专题27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（）ABCD2如图，在等腰直角ABC中，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P给出下列结论：（1）AD=CE；（2）；（3）ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（4）其中正确的结论有（）个A4B3C2D13如图所示，RtABC中，ACB90，CDAB于点D，若AD6，DB2，则CD的长为（）A3BCD44如图，在等腰ABC中，ABAC，点

2、D是BC上一点，且BD2CD，连接AD，将ABD沿AD翻折，得到ADE，DE与AC交于点F若DCF，AEF的面积分别为1和16，则（）AB3CD5如图，正方形的边长为，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，、交于点G，中点为H给出下列结论：；四边形的面积为正方形面积的；H点经过的路程为其中正确的是（）ABCD6在中，点为线段上一点，以为一边构造，下列说法正确的个数是（）图中和相等的角有2个（不含）；若不添加线段，图中共有5对相似三角形；A1B2C3D47如图，矩形纸片ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为，连接并延长，交CD于点

3、G，则的值为（）ABCD8如图，在中，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：；平分；，其中所有正确结论的序号是（）ABCD9如图，ABC和BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：BCDBEO；AODEOB；AOEDOB；BODBDA成立的有（）A1对B2对C3对D4对10如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是ABC的重心，FOG120，绕点O旋转FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：ODOE；BDBE2；四边形ODBE的面积始终等于；BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（）A1B2C3D4二、填空题11如图，在

4、RtACB中，ACB=90，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE若AB=3，AD=2BD，则AF=_ 12如图，中，CDAB，垂足为D下列条件中，A+B=90；AB2=AC2+BC2；CD2=ADBD能证明是直角三角形的有_（多选、错选不得分）13图，正方形ABCD的边长为2，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD边上，且DE=2CE，过点C作于点F，连接OF，则_14如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为点D，如果，AD=8，那么CD的长是 _15如图，在中，将绕点A逆时针

5、旋转一定的角度得，且点D恰好落在边上，与交于点F（1）求_；（2）当时，_16如图，已知1=2，若再增加一个条件就能使ABCADE，则这个条件可以是_（填一个即可）17如图，在ABC与AED中， ,添加一个条件，使ABC与AED相似，这个条件可以是_ 18已知：如图，在中，垂足是，BD=1则_19如如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC与BD相交于O，E为DC上的一点，过点O作OFOE交BC于F，记d=，则d的最小值为 _20如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，垂足是G，交BC于点H下列结论中：；若，则；，正确的是_三、解答

6、题21如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F点E在BD上，且，(1)求证： (2)若，求CBD的度数22在ABC和ADE中，点E在BC上，已知BD，DABEAC(1) 求证：ABCADE；(2) 若ACDE，AEC45，求C的度数23如图，在ABC和BED中，(1) 若ABC与BED的周长差为10cm，求ABC的周长；(2) 若ABC与BED的面积之和为170，求BED的面积24将一副三角尺如图1放置，其中AD为RtABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N(1) 求证：AMDCND；(2) 如图2，将RtDEF绕点D旋转，此时EFBC，且E，A，F共线，判断是否成立，并

7、给出证明25 如图1，ABC和ADE均为等腰直角三角形，ACB=AED=90，直线BD和直线CE交于点F(1)线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；(2)若AC=BC=3，AEDE=，将ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC上时，在图2中补全图形，并求CF的长度26如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE=AF(1)求证：DEDF；(2)如图2，若点G为边AB上一点，且BGE2BFE，BGE的周长为8，求四边形DEBF的面积；(3)如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH3，直接写出AG的长参考答案1B【分析】连接DG由矩形

8、的性质和旋转可得出，利用勾股定理可求出，从而可求出，进而再次利用勾股定理可求出由，即易证，得出，即可求出BE的长解：如图，连接DG由旋转和矩形性质可知，在中，在中，又，即，故选：B【点拨】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质正确的作出辅助线构造相似三角形是解题关键2A【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证，再由勾股定理即可判断（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得，即可判断（4）正确解： ， ，O是斜边AB的中点， ， ， ， ， ，在和 中 ， ， ，AD=CE，故（1）正确； ， ， ， ，故（2）正确； ，S四边形CDOE= ，AB

9、C的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，故（3）正确 ， ， ， ， ，故（4）正确；四个答案都正确，故选：A【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面积的割补法是解题的关键3B【分析】证明ACDCBD，根据相似三角形的性质列出比例式，从而求出CD的长度解：RtABC中，ACB90，CDAB于点D，ACDCBD，；故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是正确判定ACDCBD，得到，从而进行解题4C【分析】根据已知易证AFEDFC，从而求出对应边的比，然

10、后设CDa，DFx，表示出EF与CF的长，再根据EF4CF，求出xa，最后进行计算即可解答解：ABAC，BC，由折叠得：BE，ABAE，BDDE，CE，AFEDFC，AFEDFC，DCF，AEF的面积分别为1和16，BD2CD，设CDa，BD2a，AE4CD4a，DEBD2a，ABAC4a，设DFx，则AF4DF4x，CFACAF4a4x，EFDEDF2ax，EF4CF，2ax4（4a4x），xa，AF4xa，EF2axa，故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质5C【分析】由正方形证明OC=OD，ODF=OCE=

11、45，COM=DOF，可得结论；由全等三角形得OE=OF，得OEG=FCG=45，再利用对顶角相等，证得OGEFGC；先证明SCOE=SDOF，可得S四边形CEOF=SOCD=S正方形ABCD；证明OEGOCE，得OGOC=OE2，再证明BE2+DF2=EF2，由EFOE，可得结论；由CH=OH，则点H在OC的垂直平分线上，可得点H的轨迹是PQ，通过证明CPQCDB，可求PQ=2，即可得结论解：四边形ABCD是正方形，OC=OD，ACBD，ODF=OCE=45，MON=90，COM=DOF，COEDOF（ASA），故正确；COEDOF，OE=OF，MON=90，OEG=45=FCG，OGE=F

12、GC，OGEFGC，故正确；COEDOF，SCOE=SDOF，S四边形CEOF=SOCD=S正方形ABCD，故正确；COEDOF，OE=OF，又EOF=90，EOF是等腰直角三角形，OEG=45=OCE，EOG=COE，OEGOCE，OE：OC=OG：OE，OGOC=OE2，CE=DF，BC=CD，BE=CF，又RtCEF中，CF2+CE2=EF2，BE2+DF2=EF2，EF2OE2，BE2+DF2OGOC，故错误；如图，连接OH，CH，作OC的垂直平分线交BC于Q，交CD于点P，EOF是等腰直角三角形，点H是EF的中点，OH=EF，BCD=90，点H是EF的中点，CH=EF，CH=OH，点

13、H在OC的垂直平分线上，点H的轨迹是PQ，正方形ABCD的边长为2，BD=4，PQAC，BDAC，PQBD，CPQCDB，PQ=BD=2，H点经过的路程为2，故错误，故选：C【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用灵活运用这些性质解决问题是解题的关键6D【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进行证明即可得出答案解：在中，在，即，在和中，故图中和相等的角有2个（不含），正确；，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，正确；，即，故正确；连接CD，故正确；综上，说法正确的由

14、；故选：D【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键7B【分析】过点F作FHAD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证ADGFHE，即可求出的值解：过点F作FHAD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：由折叠A与A对应易知：AOE=90，EAO+AEO=90，EAO+AGD=90，AEO=AGD，即FEH=AGD，又ADG=FHE=90，ADGFHE，故选：B【点拨】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出AOE=90进而利用角进行转化求出ADGFHE是解题的关键8D

15、【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解解：将以点为中心逆时针旋转得到，故正确；，平分，故正确；，故正确故选D【点拨】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键9D【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可解：ABC和BDE都是等边三角形，C=ABC=CAB=60，EDB=DBE=DEB=60，ABC-ABD=DBE-ABD，CBD=ABE，BCDBEO，故正确；AOD=BOE，DAB=DEB=60，AODEOB，故正确；AODEOB，AOE=DOB，AOEDOB，故正确；

16、DBA=DBO，DAB=ODB=60，BODBDA，故正确，所以，相似三角形成立的有4对故选：D【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键10D【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判断即可解：连接OB、OC，如图，ABC为等边三角形，ABCACB60，点O是ABC的中心，OBOC，OB、OC分别平分ABC和ACB，ABOOBCOCB30BOC120，即BOECOE120，而DOE120，即BOEBOD120，BODCOE，且BOCO，OBDOCE，BODCOE（ASA），BDCE，ODO

17、E，所以正确；BDBECEBEBC2，所以正确；SBODSCOE，四边形ODBE的面积，所以正确；作OHDE于H，如图，则DHEH，DOE120，ODEOEH30，OHOE，HEOHOE，DEOE，BDCE，BDE的周长BDBEDECEBEDEBCDE2DE2OE，当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，此时OE，BDE周长的最小值213，正确故选：D【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键11【分析】先计算出BD，AD2，BC3，BBAC45，再根据旋转的性质得到DCE90，CDCE，则可判断CDE

18、为等腰直角三角形，所以EDC45，然后证明ADFBCD，则利用相似比可计算出AF解：AB3，AD2BD，BD，AD2，ACB90，ACBC，BCAB3，BBAC45，CD绕点C顺时针旋转90得到CE，DCE90，CDCE，CDE为等腰直角三角形，EDC45，ADCB+BCD，即ADF+EDCB+BCD，ADFBCD，而DAFB，ADFBCD，即，AF故答案为：【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了相似三角形的判定与性质12【分析】利用直角三角形的判定直接进行判断即可解：三角形内角和是180，由知A+B=9

19、0，ACB=180-（A+B）=180-90=90，ABC是直角三角形故选项正确AB，AC，BC分别为ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确题目所给的比例线段不是ACB和CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明ACB与CDB相似，也就不能得到ACB是直角，故错误；若ABC是直角三角形，已知CDAB，又CD2=ADBD，（即 ），ACDCBD，ACD=B，ACB=ACD+DCB=B+DCB=90，ABC是直角三角形，故选项正确；故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质的知识，解题的关键是了两锐角互余的三角形是直角三角形、勾股定理逆定理、相似三角形的判

20、定和性质，难度不大13#【分析】在BE上截取BG=CF，连接OG，证明OBGOCF，则OG=OF，BOG=COF，得出等腰直角三角形GOF，在RtBCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，RtBCE中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45，OBG=OCF，在OBG与OCF中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在RtBCE中，BC=DC=2，DE=2EC，EC=，BFC=BCE，FBC=CBE，BFCBCE，BC2=BFBE，则，解得：BF=，EF=BE-BF=，BFC=EFC，FBC=FCE，BFCCFE，

21、CF2=BFEF=，CF=，GF=BF-BG=BF-CF=，在等腰直角OGF中OF=，故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及相似三角形的性质及判定、勾股定理的应用14【分析】证明ADCCDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC解：ACB90，ACDBCD90，CDAB，AACD90，ABCD，又ADCCDB，ADCCDB，即，解得，CD，故答案为：【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键15 【分析】（1）过点A作于点G，由旋转的性质知，设，则，由，可得，可求结论；（2）过A点作交于点M，

22、由可解解：（1）如图，过点A作于点G 设，则由旋转的性质知，在中，B=B，即，得，故答案为：（2）如图，过A点作交于点M由（1）知，即，解得，故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质16B=D 或C=AED或 =（答其中一个即可）【分析】要使ABCADE，在这两三角形中，由1=2可知BAC=DAE，还需的条件可以是B=D或C=AED或 =解：这个条件为：B=D1=2，BAC=DAEB=D，ABCADE（或C=AED或 =也可）【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键17B=E（答案不唯一）

23、【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：B=E解：添加条件：B=E；，B=E，ABCAED，故答案为：B=E（答案不唯一）【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理18【分析】根据勾股定理可求出CD的长，由A+ACD=90，BCD+ACD=90可证明A=BCD，即可证明BCDACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.解：，CD= =，A+ACD=90，BCD+ACD=90，A=BCD，BDC=CDA=90，BCDACD，AD：CD=CD：BD，AD=5.故答案为5.【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等

24、，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.1910【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证DOEBOG，可得BG=DE，则d=，即为FG的长；过O点作OHAB于H，OIBC于I，可得OHGOIF，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解解：延长EO交AB于G，连接GF，四边形ABCD是矩形，OB=OD，ABCD，OBG=ODE，在DOE与BOG中，DOEBOG（ASA），BG=DE，d=FG，过O点作OHAB于H，OIBC于I，四边形HBIO是矩形，OHG=OIB=HOI=90，OIF=90=OHG，EOF=90，GOF=180-90=9

25、0，HOG=IOF，OHGOIF，O为AC的中点，HOBC，HO=BC，同理IO=AB，AB=12，BC=16，设BG=x，则HG=6-x，IF=，BF=，d=，0x6，当x=6时，d最小为10，故答案为：10【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是设BG=x，用x表示出BF20#【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断不符合题意；再证明 可得 而 可判断符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断不符合题意；从而可得答案解：， 等腰直角三角形ABC和等

26、腰直角三角形ADE， 若 平分 与题干信息不符，故不符合题意； 而 ，故符合题意；如图，连接EH，由 设 解得： 即BD=3，故符合题意； 若，则 与题干信息不符，故不符合题意；故答案为：【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键21(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明（2）根据（1）中，得出，再根据对顶角相等，证得，得出，即可求解解：（1），在和中，（2），又，对顶角相等，故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练

27、掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键22(1)见详解(2)67.5【分析】（1）根据DABEAC，得DAEBAC，从而证明结论；（2）根据平行线的性质得AEDEAC，利用ABCADE，得AEDC，从而有EACC，再利用三角形内角和定理可得答案(1)证明：EACDAB，BACDAE，BD，ABCADE；(2)解：ACDE，AEDEAC，ABCADE，AEDC，EACC，AEC45，C（18045）267.5，C的度数为67.5【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，证明EACC是解题的关键23(1)25cm(2)【分析】（1）先证，利用相似三角形周长

28、比等于相似比得，设ABC的周长为5kcm，BED的周长为3kcm再根据两三我周长差为10cm，列方程求解得出k值，即可求解；（2）根据，得，设，再根据两三角形面积之和为170，列方程求解得出p值，即可求解；(1)解：，设ABC的周长为5kcm，BED的周长为3kcm，解得，ABC的周长为(2)解：由（1）知：，设，解得，【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键24(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】（1）由直角三角形的性质证出CDN=ADM，MAD=ACD，由相似三角形的判定可得出结论；（2）证明AEMADN，由相似三

29、角形的性质可得出结论(1)证明：AD为RtABC中BC边上的高，ADBC，ADC=90，ADN+CDN=90，ADN+ADM=90，CDN=ADM，又BAC=90，MAD+DAC=90，DAC+ACD=90，MAD=ACD，AMDCND；(2)解：成立证明：EFBC，EAD=ADC=90，BAC=90，EAM=DAN，EDF为等腰直角三角形，E=45，ADE=ADF=45，AEMADN，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，证明AEMADN是解题的关键25(1)BD=CE，证明见解析(2)图见解析，【分析】（1）由ACB=AED=90，AC=BC，AE=DE

30、，得到BAC=DAE=45，进一步证得ABDACE，得到，得到答案；（2）当点D落在线段AC上时，如图3，先求得AD=AE=2，得到CD1，BD，再证明BADCAE，进一步证得ABDFCD，由勾股定理求得AB，即可求得CF=解：(1)BDCE证明：ACB=AED=90，AC=BC，AE=DE，BAC=DAE=45，BAD=CAEABDACE，BDCE(2)解：当点D落在线段AC上时，如图3，则AD=AE=2，CD=ACAD=3-2=1，BD=，BAD=CAE=45，BADCAE.ABDACE，BDACDF，ABDFCD，AB=，CF=.【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直

31、角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键26(1)见解析(2)16(3)【分析】（1）利用SAS证明ADFCDE，则ADFCDE，得FDEADC90；（2）由BGE2BFE，BGEBFE+GEF，得GFEGEF，则GFGE，可求出AB4，从而得出答案；（3）过点H作HPHC交CB的延长线于点P，证明，进而得出HCD=HPE=45，过点H作MN/AD，交AB于M，CD于N，则是等腰直角三角形，即可得出HNCN3，MH1，得HD，再根据MH/AD，得，则GD，从而解决问题(1)证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，DAFDCE90，CEAF，ADFCDE（SAS），ADF

32、CDE，FDEADC90，DEDF；(2)解：BGE2BFE，BGEBFE+GEF，GFEGEF，GFGE，BE+BG+EGBE+AB+CE2AB8，AB4，S正方形ABCD4416，ADFCDE，SADFSCDE，四边形DEBF的面积S正方形ABCD16；(3)解：过点H作HPHC交CB的延长线于点P，DEDF，DFDE，DEF是等腰直角三角形，GEGF，DFDE，DG垂直平分EF，DHEDCE90，DHE-EHC=PHC-EHC，即DHC=EHP，在四边形DHEC中，HDC+HEC=180，HEC+HEP=180,HEP=HDC，HCD=HPE，是等腰直角三角形，HCD=HPE=45，过点H作MN/AD，交AB于M，CD于N，则是等腰直角三角形，CH3，HNCN3，MH1，HD，MH/AD，GHMGDF，GD，AGAG的长为【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键