专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）（原卷版）.docx

1、专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）知识点2.垂径定理的推论（难点）知识点3.圆周角（重点）知识点4.圆周角定理（重点）知识点5.圆周角定理的推论（难点）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）【方法二】 实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法题型3.方程思想题型4.垂径定理的实际应用题型5.圆中角度的计算题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用题型7.动点问题题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1. 掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。

2、2. 掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧【例1】（2022秋锡山区校级月考）如图，在O中，OCAB于点C，若O的半径为10，AB16，则OC的长为 【变式】（2022秋江苏南京九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论一定正确的个数有（）CE=DE；BE=OE；CAB=D

3、ABA4个B3个C2个D1个知识点2.垂径定理的推论（难点） 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧【例2】（2022秋九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（）A7B4C5D6【变式】（2023秋浙江台州九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A点B点 C点 D点 知识点3.圆周角（重点）1.圆周角定义： 像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交

4、的角叫做圆周角2.圆心角与圆周角的区别与联系【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?知识点4.圆周角定理（重点）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【例4】如图，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（ ）A B或 C D 或【变式】如图，AB是O的弦，AOB80则弦AB所对的圆周角是 .知识点5.圆周角定理的推论（难点）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置

5、关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部（如下图）【例5】（2023秋江苏九年级专题练习）如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（）ABCD【变式】如图，A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方A上的一点，连接BO、BD，则OBD的度数是 知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）【例6】（2022秋靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于O求证：A+C180【变式】如图已知四边形ABC

6、D内接于O，ABC70，则ADC的度数是 【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题1（2022秋江苏无锡九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于，两点，交y轴于C，两点，点S是 上一动点，N是的中点，则线段的最小值是 题型2.辅助线的添加方法2（2021秋江苏九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A6BCD题型3.方程思想3.（2022秋江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是O中

7、弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E，若CD4m，EM6m，则O的半径为 m题型4.垂径定理的实际应用4.（2022秋如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB16m，半径OA10m，高度CD为 m5.（2022钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且O被水面截得弦AB长为4米，O半径长为3米若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A1米B2米C米D米6.（2022秋泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB60米，拱高PD18米（1）求圆弧所在

8、的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE4米时，是否要采取紧急措施？题型5.圆中角度的计算7（2022秋鼓楼区期末）如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，ACCD，DB的延长线交O于点E，连接CE（1）求证AD；（2）若的度数为108，求E的度数题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用8（2022秋宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线（1）求证DABDCE；（2）若DAB60，ACB70，求ABD的度数9（2022秋镇江期中）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，EADBAC，BA、CD延长线交于点

9、E求证：BDBC题型7.动点问题10（2023江苏泰州统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角知识回顾(1)如图，中，B、C位于直线异侧，求的度数；若的半径为5，求的长；逆向思考(2)如图，P为圆内一点，且，求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变请证明题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合11（2023滨江区一模）如图1，AB为O的直径，CDAB于点E，BF与CD交于点G（1）求证：CDBF（2）若BE1，BF4，求GE的长（3）连结GO，OF，如图2，求

10、证：【方法三】 成果评定法一选择题（共6小题）1（2023秋惠山区校级期中）如图，是的直径，弦于点，则的长为ABCD2（2023春鼓楼区校级月考）如图，在正方形中，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，则的最小值是ABCD3（2023秋滨湖区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，尺寸），则圆的直径长度是A12寸B24寸C13寸D26寸4（2023秋铜山区校级月考）如图，点、在上，则的度数是ABCD5（2023苏州）如图，是半圆的直径，点，

11、在半圆上，连接，过点作，交的延长线于点设的面积为，的面积为，若，则的值为ABCD6（2023秋梁溪区校级期中）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为ABCD二填空题（共6小题）7（2023秋滨海县期中）如图，点，在上，则8（2023秋镇江期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为 9（2023秋高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是 10（2023秋丰县期中）如图，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 11（2023秋鼓楼区校级月考）如图，已知的半径为7，是的弦，点在

12、弦上若，则的长为 12（2023秋建湖县期中）如图，点、在上，连接并延长，交于点，连接、若，则的大小为 三解答题（共6小题）13（2023秋仪征市期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、（1）求证；（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则的长度是14（2023秋广陵区期中）如图，四边形内接于，为的直径，（1）若，求的度数；（2）求证：15（2023秋句容市期中）已知：如图，是以为直径的上的两点，分别连接、，且，求证：16（2023秋淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即，（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？17（2023秋邳州市期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：如图，为的直径，弦于点，求的长18（2023秋泗阳县期中）如图，是的直径，是的弦，求的度数