专题05 与圆相关的张角问题-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题05 与圆相关的张角问题【方法点拨】1. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.2. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.【典型题示例】例1 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大.所以若圆上存在点，使得，则.由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点 ，所以在直角三角形中，从而 .例2 已知圆O：x2y21，动圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得

2、APB60，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意得圆心M(a，a4)在直线xy40上运动，所以动圆M是圆心在直线xy40上，半径为1的圆又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使APB60，所以OP2，即点P也在x2y24上，于是2121，即13，解得2a2，故实数a的取值范围是.例3 已知圆C：若直线l：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是（ ）AB CD【答案】D【分析】由，可求得，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于即可得【解析】根据题意，圆C：的圆心为，半径，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，连接，若，则，又由，则

3、，若直线l：上存在点P，满足，则有C到直线l的距离，解可得：，即m的取值范围为，故选：D【巩固训练】1.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_.2.已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是 .3. 在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 4.已知圆与圆，圆上至少存在一点，使得圆上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是.5. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为 6.已知圆C：(x2)2

4、y24，线段EF在直线l：yx1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得0，则线段EF长度的最大值是_7. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于两点，点 在圆上运动若恒为锐角，则实数的取值范围是 8. 在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，点B是圆C：(x2)2y24上的点，点M是AB中点，若直线y=kx-5k上存在点P，使OPM=30O，则实数k的取值范围是 【答案与提示】1.【答案】 【提示】由解得.2.【答案】 1,5【提示】设，由解得.3.【答案】 【提示】即，故只需4.【答案】【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即

5、可. 5.【答案】，0【提示】【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q固定不动，则点P在圆O运动时，当PQ为圆O的切线时，OQP最大，故满足题意，需OQP30，再将角的范围转化为O、Q间的距离问题，即需OQ2.再固定P不动，易得只需OM3即可，利用两点间距离公式(a3)2(2a)29，解得 a 0.6.【答案】【解析】由0得APB90，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当APB90时， MPN90，sinMPCsin 45，所以PC2.另当过点P，C的直线与直线l：yx1垂直时，PCmin，以C为圆心，C

6、P2为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax2.7.【答案】【错解】考虑若为直角,则动圆与以为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足题意，所以，解之得：.【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线相交，圆上存在点与两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线相离.8.【答案】2,2【提示】连结O、M，则OM=12BC=1，问题转化为“在圆O：x2y21存在点M，使得直线y=kx-5k上存在点P，使OPM=30O”，故只需当PM为切线时，OPM30O，故只需OP2，即5k1+k22，解得-2k2.点评：也可以用“动点转移法”求点M的轨迹方程是x2y21.