（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 几何综合.doc

1、几何综合 1、（2013 四川南充，6，3 分）下列图形中，21 （）答案：C 解析：由对顶角相等，知 A 中12，由平行四边形的对角相等，知 B 中12，由对顶角相等，两直线平行同位角相等，知 D 中12，由三角形的外角和定理，知 C符合21 2、（2013攀枝花）如图，分别以直角ABC 的斜边 AB，直角边 AC 为边向ABC 外作等边ABD和等边ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，ACB=90，BAC=30给出如下结论：EFAC；四边形 ADFE 为菱形；AD=4AG；FH=BD 其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）考点：菱形的判定；等边三角形的性质

2、；含 30 度角的直角三角形 分析：根据已知先判断ABCEFA，则AEF=BAC，得出 EFAC，由等边三角形的性质得出BDF=30，从而证得DBFEFA，则 AE=DF，再由 FE=AB，得出四边形 ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出 AD=4AG，从而得到答案 解答：解：ACE 是等边三角形，EAC=60，AE=AC，BAC=30，FAE=ACB=90，AB=2BC，F 为 AB 的中点，AB=2AF，BC=AF，ABCEFA，FE=AB，AEF=BAC=30，EFAC，故正确，EFAC，ACB=90，HFBC，F 是 AB 的中点，HF=BC，BC=AB，AB=BD

3、，HF=BD，故说法正确；AD=BD，BF=AF，DFB=90，BDF=30，FAE=BAC+CAE=90，DFB=EAF，EFAC，AEF=30，BDF=AEF，DBFEFA（AAS），AE=DF，FE=AB，四边形 ADFE 为平行四边 形，AEEF，四边形 ADFE 不是菱形；故说法不正确；AG=AF，AG=AB，AD=AB，则 AD=AG，故说法正确，故答案为 点评：本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择 3、（2013泸州）如图，在等腰直角ACB=90，O 是斜边 AB 的中点，点 D、E 分别在

4、直角边 AC、BC 上，且DOE=90，DE 交 OC 于点 P则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OPOC 其中正确的结论有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 分析：结论（1）错误因为图中全等的三角形有 3 对；结论（2）正确由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断 结论（4）正确利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行

5、判断 解答：解：结论（1）错误理由如下：图中全等的三角形有 3 对，分别为AOCBOC，AODCOE，CODBOE 由等腰直角三角形的性质，可知 OA=OC=OB，易得AOCBOC OCAB，ODOE，AOD=COE 在AOD 与COE 中，AODCOE（ASA）同理可证：CODBOE 结论（2）正确理由如下：AODCOE，SAOD=SCOE，S 四边形 CDOE=SCOD+SCOE=SCOD+SAOD=SAOC=SABC，即ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍 结论（3）正确，理由如下：AODCOE，CE=AD，CD+CE=CD+AD=AC=OA 结论（4）正确，理由如下：A

6、ODCOE，AD=CE；CODBOE，BE=CD 在 RtCDE 中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，AD2+BE2=DE2 AODCOE，OD=OE，又ODOE，DOE 为等腰直角三角形，DE2=2OE2，DEO=45 DEO=COE=45，COE=COE，OEPOCE，即 OPOC=OE2 DE2=2OE2=2OPOC，AD2+BE2=2OPOC 综上所述，正确的结论有 3 个，故选 C 点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点难点在于结论（4）的判断，其中对于“OPOC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题 4、（2013

7、绍兴）矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，P，Q 是对角线 BD 上不重合的两点，点 P 关于直线 AD，AB 的对称点分别是点 E、F，点 Q 关于直线 BC、CD 的对称点分别是点 G、H若由点 E、F、G、H 构成的四边形恰好为菱形，则 PQ 的长为 2.8 考点：几何变换综合题 分析：如解答图所示，本题要点如下：（1）证明矩形的四个顶点 A、B、C、D 均在菱形 EFGH 的边上，且点 A、C 分别为各自边的中点；（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；（3）求出线段 AP 的长度，证明AON 为等腰三角形；（4）利用勾股定理求出线段 OP 的长度；（5）同理求出 OQ 的长度，从

8、而得到 PQ 的长度 解答：解：由矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，可得对角线 AC=BD=5 依题意画出图形，如右图所示 由轴对称性质可知，PAF+PAE=2PAB+2PAD=2（PAB+PAD）=180，点 A 在菱形 EFGH 的边 EF 上同理可知，点 B、C、D 均在菱形 EFGH 的边上 AP=AE=AF，点 A 为 EF 中点同理可知，点 C 为 GH 中点 连接 AC，交 BD 于点 O，则有 AF=CG，且 AFCG，四边形 ACGF 为平行四边形，FG=AC=5，即菱形 EFGH 的边长等于矩形 ABCD 的对角线长 EF=FG=5，AP=AE=AF，AP=EF=2.

9、5 OA=AC=2.5，AP=AO，即APO 为等腰三角形 过点 A 作 ANBD 交 BD 于点 N，则点 N 为 OP 的中点 由 SABD=ABAD=ACAN，可求得：AN=2.4 在 RtAON 中，由勾股定理得：ON=0.7，OP=2ON=1.4；同理可求得：OQ=1.4，PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8 故答案为：2.8 点评：本题是几何变换综合题，难度较大首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果 5、（2013莱芜）下列说法错误的是（）A 若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的

10、圆心 B 2+与 2互为倒数 C 若 a|b|，则 ab D 梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 考点：相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理 分析：根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出即可 解答：解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；B、2+与 2=互为倒数，2+与 2互为倒数，故此选项正确，不符合题意；C、若 a|b|，则 ab，此选项正确，不符合题意；D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意；故选：D 点评：此题主要考查了相交两圆的性质以

11、及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相关定理是解题关键 6、（2013 年潍坊市）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以对角线 BD 为直径作O，分别于 BC、AD 相交于点 E、F.（1）求证四边形 BEDF 为矩形.（2）若BCBEBD2试判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由.答案：.90,.2.90,90./90)1(2相切与，即理由如下：的位置关系为相切与）直线（为矩形四边形是平行四边形，四边形又的直径，为证明：OCDCDBDBEDBDCBDCBEDCBDDBCBDBCBEBDBCBEBDOCDBEDFBEDEDADFBFBCBCADABCDDFBDEBOBD 考点：平行

12、四边形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用.点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法.7、（2013温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了 PQ 与圆洞的切点 K 到点 B 的距离及相关数据（单位：cm），从点 N 沿折线 NFFM（NFBC，FMAB）切割，如图 1 所示图 2 中的矩形 EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则 CN，A

13、M 的长分别是 18cm、31cm 考点：圆的综合题 分析：如图，延长 OK 交线段 AB 于点 M，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N，设圆孔半径为 r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得 r=16（cm）根据题意知，圆心 O 在矩形EFGH 的对角线上，则 KN=AB=42cm，OM=KM+r=CB=65cm则根据图中相关线段间的和差关系求得 CN=QGQN=4426=18（cm），AM=BCPDKM=1305049=31（cm）解答：解：如图，延长 OK 交线段 AB 于点 M，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N 设圆孔半径为 r 在 RtKBG 中，根据

14、勾股定理，得 BG2+KG2=BK2，即（13050）2+（44+r）2=1002，解得，r=16（cm）根据题意知，圆心 O 在矩形 EFGH 的对角线上，则 KN=AB=42cm，OM=KM+r=CB=65cm QN=KNKQ=4216=26（cm），KM=49（cm），CN=QGQN=4426=18（cm），AM=BCPDKM=1305049=31（cm），综上所述，CN，AM 的长分别是 18cm、31cm 故填：18cm、31cm 点评：本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现

15、了数学思想方法在现实问题中的应用价值 8、（2013滨州）如图，等边ABC 沿射线 BC 向右平移到DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：AD=BC；BD、AC 互相平分；四边形 ACED 是菱形 其中正确的个数是（）A 0 B 1 C 2 D 3 考点：平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质 分析：先求出ACD=60，继而可判断ACD 是等边三角形，从而可判断是正确的；根据的结论，可判断四边形 ABCD 是平行四边形，从而可判断是正确的；根据的结论，可判断正确 解答：解：ABC、DCE 是等边三角形，ACB=DCE=60，AC=CD，ACD=180ACBDCE=60，ACD

16、是等边三角形，AD=AC=BC，故正确；由可得 AD=BC，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，BD、AC 互相平分，故正确；由可得 AD=AC=CE=DE，故四边形 ACED 是菱形，即正确 综上可得正确，共 3 个 故选 D 点评：本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出ACD 是等边三角形，难度一般 9、（2013 陕西压轴题）问题探究（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，

17、并说明理由.问题解决（3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a，CD=b，且ab，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由.考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般的知识迁

18、移的过程。（1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。（2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有这些知识的积累足够解决。（3）问中可以考虑构造（1）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是图图ABCDMB图ACDP（第 25 题图）平行四边形）二是中位线的应用。解：（1）如图所示（2）如图，连接 AC、BD 相交于点 O，作直线 O

19、M 分别交 AD、BC 于 P、Q 两点，过点 O 作用 OM 的垂线分别交 AB、CD 于 E、F 两点，则直线 OM、EF 将正方形 ABCD 的面积四等分.理由如下：点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，点 O 是正方形 ABCD 的对称中心 AP=CQ，EB=DF，D 在AOP 和EOB 中，AOP=90-AOE，BOE=90-AOE AOP=BOE OA=OB，OAP=EBO=45AOPEOB AP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PD 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为d.dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP)(21)(21)(21)(21 POFDCQOFBE

20、OQAPOESSSS四边形四边形四边形四边形 直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分 另解：点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，点 O 是正方形 ABCD 的中心 OA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45 PQEF，POD+DOF=90，POD+POA=90 POA=DOF 同理：POA=DOF=BOE=COQ AOPBOECOQDOF ABCDPOFDCQOFBEOQAPOESSSSS正方形四边形四边形四边形四边形41 直线 EF、PQ 将正方形 ABCD 面积四等分（3）存在.当 BQ=CD=b 时，PQ 将四边形 ABCD 面积二等分.理由如下：如图，

21、延长 BA 至点 E，使 AE=b，延长 CD 至点 F，使 DF=a，连接 EF.BECF，BE=CF 四边形 BCFE 为平行四边形，BC=BE=a+b，平行四边形 DBFE 为菱形 连接 BF 交 AD 于点 M，则MABMDF AM=DM.即点 P、M 重合.答图ABCDM（第 25 题答案图）答图OPQFEB答图ACDP（第 25 题答案图）MQFE点 P 是菱形 EBCF 对角线的交点，在 BC 上截取 BQ=CD=b，则 CQ=AB=a.设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d CDPCQPQBPABPSSdCDCQdBQABSS)(21)(21 所以当 BQ=b 时，直线

22、PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.另解：存在.当 BQ=CD=b 时，PQ 将四边形 ABCD 面积二等分.理由如下：如图，连接 BP 并延长 BP 交 CD 延长线于点 F，连接 CP 点 P 是 AD 的中点，PA=PD ABCD，ABP=DFP，APB=DPF APBDPF AB=DF，PB=PF，所以 CP 是CBF 的中线，CPFCPBSS AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，CBF=CFB ABP=DFPABP=CBP 即 PB 是角平分线.点 P 到 AB 与 CB 的距离相等，BQ=b，所以 CQ=AB=a CQPABPSS QCDPABQPSS

23、四边形四边形 所以当 BQ=b 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分.10、（2013温州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A（6，0），B（0.8），点 C 的坐标为（0，m），过点 C 作 CEAB 于点 E，点 D 为 x 轴上的一动点，连接 CD，DE，以 CD，DE 为边作 CDEF（1）当 0m8 时，求 CE 的长（用含 m 的代数式表示）；（2）当 m=3 时，是否存在点 D，使 CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的

24、位置，使得 CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的 m 的值 B答图ACDP（第 25 题答案图）QF考点：相似形综合题 分析：（1）首先证明BCEBAO，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；（2）证明EDABOA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；（3）分 m0，m=0 和 m0 三种情况进行讨论，当 m=0 时，一定不成立，当 m0 时，分 0m8 和 m8 两种情况，利用三角函数的定义即可求解当 m0 时，分点 E 与点 A 重合和点 E 与点 A 不重合时，两种情况进行讨论 解答：解：（1）A（6，0），B（0，8）OA=6，OB=8 AB=10，CEB=AOB=90，又OB

25、A=EBC，BCEBAO，=，即=，CE=m；（2）m=3，BC=8m=5，CE=m=3 BE=4，AE=ABBE=6 点 F 落在 y 轴上（如图 2）DEBO，EDABOA，=即=OD=，点 D 的坐标为（，0）（3）取 CE 的中点 P，过 P 作 PGy 轴于点 G 则 CP=CE=m（）当 m0 时，当 0m8 时，如图 3易证GCP=BAO，cosGCP=cosBAO=，CG=CPcosGCP=（m）=m OG=OC+OG=m+m=m+根据题意得，得：OG=CP，m+=m，解得：m=；当 m8 时，OGCP，显然不存在满足条件的 m 的值（）当 m=0 时，即点 C 与原点 O 重

26、合（如图 4）（）当 m0 时，当点 E 与点 A 重合时，（如图 5），易证COAAOB，=，即=，解得：m=当点 E 与点 A 不重合时，（如图 6）OG=OCOG=m（m）=m 由题意得：OG=CP，m=m 解得 m=综上所述，m 的值是 或 0 或 或 点评：本题是相似三角形的判定于性质以及三角函数的综合应用，正确进行分类是关键 11、（2013 年佛山市压轴题）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识 已知平行四边形 ABCD，A=60，AB=2a，AD=a(1)把所给的平

27、行四边形 ABCD 用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个(2)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题现在请计算两条对角线的长度 要求：计算对角线 BD 长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线 AC 的长 解：在表格中作答 分割图形 分割或图形说明 示例 示例分割成两个菱形。两个菱形的边长都为 a,锐角都为60。ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图 （2）分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作

28、答，认真计算即可 解：（1）在表格中作答：分割图形 分割或图形说明 示例：示例：分割成两个菱形 两个菱形的边长都为 a，锐角都为 60 分割成两两个等腰梯形 两个等腰梯形的腰长都为 a，上底长都为，下底长都为 a，上底角都为 120，下底角都为 60 分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形 等边三角形的边长为 a，等腰三角形的腰长为 a，顶角为 120 直角三角形两锐角为 30、60，三边为 a、a、2a（2）如右图，连接 BD，取 AB 中点 E，连接 DE AB=2a，E 为 AB 中点，AE=BE=a，AD=AE=a，A=60，ADE 为等边三角形，ADE=DEA=60，D

29、E=AE=a，又BED+DEA=180，BED=180DEA=18060=120，又DE=BE=a，BED=120，BDE=DBE=（180120）=30，ADB=ADE+BDE=60+30=90 ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图RtADB 中，ADB=90，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即 BD2+a2=（2a）2，解得 BD=a 如右图所示，AC=2OC=2=2=2a=a BD=a，AC=a 点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质第（1

30、）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题 12、（2013常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A B C D 考点：菱形的性质；勾股定理；直角梯形 分析：先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可 解答：解：连接 BC，则 BC 为这个几何图形的直径，过 O 作 OMBC 于 M OB=OC，BOM=BOC=60，OBM=30，OB=2，O

31、MBC，OM=OB=1，由勾股定理得：BM=，由垂径定理得：BC=2；连接 AC、BD，则 BD 为这个图形的直径，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BD 平分ABC，ABC=60，ABO=30，AO=AB=1，由勾股定理得：BO=，BD=2BO=2；连接 BD，则 BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=2；连接 BD，则 BD 为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=，22，选项 A、B、D 错误，选项 C 正确；故选 C 点评：本题考查了菱形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力 13、（2013年河北压轴题）一透明的

32、敞口正方体容器ABCD-ABCD 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （CBE=，如图17-1所示）探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图 17-2 所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBCQ高AB）（3）求 的度数.(注：sin49cos4134，tan3734)拓展 在图 17-1 的基础上，以棱 AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图 17-3 或图 17-4 是其正面示意图.若液面与棱 CC 或

33、CB 交于点 P，设 PC=x，BQ=y.分别就图 17-3 和图 17-4 求 y 与 x 的函数关系式，并写出相应的 的范围.温馨提示：下页还有题！延伸 在图 17-4 的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图 17-5，隔板高 NM=1 dm，BM=CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 =60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到 4 dm3.解析：探究（1）CQBE 3 2 分 （2）1=3 4 4=242V 液（dm3）4 分 （3）在 RtBCQ 中，tanBCQ=34 =BCQ=37 6 分 拓展 当容器向左旋转时，如图 3,0 37

34、 7 分 液体体积不变，1 x+y)4 4=242（-+3yx 9 分 当容器向右旋转时，如图 4，同理得124yx，10 分 当液面恰好到达容器口沿，即点 Q 与点 B重合时，如图 5.由 BB=4，且 1 4242PBBB，得 PB=3 由 tanPB B=34，得PB B=37，=B PB=53 此时 37 53 12 分【注：本问的范围中，“”为“”不影响得分】延伸 当=60时，如图 6 所示，设 FNEB，GB EB 过点 G 作 GHBB 于点 H 在 RtB GH 中，GH=MB=2，GB B=30，HB=2 3 MG=BH=42 34（dm3）溢出液体可以达到 4dm3.14

35、分 14、（2013玉林）如图，ABC 是O 内接正三角形，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 30得到DEF，DE 分别交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则有以下结论：DQN=30；DNQANM；DNQ 的周长等于 AC 的长；NQ=QC其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）考点：几何综合题 分析：连结 OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得AOD=COF=30，再根据圆周角定理得ACD=FDC=15，然后根据三角形外角性质得DQN=QCD+QDC=30；同理可得AMN=30，由DEF 为等边三角形得 DE=DF，则弧 DE=弧 DF，得到弧

36、 AE=弧 DC，所以ADE=DAC，根据等腰三角形的性质有 ND=NA，于是可根据“AAS”判断DNQANM；利用 QD=QC，ND=NA 可判断DNQ 的周长等于 AC 的长；由于NDQ=60，DQN=30，则DNQ=90，所以 QDNQ，而 QD=QC，所以 QCNQ 解答：解：连结 OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，ABC 绕点 O 顺时针旋转 30得到DEF，AOD=COF=30，ACD=AOD=15，FDC=COF=15，DQN=QCD+QDC=15+15=30，所以正确；同理可得AMN=30，DEF 为等边三角形，DE=DF，弧 DE=弧 DF，弧 AE+弧 AD=

37、弧 DC+弧 CF，而弧 AD=弧 CF，弧 AE=弧 DC，ADE=DAC，ND=NA，在DNQ 和ANM 中，DNQANM（AAS），所以正确；ACD=15，FDC=15，QD=QC，而 ND=NA，ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，即DNQ 的周长等于 AC 的长，所以正确；DEF 为等边三角形，NDQ=60，而DQN=30，DNQ=90，QDNQ，QD=QC，QCNQ，所以错误 故答案为 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握三角形全等的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质 15、（2013玉林）如图，在直角

38、梯形 ABCD 中，ADBC，ADDC，点 A 关于对角线 BD 的对称点 F 刚好落在腰 DC 上，连接 AF 交 BD 于点 E，AF 的延长线与 BC 的延长线交于点 G，M，N分别是 BG，DF 的中点（1）求证：四边形 EMCN 是矩形；（2）若 AD=2，S 梯形 ABCD=，求矩形 EMCN 的长和宽 考点：直角梯形；矩形的判定与性质 专题：几何综合题 分析：（1）根据轴对称的性质可得 AD=DF，DEAF，然后判断出ADF、DEF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出DAF=EDF=45，根据两直线平行，内错角相等求出BCE=45，然后判断出BGE 是等腰直角三角形

39、，根据等腰直角三角形的性质可得 EMBC，ENCD，再根据矩形的判定证明即可；（2）判断出BCD 是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出 CD 的长，再根据等腰直角三角形的性质求出 DN，即可得解 解答：（1）证明：点 A、F 关于 BD 对称，AD=DF，DEAF，又ADDC，ADF、DEF 是等腰直角三角形，DAF=EDF=45，ADBC，G=GAF=45，BGE 是等腰直角三角形，M，N 分别是 BG，DF 的中点，EMBC，ENCD，又ADBC，ADDC，BCCD，四边形 EMCN 是矩形；（2）解：由（1）可知，EDF=45，BCCD，BCD 是等腰直角三角形，BC=CD，S 梯形

40、 ABCD=（AD+BC）CD=（2+CD）CD=，即 CD2+2CD15=0，解得 CD=3，CD=5（舍去），ADF、DEF 是等腰直角三角形，DF=AD=2，N 是 DF 的中点，EN=DN=DF=2=1，CN=CDDN=31=2，矩形 EMCN 的长和宽分别为 2，1 点评：本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点 16、（13 年北京 7 分 24）在ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD。（1）如图 1，直接写

41、出ABD 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45，求 的值。解析：【解析】（1）1302 （2）ABE为等边三角形 证明连接 AD、CD、ED 线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD 则 BCBD，60DBC 又60ABE 160302ABDDBEEBC 且BCD为等边三角形.在ABD与ACO中 ABACADADBDCD ABDACD（SSS）1122BADCADBAC 150BCE 11180(30)15022BEC 在ABD与EBC中 BECBADEBCABDBC

42、BD ABDEBC（AAS）ABBE ABE为等边三角形（3）60BCD，150BCE 1506090DCE 又45DEC DCE为等腰直角三角形 DCCEBC 150BCE(180150)152EBC 而130152EBC 30 【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模 型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.考点：几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）17、（13 年山东青岛、24 压轴题）已知，如图，ABCD 中，AD=3cm，CD=1cm，B=45，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 3cm/

43、s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，连接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M，过 M 作 MNBC，垂足是 N，设运动时间为 t（s）（0t1），解答下列问题：EABCD（1）当 t 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形？（2）设四边形 ANPM 的面积为 y（cm），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 ANPM 的面积是ABCD 面积的一半，若存在，求出相应的 t 值，若不存在，说明理由（4）连接 AC，是否存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成1:2的两部分？若存在，求出相应的 t 值，

44、若不存在，说明理由 解析：OPBCADMNQBCAD第 24 题备用图BCAD第 24 题备用图 解得：t 3 214，当 AE：EC1：2 时，同理可得：AEBACDCN，即 13223(1)2tt，解得：t 3 217，答：当 t 3 214 或 t 3 217 时，NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成1:2的两部分 18、（2013 年佛山市压轴题）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识 已知平行四边形 ABCD，A=60，AB=2a，AD=a(3)把所给的平行四边形 A

45、BCD 用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个(4)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题现在请计算两条对角线的长度 要求：计算对角线 BD 长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线 AC 的长 解：在表格中作答 分割图形 分割或图形说明 示例 示例分割成两个菱形。两个菱形的边长都为 a,锐角都为60。（2）分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图ABCD第 25 题图AB

46、CD第 25 题图（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可 解：（1）在表格中作答：分割图形 分割或图形说明 示例：示例：分割成两个菱形 两个菱形的边长都为 a，锐角都为 60 分割成两两个等腰梯形 两个等腰梯形的腰长都为 a，上底长都为，下底长都为 a，上底角都为 120，下底角都为 60 分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形 等边三角形的边长为 a，等腰三角形的腰长为 a，顶角为 120 直角三角形两锐角为 30、60，三边为 a、a、2a（2）如右图，连接 BD，取 AB 中点 E，连接 DE AB=2a，E 为 AB 中点，AE=BE=a

47、，AD=AE=a，A=60，ADE 为等边三角形，ADE=DEA=60，DE=AE=a，又BED+DEA=180，BED=180DEA=18060=120，又DE=BE=a，BED=120，BDE=DBE=（180120）=30，ADB=ADE+BDE=60+30=90 RtADB 中，ADB=90，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即 BD2+a2=（2a）2，解得 BD=a 如右图所示，AC=2OC=2=2=2a=a BD=a，AC=a 点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质第（1）问侧重考查了

48、几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题 19、（2013 年广州市）已知 AB 是O 的直径，AB=4，点 C 在线段 AB 的延长线上运动，点 D在O 上运动（不与点 B 重合），连接 CD，且 CD=OA.(1)当 OC=2 2 时（如图 12），求证：CD 是O 的切线；（2）当 OC2 2 时，CD 所在直线于O 相交，设另一交点为 E，连接 AE.当 D 为 CE 中点时，求ACE 的周长;连接 OD,是否存在四边形 AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时 AEED 的值

49、；若不存在，请说明理由。分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定OCD 为直角三角形，如答图所示；（2）如答图所示，关键是判定EOC 是含 30 度角的直角三角形，从而解直角三角形求出ACE 的周长；符合题意的梯形有 2 个，答图展示了其中一种情形在求 AEED 值的时候，巧妙地利用了相似三角形，简单得出了结论，避免了复杂的运算 解：（1）证明：连接 OD，如答图所示 由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，OD2+CD2=OC2 由勾股定理的逆定理可知，OCD 为直角三角形，则 ODCD，又点 D 在O 上，CD 是O 的切线 （2）解：如答图所示，连接 OE，OD，则有 CD=

50、DE=OD=OE，ODE 为等边三角形，1=2=3=60；OD=CD，4=5，3=4+5，4=5=30，EOC=2+4=90，因此EOC 是含 30 度角的直角三角形，AOE 是等腰直角三角形 在 RtEOC 中，CE=2OA=4，OC=4cos30=，在等腰直角三角形 AOE 中，AE=OA=，ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6+存在，这样的梯形有 2 个 答图是 D 点位于 AB 上方的情形，同理在 AB 下方还有一个梯形，它们关于直线 AB 成轴对称 OA=OE，1=2，CD=OA=OD，4=5，四边形 AODE 为梯形，ODAE，4=1，3=2，3=5=1，在ODE 与COE 中，ODECOE，则有，CEDE=OE2=22=4 1=5，AE=CE，AEDE=CEDE=4 综上所述，存在四边形 AODE 为梯形，这样的梯形有 2 个，此时 AEDE=4 点评：本题是几何综合题，考查了圆、含 30 度角的直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、梯形等几何图形的性质，涉及切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等多个知识点，难度较大