知(0，2)，sin (6)13，则sin的值为_题型三 给值求角点拨：给值求角的方法一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值

6、范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，)，则选余弦函数例3(1)已知sin55，sin1010，且，(0，2)，求角的大小(2)若，均为锐角，且tan2，tan3，则等于()A4 B34 C54 D74【跟踪训练】3 设，为钝角，且sin，cos，则的值为()A. B. C. D.或题型四 正切公式的变形应用点拨：T()可变形为如下形式：tantantan()(1tantan)；1tantan例4 (1)求值：tan 10tan 50tan 10tan 50.(2)若锐角，满

7、足(1tan)(1tan)4，求的值【跟踪训练】4 在ABC中，tanAtanBtanAtanB，则C等于()A. B. C. D.【当堂达标】1.已知cos45，02，则sin (4)()A210 B7210 C210 D72102.sin15cos15的值为()A. B C. D3.在ABC中，A，cosB，则sinC等于()A. B C. D4.已知sincos，cossin，则sin()_.5.计算 (1);(2) tan23tan37tan23tan37.6.已知，0，cos，sin，求sin()的值7.已知：，且cos()，sin，求角的大小8.已知tan2，tan，其中0，.求：

8、(1)tan()；(2)的值【参考答案】【自主学习】coscossinsin sincoscossin sincoscossin 【小试牛刀】1. (1) (2) (3) (4) (5)2.C 3.A 4.【经典例题】例1 解：(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(2)原式222sin2sin .(3)原式tan(4575)tan 120.【跟踪训练】1 解：(1)原式cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(2)原式sin15cos45sin45cos

9、15sin (1545)sin6032.(3)原式1tan27+tan331-tan27tan331tan27+331tan6033. (4)原式sin 30.例2解：(1)cos ，sin .sin ，是第三象限角，cos .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(2)0434，3434，240.又sin (34)513，cos (4)35，cos (34)1213，sin (4)45.cos ()sin 2()sin (34)(4)sin (34)cos (4)cos (34)sin (4)51335(1213)(45)3365.【跟踪训练

10、】2 (1) 解析：3，tan2.又tan()2，tan(2)tan()tan(). (2) 3+226 解析：由题意可知，因为(0，2)，所以6(6，3)，所以cos (6)1-sin2-6223，则sinsin (6+6)sin (6)cos6cos (6)sin61332+223123+226.例3解： (1)sin55，sin1010，且，(0，2)，cos1-sin2255，cos1-sin231010，cos()coscossinsin25531010-55101055050521022，又由已知可得(0，)，4.(2) B解析：tan ()tan+tan1-tantan2+31-

11、231.因为(0，2)，(0，2)，则(0，)，故34.【跟踪训练】3 C解析：，为钝角，sin，cos，由cos，得sin ，cos()coscossinsin.又2，.故选C.例4 解： (1)tan 60tan(1050)，tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50)，原式tan 60(1tan 10tan 50)tan 10tan 50tan 10tan 50tan 10tan 50. (2)(1tan)(1tan)1(tantan)3tantan4，tantan(1tantan)，tan().又，均为锐角，0180，60.【跟踪训练】4 A 解析：根据题意可知，

12、tanAtanBtanAtanB，所以tan(AB)因为CAB，故tan(AB)tanC，所以tanC，因为在三角形中0C，故C.故选A.【当堂达标】1.B 解析：由cos45，02，得sin35，所以sin (4)22sin22cos2235+22457210.2.B 解析：原式sin30sin15cos30cos15(cos30cos15sin30sin15)cos(3015)cos45.3.A解析：cosB，B为锐角sinB.又sinCsin(AB)sin(AB)sincosBcossinB4. 解析：由sincos两边平方得sin22sincoscos2，由cossin两边平方得cos22cossinsin2，得：(sin2cos2)2(sincoscossin)(cos2sin2).12sin()1.sin().5. 解：(1)原式tan(6015)tan451.(2)tan(2337)，tan23tan37tan23tan37，tan23tan37tan23tan37.6.解：，sin.0，cos，sin()sin()sin.7.解：因为，所以(0，)由cos()，知sin().由sin，知cos.所以sinsin()sin()coscos()sin.又，所以.8.解：(1)因为tan2，tan，所以tan()7.(2)因为tan()1，又因为0，所以，所以.