7.3 三角函数的图象与性质-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、7.3三角函数的图象与性质【考点梳理】知识点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k对称中心(k，0)对称轴方程xkxk【题型归纳】题型一、三角函数的图像问题1（2022全国高一）在内，使的的取值范围是（）ABC

2、D2（2022全国高一）函数零点的个数为（）A4B3C2D03（2022全国高一）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（）ABCD题型二、正弦三角函数的性质4（2022全国高一）函数为偶函数的一个充分条件（）ABCD5（2022全国高一）的最小正周期是（）ABC2D36（2022江西省万载中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（）ABCD题型三、余弦三角函数的性质7（2022全国高一）已知函数（为常数）为奇函数，那么（）AB0C1D8（2022江西景德镇一中高一期末）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（）ABCD9（202

3、2全国高一）函数的图像关于直线对称，则可以为（）ABCD1题型四、正切三角函数的性质10（2022山东东营高一期中）下列关于函数说法正确的是（）A函数的定义域为RB函数为奇函数C函数的最小值为0D函数的最小正周期为11（2022陕西渭南高一期末）若函数的图象相邻两支截直线所得线段长为，则下列结论错误的是（）A函数的最小正周期为B函数在区间上单调递增C函数的图像与直线不相交D函数的图像关于点对称12（2022陕西汉中高一期末）已知函数，下列说法正确的有（）函数最小正周期为；定义域为图象的所有对称中心为；函数的单调递增区间为A1个B2个C3个D4个题型五、正余弦三角函数的单调性13（2022浙江杭

4、州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（）ABCD14（2022辽宁新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，其图像与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个单调递增区间为（）ABCD15（2022陕西宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）已知函数，下列结论错误的是（）A函数是偶函数B函数的最小正周期为C函数在区间上单调递增D函数的图象关于直线对称题型六：正切三角函数的的单调性16（2022陕西西安高一期末）下列关于函数的说法正确的是（）A最小正周期为B图像关于点成中心对称C在区间上单调递增D图像关于直线成轴对称17（2022河南南阳高一期中）已知函数，

5、则（）A的最小正周期为B的定义域为C的图象关于对称D在上单调递增18（2022江西景德镇高一期中）已知，那么a，b，c的大小关系是（）ABCD题型七：三角函数的图像和性质综合问题19（2022新疆伊犁高一期末）已知函数，下列结论中错误的是（）A函数图像关于直线对称B在区间上是增函数C函数是周期函数，最小正周期是D函数的值域是20（2022全国高一）设函数(1)求函数的定义域和单调区间;(2)求不等式的解集21（2022全国高一）已知函数(1)用“五点法”作法函数在上的简图；(2)根据图象求在上的解集【双基达标】一、单选题22（2022上海理工大学附属中学高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（

6、）A3B6C7D923（2022陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（）ABCD24（2022江西省万载中学高一）函数的图像如何由函数的图像平移得到（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度25（2022全国高一）函数在上的增区间是（）ABCD26（2022全国高一）关于函数，下列说法正确的是（）A的一个周期是B的最小值为2C在上单调递增D的图象关于直线对称27（2022全国高一）函数的值域是（）ABCD28（2022全国高一）函数的值域是（）ABCD29（2022全国高一）已知函数(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；(2)求函数的最小值30（

7、2022浙江大学附属中学高一期末）已知函数，.(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图像：(2)求函数的单调递增区间.【高分突破】一：单选题31（2022全国高一）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象经过点，则的最小值为（）ABCD32（2022全国高一单元测试） “”是“函数取得最大值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件33（2022全国高一）已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（）ABCD34（2022全国高一）函数，的值域为（）ABCD35（2022全国高一）函数的单调递增区间是（）ABCD36（2022全国高一）函数，

8、的图像与直线的交点的个数为（）A0B1C2D337（2022黑龙江大庆市东风中学高一期末）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音，如下图所示，已知噪音的声波曲线（其中，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（）ABCD二、多选题38（2022浙江杭州四中高一期末）下列不等式成立的是（）ABCD39（2022浙江省杭州第二中学高一期末）设，则（）A的最小正周期为B是的一条对称轴C在上单调递增D向左平移个单位后为偶函数40（2022全国高一）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（）A是偶函数B是图象的一条对称轴C在上单调

9、递减D当时，函数取得最小值41（2022全国高一）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）ABCD42（2022全国高一）已知函数，则下列结论正确的是（）A是的一个周期BC的定义域是D的图象关于点对称43（2022全国高一）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（）ABCD44（2022全国高一）下列结论正确的是（）ABCD45（2022全国高一）关于函数的说法中正确的是（）A定义域是，B图像关于点对称C图像关于直线对称D在区间上单调递增三、填空题46（2022上海理工大学附属中学高一期中）写出一个同时满足下列条件的函数关系式：_；为周期函数且最小正周期为；是上的偶函数；是

10、在上的增函数；的最大值与最小值差不小于4.47（2022全国高一单元测试）有下列说法：函数的最小正周期是；终边在轴上的角的集合是；在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线有三个公共点；把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；函数在上是减函数其中，正确的说法是_（填序号）48（2022全国高一单元测试）若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则_49（2022全国高一课时练习）函数，的部分图象如图所示，则_50（2022全国高一课时练习）函数的最小正周期是_51（2022全国高一课时练习）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为_四、解答题52（2022山东东营高一期中）函数

11、的最小值为，(1)当时，求；(2)若，求实数53（2022浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：000(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.54（2022全国高一课时练习）已知函数.(1)画出函数在上的图象；(2)求函数的最小正周期及单调区间.【答案详解】1D【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图像即可求解.【详解】 以及 的图像如上图，由图可知，；故选：D.2A【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即

12、可【详解】由，得，所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，函数的图象如图所示，由图象可知两函数图象有4个交点，所以有4个零点，故选：A3B【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可.【详解】因为直线与函数的图象无公共点，且，所以，所以，故可化为，所以解得所以不等式的解集为，故选：B4A【分析】根据函数为偶函数，由求解.【详解】解：若函数为偶函数，所以,则，故选：A5A【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.【详解】因为，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以的最小正周期为.故选：A.6C【分析】先利用平移求得，再由三角函数对称性即可求解【详解】将函数的图象

13、向右平移个单位长度得到函数，所得函数图象关于轴对称，即=，当时，的最小值为故选：C7D【分析】根据余弦函数的 奇偶性求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；【详解】解：因为函数（为常数）为奇函数，所以，所以，当为偶数，则，当为奇数，则，即；故选：D8B【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解.【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；故选：B9C【分析】的对称轴为，化简得到得到答案.【详解】对称轴为：

14、当时，取值为.故选:C.10D【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.11D【分析】由周期求出，再根据正切函数的性质判断【详解】由已知选项A显然正确，则，时，B正确；时，无意义，C正确

15、；时，D错误，故选：D12C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对，函数，可得的最小正周期为，所以正确；对，令，解得，即函数的定义域为，所以错误；对，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以正确；对，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以正确；故正确；故选：C13B【分析】由题意，根据三角函数奇偶性与单调性，可得答案.【详解】由函数为奇函数，可得C，D错误；因为函数在上单调递增，且，易知函数在上单调递减，故A错误，B正确.故选：B.14A【分析】根据题意先求得周期得出，再根据偶函数求得，进而求得单调递增区间即可.【详解】图像与直线的

16、两个交点的横坐标分别为，且的最小值为，故的周期为，故，即.又为偶函数，故，又，故，单调递增区间为，解得，故为一个单调递增区间.故选：A15D【分析】函数，利用余弦函数的周期、奇偶性、对称轴，单调性求解【详解】对于函数，由于，故函数是偶函数，故A正确；由知，它的周期等于，故B正确；当时，所以单调递增，故C正确；令，则，则不是的对称轴，故D错误故选：D16B【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可【详解】解：函数，当时，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；函数的最小正周期为，所以A错误；当时，所以函数在上单调递减，所以C错误；正切函数不是轴对称函数，所以D错误故选：

17、B17D【分析】由正切型函数最小正周期、定义域、对称中心和单调性的求法依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，由正切函数性质知：的最小正周期，A错误；对于B，由得：，的定义域为，B错误；对于C，令，解得：，又，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，此时单调递增，D正确.故选：D.18C【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数在上的范围以及商数关系比较大小即可.【详解】由可得，且，故.故选：C.19B【分析】先讨论的正负值去绝对值，可将表达为分段函数，对A，计算即可判断；对BCD，根据的解析式判断即可【详解】由题意，当，即，时，；当，即时，.即对A，因为，故函数图像关于直线对称，故A正确

18、；对B，当时，在上为增函数，在上为减函数，故B错误；对C，由的解析式可得，最小正周期为，故C正确；对D，根据的解析式可得，当与时，取得最大值2，当时，取得最小值， 故D正确；故选：B20(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为(2)【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.【详解】（1）由题意得：，解得：，的定义域为；令，解得：，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）由得：，解得：，则的解集为.21(1)作图见解析(2)【解析】（1）五个关键点列表如下：01131作图：（2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为22C

19、【分析】作出函数和的图象，由图象可得交点个数，【详解】的最小正周期是，时，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，故选：C23B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可.【详解】，因为，在上为增函数，所以，所以，故选：B24A【分析】运用诱导公式将函数 转换成，根据三角函数的平移变换规律可得结论.【详解】由题意可得：函数函数 向左平移个单位可得.故选：A.25C【分析】首先利用诱导公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的性质令，求出的范围，即可得解；【详解】解：由题知，又，所以，令，解得，所以函数在上的增区间是故选：C26D【分析】

20、根据给定的函数，用周期性定义判断A；取特值计算判断B；分析单调性判断C；证明对称性判断D作答.【详解】对于A，即不是的周期，A错误；对于B，取，则，即的最小值不是2，B错误；对于C，当时，令，函数在上单调递减，而在上单调递增，因此在上单调递减，C错误；对于D，即函数的图象关于直线对称，D正确故选：D27A【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.【详解】函数，因为，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，故函数的值域为，故选：A28B【分析】易知，则可求出的值域.【详解】因为，所以,所以的值域为.故选：B.29(1)是偶函数，证明见解析.(2)2

21、.【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明.（2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理.（1）是偶函数，证明如下：因为函数，所以的定义域为，所以的定义域关于原点对称，又，即，所以是偶函数（2）因为函数，去绝对值有：，所以当时，取得最小值2所以函数的最小值2.30(1)见解析(2)【分析】（1）由题意，由“五点作图法”，列表描点作图，可得答案；（2）由题意，根据复合函数的单调性，结合正弦函数的单调性，可得答案.（1）由“五点法”，列表如下：描点，作图如下：（2）由的单调递增区间为，且，则，解得，函数的单调递增区间为.31C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数的图象，由所得图象经过点和的范围可得

22、答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，由所得图象经过点，可得，则，则，又，所以的最小值为故选：C32D【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当时，函数，故充分性不成立；当函数取得最大值时，即，故必要性也不成立，综上可得：“”是“函数取得最大值”的既不充分也不必要条件故选：D33D【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】画出函数与的图象如图所示，由，可得，得，得或（舍去），又，所以或所以，根据函数图象的对称性可得的中点，所以，故选：D34A【分析】设，求得，然后根据正切

23、函数在上递增，可求出函数的值域.【详解】设，因为，所以因为正切函数在上单调递增，且，所以故选：A35C【分析】由，可求得结果.【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间是故选：C36C【分析】利用数形结合即可.【详解】在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，可知所求交点的个数为2故选：C37B【分析】先求出噪音的声波曲线解析式，再将噪音声波曲线向左平移1个单位得到降噪的声波曲线.【详解】由题意知，噪音的声波曲线而降噪音声波曲线可以看噪音声波曲线向左平移半个周期得到曲线故降噪音声波曲线故选：B38BD【分析】结合正弦函数、余弦函数在各个区间的单调性判断.【详解】因为，且函数在上单调递增

24、，则，故选项A错误；因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确；故选：BD39ACD【分析】利用三角函数的性质和三角函数的图象变换求解判断.【详解】解：因为，所以的最小正周期为，故A正确；，所以不是的一条对称轴，故B错误；若，则，又在上单调递增，所以在上单调递增，故正确；当向左平移个单位后得到为偶函数，故正确；故选：ACD40AC【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出，D错误.【详解】因为直线是函数图象的一条

25、对称轴，所以，又，所以，所以，是偶函数，故A正确；令，解得:，所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；当时，此时函数单调递减，故C正确；显然函数的最小值为，当时，故D错误故选：AC41AC【分析】通过最小正周期为，排除选项B，D；结合函数性质得出结论.【详解】对于选项A：的最小正周期为，在区间上单调递减，故选项A正确；对于选项B：的最小正周期为，故选项B不正确；对于选项C：的最小正周期为，在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D：的最小正周期为，故选项D不正确故选：AC42ABC【分析】根据的图象逐个分析即可.【详解】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，取，则是的一个周期，

26、故A正确；对B，是偶函数，则，故B正确；对C，易得的定义域是，故C正确；对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误故选：ABC43AB【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A，且函数的定义域为，函数为偶函数，又时，且函数在上单调递减，函数在上单调递增，故A符合题意；对于B，且函数定义域为，函数为偶函数，当时，且函数在上单调递增，函数在上单调递增，故B符合题意；对于C，函数在上单调递减，故C不符合题意；对于D，记，则，函数不是偶函数，故D不符合题意.故选：AB.44AD【分析】根据正切函数的单调性及诱导公式即可求解.【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以故A正确；对于

27、B, 故B不正确；对于C，又，函数在上单调递增，所以，即故C不正确；对于D，又，函数在上单调递增，所以，即故D正确.故选：AD.45AB【分析】利用正切函数的图像与性质以及“整体代换”的方法进行求解.【详解】对于A，因为函数，由，得，故A正确；对于B，函数，因为，所以图像关于点对称，故B正确；对于C，函数，所以函数不存在对称轴，故C错误；对于D，函数，因为，所以，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误故选：AB.46（答案不唯一）【分析】先考虑周期性与奇偶性，即条件，取一函数，再考虑，变为，然后由，变为，再结合可得【详解】考虑余弦型函数，它是偶函数，最小正周期是，满足，它在上递减，因此满足，由

28、余弦函数的最值，满足，满足，符合题意故答案为：（答案不唯一）47【分析】根据最小正周期的求解公式得到；举出反例；由三角函数线可判断；根据左加右减进行平移得到解析式；根据诱导公式得到，从而求出在上是增函数.【详解】对于，的最小正周期，故正确；对于，当时，角的终边在轴非负半轴上，故错误；对于，当时，在单位圆中，角所对的弧长即为，由三角函数线可得，当时，；同理当时，；所以当且仅当时，所以函数的图象和直线仅有一个交点，故错误；对于，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，故正确；对于，其在上为增函数，故错误故答案为：48【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值.【详解】

29、因为，且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，所以，函数的最小正周期，所以，则，因此，.故答案为：.490【分析】由题可得，函数的周期T8，求出，得出，即得.【详解】由图象可知，函数的周期T8，所以，故，因为，所以故答案为：0.50#【分析】由正切函数的图象与性质知，翻折变换后，正切型函数的周期不变，利用最小正周期公式即可算得.【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，与的图象如图所示， 所以函数与最小正周期也一样，函数的最小正周期是，的最小正周期也是故答案为：51【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得，进而得到答案.【详解】作出，与的大致图象，如图所示由图象，可知，即，

30、故实数a的取值范围为故答案为：.52(1)(2)1【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.【详解】（1）当时，.所以，当时，取得最小值，即.（2），若，即时，则当时，有最小值，.若，即时，则当时，有最小值，.所以，若，得或由解得或（舍去），由解得（舍去）.所以53(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.（1）根据五点法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的单调递减区间为，（2）由于 所以 所以所以当即时，函数的最小值为;当即时，函数的最大值为.54(1)图象见解析(2)，单调递增区间为，单调递减区间为【分析】（1）结合正弦函数的图象可得答案；（2）根据图象可得答案.（1），函数在上的图象如下：；（2）由图象，可知该函数是周期函数，最小正周期为，单调递增区间为，单调递减区间为.