5.8 三元一次方程组（解析版）.docx

1、*5.8 三元一次方程组课堂知识梳理含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫三元一次方程含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”“把三元”化为“二元”，再把“二元”化为“一元”课后培优练级练培优第一阶基础过关练1下列方程组中是三元一次方程组的是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进行判断即可【详解】解：A、a的最高次数是2，选项错误；B、x、y、z的最高次数都

2、是2，选项错误；C、每个方程都是分式方程，选项错误；D、符合题意，选项正确故选：D【点睛】本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点2方程组的解为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解【详解】解：，由得，由得，将代入得，解得，将代入得，将代入得，原方程组的解为故选C【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键3解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（）A由消去zB由消去yC由消去zD由消去x【答案】B【解析】【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案【详解】解：由3+得：1

3、1x+10z=35，转化为二元一次方程组为，故选：B【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法解三元一次方程组的关键是消元4解方程组，以下解法不正确的是（）A由，消去z，再由，消去zB由，消去z，再由，消去zC由，消去y，再由，消去yD由，消去z，再由，消去y【答案】D【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【详解】解：解方程组，以下解法不正确的是由，消去z，再由，消去y故选：D【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入

4、消元法与加减消元法5若，则xyz的值等于（）A0B2C1D无法求出【答案】C【解析】【分析】根据系数的特点，两式相加即可解决【详解】解：两式相加得：5x+5y+5z=5两边同除以5，得x+y+z=1故选：C【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用了加减法，加减法是解方程组的一种方法，但不是用于解方程组，在数学问题中可以灵活应用6三元一次方程组的解是_.【答案】【解析】【分析】将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出x的值，就可以把y、z的值都求出来【详解】由题意可知： 将-得x-z=22x=-2x=-1-1-z=2z=-3y=3故原方程组的解为故答案为：【点睛】本题考查三元一次方

5、程组的解法熟练掌握消元法解方程组是解决本题的关键7已知xyz0，从方程组中求出x：y：z_【答案】2：7：5【解析】【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值【详解】 +得5x2z0，解得xz，将xz代入得yz，x：y：z2：7：5故答案为：2：7：5【点睛】本题考查了解三元一次方程组关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系8某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要_元【答案】180【解析】【分析】设1只鸡单价a元，1只兔单

6、价b元，1只鸭单价c元，依题意列出三元一次方程组，求得a+b+c=180即可求解【详解】解：设1只鸡单价a元，1只兔单价b元，1只鸭单价c元，依题意得：，+得：4a+4b+4c=720，a+b+c=180，他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元，故答案为：180【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键9解方程：【答案】【解析】【分析】分别用、消去z，得到两个关于x和y的方程，求出x和y的值，进而可求出z的值【详解】，得：3xy11，得：15x+5y35，即3x+y7，+得：6x18，解得：x3，得：2y4，解得：y2，把x3，y2代入得：z5，则方程组的解为【点睛】

7、此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法消去未知数转化成一元一次方程10解三元一次方程组【答案】【解析】【分析】先由2-消去y，3+消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答【详解】解：2-，得3+，得解方程组 解得把代入，得，所以原方程组的解为 【点睛】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键11解方程组：【答案】【解析】【分析】由设，把，代入，求得，进而即可求得【详解】，由设，把，代入，方程组的解为【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据比例式设参数是解题的关键12一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果

8、把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495求原来的三位数【答案】原来的三位数是631【解析】【分析】首先用x、y、z表示出各位数，进而表示出这个三位数，以及新的三位数，进而得出方程组求出即可【详解】解：设原个位数为x，则十位数是y，百位数是z，根据题意，得，解得：，答：原来的三位数是631【点睛】本题是一道关于数位问题的数学应用题，考查数位问题一个数等于百位上的数字100+十位上的数字10+个位上的数字1的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应整个题意的等量关系建立三个方程是关键13某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷

9、所需的劳动力人数及设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需设备资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？【答案】种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：三种农作物的投入资金67万元；三种农作物所需要的人力300名职工；三种农作物的公顷数51公顷，根据等量关系列出方程组并求解即可【详解】解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，根据题意得，解得答：种植水稻

10、、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组14小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路如果保持上坡路每小时行3千米平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【解析】【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变题中的等量关系是：从家到学

11、校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米依题意得：，解得答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变培优第二阶拓展培优练15某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；

12、丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_【答案】18.75%【解析】【分析】设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x，b + y ，c+z，由一个甲礼盒售价360元，可列3( a +x)+2( b + y )+2( c + z )=360，由一个甲礼盒的利润率为20%，得 ，整理得3c+2y+2z=300，由个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为6

13、10元，可得2x+3y+4z+2+2y+z610，得：x=40，整理得4b+4c=60，再将一个丁礼盒的润率表示为，整理可得答案【详解】解：设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x，b + y ，c+z，甲礼盒装有 A 茶具3个， B 茶具2个， C 茶具2个，一个甲礼盒售价360元，3( a +x)+2(b + y )+2( c + z )=360，即3a+2b+2c+3x+2y+2z=360，一个甲礼盒的利润率为20%， ，即3a+2b+2c=0.6x+0.4y+0.4z，将代入可得：0.6x+0.4y+0.4z+3x+

14、2y+2z=360，即3x+2y+2z=300，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，乙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具3个， C 茶具4个，丙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具2个， C 茶具1个，2x+3y+4z+2x+2y+z610，即4x+5y+5z=610，由5-2可得：5(3x+2y+2z)-2(4x+5y+5z)=5300-2610，解得：x=40，一个 A 茶具的利润率为25%， =25% a =10，将 a =10和x40代入可得：310+2b+2c=0.640+0.4y+0.4z，即4b+4c=0.8y+0.8z-12，将 x=40代入可得：340+2y+2z=300

15、，即 y +z=90，将代入可得：4b+4c=0.8y+0.8z-12=0.890-12=60，即4b+4c=60，一个丁礼盒的润率为：=，故答案为：18.75%【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题干中的等量关系列出算式，化简，将所设未知量转化为已知量16重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增

16、加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为_【答案】90：271【解析】【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为1.5b可得助农后，A作物的亩产量为2b，B作物的亩产量为b，C作物的亩产量为b设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（xxy），列出方程组，可得到助农前A作物的产量为，助农后A作物的产量为ab，即

17、可求解【详解】解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5bb1.5b助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）2b，B作物的亩产量为：b（1+）b，C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）b设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（xxy），解得： 助农前A作物的产量为：2ab，助农后A作物的产量为：（2a+xxy）2bab助农前后A作物的产量之比为：90：2

18、71【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，依据题目中的等量关系列出方程是解题的关键17有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元 （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案【答案】（1）有两种方案：甲：40，乙：20；甲：56，丙：4；（2）有4种方案，具体方案详见解析【解析】【分析】设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台（1）因为商场同时要购进两

19、种不同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可；（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可【详解】解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台（1）若选甲、乙两种型号，则，解得 ， 若选甲、丙两种型号，则，解得 ，若选乙、丙两种型号，则，解得 ，不合题意，舍去答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：甲：40，乙：20；甲：56，丙：4；（2）根据题意得，x、y、z均为正整数，方程组的正整数解有四组，或或或，综上所述，共有四种进货方

20、案：方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的正整数解解题关键是根据题意列出方程组，解出方程后检验方程组的解是否符合实际问题的意义18阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：就是方程3x+y11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”(1)求方程x+2y5的所有“好解

21、”；(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由【答案】(1)或或(2)有，或或或【解析】【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y0，y1，y2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求；（2）通过消元的方法得出k62y和x9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解(1)解：当y0时，x5；当y1时，x+25，解得x3；当y2时，x+45，解得x1，所以方程x+2y5的所有“好解”为或或；(2)解：有，得4y+2k12，则k62y，3得2x2y18，则x9+y，x、y、k为非负整

22、数，62y0，解得y3，y0、1、2，3，当y0时，x9，k6；当y1，x10，k4；当y2时，x11，k2，当y3时，x12，k0，关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键19阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值如以下问题：已知实数x、y满足，求和的值本题常规思路是将，联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由

23、可得，由2可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：(1)已知二元一次方程组，则_，_；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？【答案】(1)1；3(2)见解析(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元【解析】【分析】（1）可求出，可求出；（2）证明为定值即可；（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可(1)解：得：，得：

24、，等式两边同时除以3得：，故答案为：1；3(2)证明：得：，等式两边同时除以2得：，得：，等式两边同时除以2得：，因此不论a取什么实数，的值始终不变(3)解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，由题意得，得：，等式两边同时乘以2得：，得：，故，即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键培优第三阶中考沙场点兵20（2022重庆中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%该店五月份销售桃片、

25、米花糖、麻花的数量之比为132，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_【答案】4：3【解析】【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得，解得3y=4x，y：x=4：3，故答案为：4：3【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是

26、解题的关键21（2021重庆中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为_元【答案】155【解析】【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出的值即可【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则，解得，a=1；设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，-得，3-得，故答案为：155【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值