安徽省2023中考数学 第6章 圆试题.docx

1、第六章圆第一节与圆有关的概念及性质考 点 帮易错自纠易错点1未能结合圆中“铁三角”构造出直角三角形1.如图,点A,B,C,D在O上,OABC,垂足为点E.若ADC=30,AE=1,则BC=(D)A.2B.4C.3D.23(第1题)(第2题)易错点2未能灵活应用圆内接四边形对角互补的性质2.如图,四边形ABCD内接于O,AC平分BAD.若BDC=40,则BCD的度数为100.易错点3“以弦换弧”常出错3.如图,四边形ACBD内接于O,且O的半径为R.若AB=R,则弦AB所对的圆周角的度数为30或150.方 法 帮提分特训1.2021合肥庐阳区二模如图,AB为O的直径,点C,D是圆周上的两点,若A

2、BC=38,则锐角BDC的度数为(B)A.57B.52C.38D.26(第1题)(第2题)2.2021合肥38中三模如图,已知点A,B,C,D在O上,直线AB,CD交于O外点E,BCD=25,E=39,则ADC的度数为(B)A.65B.64C.54D.513.如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,以OC为直径作圆分别交AC,BC于点D,E,连接OD,OE,DE,则下列命题为假命题的是(D)A.若ACO=50,则B=40B.若AB=4,则DE=2C.若OCAB,则四边形ODCE是正方形D.若点C是半圆AB的中点,则CEO的长和BC的长不相等4.2020广东广州往直径为52cm的圆柱形容器内装

3、入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为(C)A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm(第4题)(第5题)5.2021四川南充如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,CD=2OE,则BCD的度数为(B)A.15B.22.5C.30D.456.2021四川自贡如图,AB为O的直径,弦CDAB于点F,OEAC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是(A)A.9.6B.45C.53D.107.2021海南如图,四边形ABCD是O的内接四边形,BE是O的直径,连接AE.若BCD=2BAD,则DAE的度数是(A)A.30B.35C.45D.60(第7题)(第8题)8

4、.2021山东泰安如图,四边形ABCD是O的内接四边形,B=90,BCD=120,AB=2,CD=1,则AD的长为(C)A.23-2B.3-3C.4-3D.2真 题 帮考法1圆的基本性质1.2014安徽,10如图,正方形ABCD的对角线BD长为22,若直线l满足:点D到直线l的距离为3;A,C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为(B)A.1B.2C.3D.4考法2圆周角定理及其推论2.2013安徽,10如图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下判断中,不正确的是(C)A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形B.当APC是等腰三角形时,POACC.当POAC时,ACP=30D

5、.当ACP=30时,BPC是直角三角形3.2021安徽,13如图,圆O的半径为1,ABC内接于圆O.若A=60,B=75,则AB=2.(第3题)(第4题)4.2019安徽,13如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD的长为2.5.2021安徽,20如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.(1)点M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长;(2)点F在CD上,且CE=EF,求证:AFBD.(1)如图,连接OC,OD,则OC=OD.又因为点M是CD的中点,且CD=12,所以CM=DM=6,OMDM.在RtOMD中,由勾股定理,得OD

6、=OM2+MD2=32+62=35,所以圆O的半径长为35.(2)证明:如图,连接AC,延长AF交BD于点N.在AEC与AEF中,AE=AE,AEC=AEF,CE=EF,所以AECAEF,所以EAC=EAF.又因为BAC=BDC,所以AND=BAN+ABN=CDB+ABD=90,即AFBD.6.2014安徽,19如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与O的交点.若OE=4,OF=6,求O的半径和CD的长.解:OC为小圆的直径,OFC=90,CF=DF.OEAB,OEF=OFC=90.又FOE=COF,OEFOFC,OEOF=OFOC

7、,OC=OF2OE=624=9.又CF=OC2-OF2=92-62=35,CD=2CF=65.故O的半径为9,CD的长为65.考法3圆内接四边形的性质7.2012安徽,13如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形OABC为平行四边形,则OAD+OCD=60.考法4垂径分弦8.2020安徽,9已知点A,B,C在O上,则下列命题为真命题的是(B)A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形,则ABC=120C.若ABC=120,则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC9.2019安徽,19筒车是我国古代发明的一种水利灌

8、溉工具.如图(1),明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图(2),筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3,若点C为运行轨迹的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.30.66,cos41.30.75,tan41.30.88)图(1) 图(2)解:如图,连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,点D为AB的中点,线段CD的长即为点C到弦AB所在直线的距离.在RtAOD中,AD=12AB=3,OAD=41.3,OD=ADtan41.330.88=2.64,

9、OA=ADcos41.330.75=4,CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64.答:点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.高分突破微专项12利用“隐形圆”求最值强化训练1.如图,在RtABC中,ACB=90,BAC=30,AB=6,点D是AB上一动点,将BCD沿CD所在直线折叠,使点B落在点P处,连接AP,则线段AP的最小值为(C)A.332B.3C.33-3D.33+32.如图,在RtABC中,ABC=90,C=30,AB=1,D为线段AC上一动点(不与点A,C重合),将BDC沿着BD翻折,点C的对应点为F,E为AC的中点.当EF最短时,EF的长为(B)A.3B.3-1C.

10、23-1D.13.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别从点D,C同时出发,沿着射线DA,射线CD匀速运动(二者速度相等).设直线AF与直线BE交于点H,连接DH,则线段DH的长度的最小值为(A)A.35-3B.25-3C.33-3D.34.2020山东泰安如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(B)A.2+1B.2+12C.22+1D.22-125.2020江苏连云港如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的O与x轴的正半轴交于点A,点B是O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x-3与

11、x轴、y轴分别交于点D,E,则CDE面积的最小值为2.6.2021广东在ABC中,ABC=90,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,ADB=45,则线段CD长度的最小值为5-2.第二节与圆有关的位置关系考 点 帮易错自纠易错点1混淆相交、相切、相离的概念1.在RtABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,以点C为圆心、5cm长为半径作圆,则此圆和斜边AB的位置关系是(A)A.相交B.相切C.相离D.相交或相切易错点2不能熟练掌握等边三角形外接圆与内切圆的性质2.如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是(C)A.h=R+rB.

12、R=2rC.r=34aD.R=33a方 法 帮提分特训1.2021湖北荆州如图,AB是O的直径,AC是O的弦,ODAC于点D,连接OC,过点D作DFOC交AB于点F,过点B的切线交AC的延长线于点E.若AD=4,DF=52,则BE=152.2.2021合肥50中三模如图,AB是半圆O的直径,过点O作弦AD的垂线交AD于点M,且交切线AC于点C,交半圆O于点E,连接BE,DE.(1)求证:BED=C;(2)若OA=5,AD=8,求MC的长.(1)证明:如图,AC是半圆O的切线,ABAC,即1+2=90.COAD,1+C=90,C=2.又BED=2,BED=C.(2)如图,OMAD,AM=DM=1

13、2AD=4.在RtAOM中,由勾股定理得OM=OA2-AM2=3.C=2,tanC=tan2,即AMMC=OMAM,MC=163.真 题 帮考法与圆有关的位置关系(10年4考)1.2018安徽,12如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=60.2.2020安徽,20如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:CBADAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分DAB.(1)证明:因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90.在RtCB

14、A与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以RtCBARtDAB.(2)证明:方法一:因为BE=BF,BCEF,所以BC平分EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是,DAC=DBC=CBE=90-E=CAB,故AC平分DAB.方法二:因为BE=BF,所以E=BFE.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD,故AC平分DAB.+第三节与圆有关的计算考 点 帮易错自纠易错点混淆弧长公式和扇形面积公式而出错1.已知一个扇形的半径为6,弧长为2,则这个扇形的圆心角为(B)A.30B.60C.90D.1202

15、.已知一半径为4的扇形的圆心角为120,则该扇形的面积是163.方 法 帮提分特训1.2021合肥45中三模如图,在ABCD中,C=110,AB=2,以AB为直径的O交BC于点E,则AE的长为(C)A.19B.718C.79D.292.2021合肥包河区一模如图,有一块半径为1米的扇形铁皮OCD,取弧CD的中点B,连接BD,若OCBD,则这块扇形铁皮的面积为3平方米.(第2题)(第3题)3.2020合肥瑶海区一模如图,正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE,OF和EF上,且点A是线段OB的中点.若EF的长为5,则OD的长为42.4.2021合肥38中三模如图,在RtABC中,C=9

16、0,BAC的平分线交BC边于点E,点D为AB边上一点,以AD为直径的O恰好经过点E.(1)求证:BC是O的切线;(2)若AB=6,BAC=60,试求图中阴影部分的面积.(1)证明:连接OE.OA=OE,OAE=OEA.AE平分BAC,BAE=CAE,OEA=CAE,OEAC,OEB=C=90,OEBC,BC是O的切线.(2)由(1)可知OEAC,DOE=BAC=60.设OE=OA=x,则OB=6-x.在RtOEB中,B=90-BOE=30,OB=2OE,即6-x=2x,x=2,OE=2,OB=4,BE=23,S阴影部分=SOEB-S扇形DOE=12223-6022360=23-23.真 题 帮

17、考法与弧长有关的计算(10年3考)1.2017安徽,13如图,已知等边三角形ABC的边长为6,以AB为直径的O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧DE的长为.2.2016安徽,13如图,已知O的半径为2,A为O外一点.过点A作O的一条切线AB,切点是点B.AO的延长线交O于点C.若BAC=30,则劣弧BC的长为43.(第2题)(第3题)3.2015安徽,12如图,点A,B,C在O上,O的半径为9,AB的长为2,则ACB的大小是20.第六章圆第一节与圆有关的概念及性质【易错自纠】1.D连接OC.ADC=30,AOC=60.在RtCOE中,OEOC=cos60=12,OE=12OC=12OA,

18、AE=OE.AE=1,OC=OA=2,CE=3.OABC,BC=2CE=23.故选D.2.100BDC=40,BAC=40.AC平分BAD,BAD=2BAC=80.四边形ABCD内接于O,BCD+BAD=180,BCD=100.3.30或150连接OA,OB.OA=OB=AB=R,OAB为等边三角形,AOB=60,ACB=12AOB=30,ADB=180-ACB=150,弦AB所对的圆周角的度数为30或150.提分特训1.B如图,连接AC.AB是O的直径,ACB=90.ABC=38,BAC=90-ABC=52,BDC=BAC=52.2.B根据圆周角定理的推论可知BAD=BCD=25,则根据三角

19、形外角的性质可知ADC=BAD+E=25+39=64.3.DAB是O的直径,ACB=90.若ACO=50,则BCO=40.又OC=OB,B=BCO=40,故选项A中的命题为真命题.易知ODC=OEC=90.又AOC和BOC是等腰三角形,点D,E分别是AC,BC的中点,DE是ABC的中位线,若AB=4,则DE=12AB=2,故选项B中的命题是真命题.易知四边形ODCE是矩形.当OCAB时,ABC是等腰直角三角形,AC=BC.又点D,E分别是AC,BC的中点,CD=CE,四边形ODCE是正方形,故选项C中的命题是真命题.设O的半径为r,则OC=OB=r,CEO的长为r2.易知当点C是半圆AB的中点

20、时,BOC=90,BC的长为90r180=r2,CEO的长和BC的长相等,故选项D中的命题是假命题.4.C如图,过点O作OCAB,垂足为H,交O于点C,连接OB.O的直径为52cm,OC=OB=26cm.AB=48cm,OHAB,AH=BH=24cm.在RtOHB中,OH=OB2-HB2=262-242=10(cm),CH=OC-OH=26-10=16(cm),水的最大深度为16cm.(第4题)(第5题)5.B如图,连接OD.AB是O的直径,ABCD,CE=DE.又CD=2OE,OE=DE,则ODE是等腰直角三角形,DOB=45.由圆周角定理,得BCD=12DOB=22.5.6.AAB为O的直

21、径,OEAC,CDAB,AE=EC,DF=FC.在RtAOE中,OA=OB=5,OE=3,由勾股定理,得AE=OA2-OE2=52-32=4,AC=2AE=8.sinA=OEOA=CFAC,即35=CF8,CF=4.8,CD=2CF=9.6.故选A.7.A四边形ABCD是O的内接四边形,BAD+C=180.又C=2BAD,BAD=60.BE是O的直径,BAE=90,DAE=BAE-BAD=90-60=30,故选A.8.C如图,延长AD,BC交于点E.四边形ABCD是O的内接四边形,AB=2,CD=1,BCD=120,B=90,A=60,ADC=90,CDE=90,DCE=60,E=90-60=

22、30.在RtABE中,AE=2AB=4.在RtCDE中,DE=CDtan30=3,AD=AE-DE=4-3,故选C.1.B如图,以点D为圆心、3为半径作圆,圆的切线即为满足条件的直线l,又A,C两点到直线l的距离相等,所以直线l为D的切线且与直线AC平行,由图可知有2条直线满足条件.2.C当弦PB最长时,PB是直径,且PBAC.根据垂径定理,可得AP=CP,即APC是等腰三角形,选项A中的判断正确;当APC是等腰三角形时,点P的位置有两种情况,一种情况是点P与点B重合,另一种情况是点P是劣弧AC的中点,两种情况均满足POAC,选项B中的判断正确;当POAC时,有两种情况,当点P为劣弧AC的中点

23、时,ACP=30;当点P与点B重合时,ACP=60,选项C中的判断错误;当ACP=30时,有两种情况,当点P为劣弧AC的中点时,BCP=BCA+ACP=60+30=90;当点P为劣弧AB的中点时,PC为O的直径,PBC=90,两种情况得到的BPC均为直角三角形,选项D中的判断正确.3.2如图,连接BO并延长交O于点D,连接AD,CD,则BDC=BAC=60.BD是O的直径,BAD=BCD=90,CBD=90-BDC=30,ABD=ABC-CBD=45,AB=22BD=222=2.(第3题)(第4题)4.2如图,连接OB,OC,则BOC=2A=60.又OB=OC,BOC是等边三角形,BC=OB=

24、2.又CDB=90,CBD=45,CD=BCsin45=222=2.56.略7.60连接OB,由OA=OC=OB可知平行四边形ABCO是菱形且OAB=OCB=60,所以OAD+OCD=180-OAB-OCB=180-120=60.8.B逐项分析如下:选项图示分析真假命题AOB平分AC,则直线OB是AC的垂直平分线,无法推理得出四边形OABC是平行四边形.假B若四边形OABC是平行四边形,则AB=OC=OB=OA=BC,OAB和OBC是等边三角形,ABO=OBC=60,ABC=ABO+OBC=120.真C若ABC=120,无法推理出AC平分OB.假D若AC平分OB,无法推理出OB平分AC.假9.

25、略强化训练1.C由折叠知CP=CB,点P在以点C为圆心、CB的长为半径的圆上,当点P在AC上时,AP的值最小.ACB=90,A=30,AB=6,BC=12AB=3,由勾股定理得AC=62-32=33,AP的最小值为33-3.故选C.2.B由翻折可知点F在以B为圆心、BC的长为半径的圆上运动,且当点E在线段BF上时,EF最短,此时EF=BF-BE.ABC=90,C=30,AB=1,AC=2AB=2,BC=3AB=3,BF=BC=3.点E是AC的中点,BE=12AC=1,EF=3-1.3.A由题易知DE=CF.四边形ABCD是正方形,AB=AD=CD=6,BAD=ADC=90,AE=DF,RtAB

26、ERtDAF,DAF=ABE.ABE+AEB=90,DAF+AEB=90,即AFBE.如图,设AB边的中点为点P,连接PH,则PH=12AB=3,点H在以点P为圆心、AB为直径的圆上.连接DP,交P于点M,则当点H与点M重合时,线段DH最短,为DP-PM.PM=3,DP=AD2+AP2=35,线段DH的长度的最小值为35-3.(第3题)(第4题)4. B点C为坐标平面内一点,点B为定点,BC=1,点C在以点B为圆心、BC的长为半径的圆上.作点A关于y轴的对称点D,连接CD.AM=CM,OD=OA,OM是ACD的中位线,OM=12CD,当CD的值最大时,OM的值最大,当D,B,C三点共线时,CD

27、的值最大,如图.OB=OD=2,BOD=90,BD=22,CD=22+1,OM=12CD=2+12,即OM的最大值为2+12.故选B.5.2设O与x轴的另一交点为F,连接BF,OC,易得ACO=ABF=90,点C在以AO为直径的圆上.如图,取OA的中点M,过点M作MNDE于点N,与M交于点C.易知当点C与点C重合时,CDE的面积最小.由y=34x-3可知OE=3,OD=4,DE=5.易证DMNDEO,MNOE=DMDE,即MN3=4-1225=35,MN=95,CN=MN-1=45,CDE面积的最小值为12545=2.(第5题)(第6题)6.5-2易知线段CD取最小值时,点D在AB右侧.以AB

28、为斜边,在AB右侧作等腰直角三角形AOB,以点O为圆心,AO为半径作圆,当点D在优弧AB上时,ADB=45.连接OC,则当点D在线段OC上时,CD的长度最小,如图.过点O作OGBC于点G,则OBG是等腰直角三角形.易求得O的半径为2,OG=BG=1,CG=3-1=2,OC=12+22=5,CD=5-2,即线段CD长度的最小值为5-2.第二节与圆有关的位置关系【易错自纠】1.A设点C到AB的距离为hcm,由勾股定理得AB=10cm,再根据三角形的面积公式,得1268=1210h,h=245.5245,C与AB相交.故选A.2.C如图所示,标记各点,AO为R,OB为r,AB为h,等边三角形的外心和

29、内心为同一点,故点A,O,B共线,AB=AO+OB,即h=R+r,故选项A中的结论正确.三角形为等边三角形,CAO=30,根据垂径定理可知ACO=90,AO=2OC,即R=2r,故选项B中的结论正确.在RtACO中,利用勾股定理,可得AO2=AC2+OC2,即R2=(12a)2+r2,由B中关系可得:(2r)2=(12a)2+r2,解得r=36a,则R=33a,所以故选项C中的结论错误,选项D中的结论正确.故选C.提分特训1.152在O中,ODAC,DC=AD.又DFOC,DF是ACO的中位线,OC=2DF=5,AB=2OC=10.在RtADO中,OD=AO2-AD2=3,tanA=ODAD=

30、34.BE 是O的切线,ABE=90,tanA=BEAB=34,即BE10=34,BE=152.2.略1.60连接OA.AB,AC分别与O相切于点D,E,ODAB,OEAC.点D是AB的中点,OA=OB.四边形ABOC是菱形,AB=BO,AB=BO=AO,ABO是等边三角形,B=60,BAC=120,DOE=360-90-90-120=60.2.略第三节与圆有关的计算【易错自纠】1.B设这个扇形的圆心角为n,则n6180=2,解得n=60,故选B.2.163该扇形的面积为12042360=163.提分特训1.C如图,连接OE.四边形ABCD是平行四边形,B=180-C=70,AOE=2B=14

31、0.由弧长公式,得lAE=1401180=79.(第1题)(第2题)2. 3如图,连接OB,则OB=OD.点B是弧CD的中点,BOC=BOD.OCBD,BOC=OBD,BOD=OBD,BD=OD=OB,即BOD是等边三角形,COD=2BOD=120,S扇形COD=12036012=3(平方米).3.42四边形ABCD为正方形,点A为OB的中点,AD=AB=OA,DAB=90,OAD=90,AOD是等腰直角三角形,故EOF=45,lEF=45OE180=5,OE=45.连接OC,如图,在RtOBC中,OC=45=OB2+BC2=5OA2=5OA,OA=4,OD=42.4.略1.如图,连接OD,OE.AB是O的直径,AB=6,O的半径为3.ABC是等边三角形,A=B=60.OB=OE,OA=OD,BOE和AOD均为等边三角形,BOE=60,AOD=60,DOE=180-60-60=60,故劣弧DE的长为603180=.2.43连接OB.根据切线的性质可知,ABO=90,则BOC=A+ABO=30+90=120.根据弧长公式可得=1202180=43.3.20连接OA,OB,设AOB=n.根据弧长公式可得lAB=n9180=2,解得n=40,即AOB=40,ACB=12AOB=20.