（全国I卷）2020届高三数学考前冲刺必刷卷（三）文（含解析）.doc

1、（全国 I 卷）2020 届高三数学考前冲刺必刷卷（三）文（含解析）第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|20Ax xx，|1|22xBx，则 AB （）A.0 B.0,2 C.0,2 D.2,0,2-【答案】D【解析】【分析】分别求解集合,A B 再求交集即可.【详 解】因 为2|20 2,0Ax xx,|1|220,2xBx,所 以2,0,2AB.故选：D【点睛】本题主要考查了指数与二次方程的求解以及并集的运算,属于基础题.2.已知 1,2A，2,1B，若点C 满足0ACAB，则点C 坐标为（）A.1 1

2、,2 2 B.3,3 C.3,3 D.4,5【答案】D【解析】【分析】先设,C x y，由0ACAB得 ACBA，再由坐标求解.【详解】设,C x y，由0ACAB得 ACBA，即1,23,3xy，所以1323xy ，解得45xy，所以点C 坐标为4,5.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.3.已知命题 p：对,0 x ，20192018xx，则 p 为（）A.00,)x，使得2019201800 xx B.00,)x，使得20192018xx C.0,0 x，使得2019201800 xx D.0,0 x，使得2019201800 xx【答案】C【解析】【分析】根据全

3、称命题的否定为特称命题判定即可.【详解】“对,0 x ,20192018xx”的否定为“0,0 x,使得2019201800 xx”.故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定为特称命题,属于基础题.4.已知点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，则sincos（）A.3122 B.3122 C.3122 D.3122【答案】D【解析】【分析】根据点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，利用三角函数的定义求解.【详解】由点 cos300,sin300P 是角 终边上一点，可得sincossin300cos300sin 360cos 366600031sin60cos6

4、022.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.5.曲线 lnf xx在 xt处的切线l 过原点，则l 的方程为（）A.0 xy B.20 xy C.0 xey D.0exy【答案】C【解析】【分析】先求导利用导函数的几何意义求解切线斜率,根据切线斜率等于切点到原点的斜率列式求解即可.【详解】由 lnf xx得 1fxx,由曲线 lnf xx在 xt处的切线l 过原点,得切线斜率ln010tktt,所以te,1ke,所以切线l 的方程为1yxe,即0 xey.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题.6.直线 ya与函数()tan(0)4f xx的图

5、象的相邻两个交点的距离为2，若 f x 在,0m mm上是增函数，则m 的取值范围是（）A.(0,4 B.(0,2 C.3(0,4 D.3(0,2【答案】B【解析】【分析】根据直线 ya与函数 f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12，则 1tan 24f xx，然后求得其单调增区间，再根据 f x 在,0m mm上是增函数，由(,)m m是增区间的子集求解.【详解】因为直线 ya与函数 f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12，1tan 24f xx，由12242kxk，得322()22kxkkZ，所以 f x 在3,22 上是增函数，由3(,),22m m ，解

6、得02m.故选：B【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题 7.已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 20f xfx，则下列结论错误的是（）A.f x 的图象关于点1,0 对称 B.2f xf x C.31fxf x D.2f xf x【答案】C【解析】【分析】根据函数的性质满足的解析式判断 A.再根据奇偶函数分别代换分析 BCD 即可.【详解】由 20f xfx得 f x 的图象关于点1,0 对称,选项 A 正确；用 x代换 20f xfx中的 x,得20fxfx,所以 2f xfxf x,选项 B 正确；用1x 代换 20f xfx中的 x,得31f

7、xf x,选项 C 错误；用2x 代换 2f xf x中的 x,得 2f xf x,选项 D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,同时也考查了知识点：若函数 f x 关于点,a b 对称,则 22f xfaxb.属于中档题.8.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，则 ABC的面积222221()42abcSab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则 ABC的面积为（）A.2 B.2 2 C.6 D.2 3 【答案】A【解析】【分析】根据cos3cos0aBb

8、cA，利用正弦定理边化为角得sincoscossin3sincos0ABABCA，整理为sin1 3cos0CA，根据sin0C，得1cos3A ，再 由 余 弦 定 理 得3bc，又222 2abc，代 入 公 式222221()42cbaSbc求解.【详解】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA，即sin3sincos0ABCA，即sin1 3cos0CA，因为sin0C，所以1cos3A ，由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc，由 ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc 故选：A【点睛】本题主要考

9、查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知单位向量a，b 满足|3ab，若 acrr，bcrr共线，则|c 的最小值为（）A.3 B.1 C.32 D.12【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算,数形结合分析即可.【详 解】设 OAa,OBb,OCc,由 单 位 向 量 a,b 满 足|3ab,得|1OAOB,120AOB,由acrr,bcrr共线,得CA,CB 共线,所以点C 在直线 AB 上,所以当OCAB时|c 取得最小值 12.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及数形结合求解向量中最值的问题,属于基础题.10.已知14a，5ln 4

10、b，c 满足122logcc，则下列关系正确的是（）A.abc B.cab C.acb D.bca【答案】B【解析】【分析】根据1412122log 4，11220log 1，可得 114c，构造函数 ln11f xxxx，利用导数研究其单调性，比较,a b 的大小.【详解】由1412122log 4，11220log 1，可得 114c，构造函数 ln11f xxxx，则 110fxx，所以 f x 在1,)上是减函数，所以 514ff，解得51ln 44.所以cab 故选：B【点睛】本题主要考查对数，指数比较大小，还考查了构造函数用导数法研究单调性问题，属于中档题.11.已知函数()sin

11、()(0)f xx，若存在实数a，使得 112f af a，且 f x 在,1a a 上有最小值，没有最大值，则 f x 在0,2019 上的零点个数最少为（）A.1344 B.1345 C.1346 D.1347【答案】B【解析】【分析】由题 112f af a 与 f x 在,1a a 上有最小值,没有最大值,根据三角函数的性质分析可得3T,再结合三角函数的性质可知当 00f时 f x 在0,2019 上的零点个数再计算即可.【详解】由 112f af a,且 f x 在,1a a 上有最小值,没有最大值,不妨令52()6akkZ,(1)2()6akkZ,两式相减得23,所以 f x 的最

12、小正周期23T,2()sin 3f xx,当 00f时,即k时,f x 在0,2019 上的零点个数最少为 20192 1 13453 .故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要数形结合根据函数的性质求解对应的周期与相位等.属于中档题.12.设 x 表示不超过 x 的最大整数，若 1ln3xf xex的最小值为M，则M（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】求导得 113xfxex,根据零点存在定理可知存在031,2x,使得00fx,继而可知0Mf x,在利用极值点满足的关系式代换分析可得01M 即可求得.【详解】由 1ln3xf xex得 113xfxe

13、x,fx在0,上为增函数,且 11103fe,33223121202333fee.所以存在031,2x,使得00fx,所以00113xex,易得 f x 在00,x上是减函数,0,x 上是增函数,所以0000011lnln3xMf xexxx.设 1lng xxx,则 g x 在31,2 上是减函数,且 11g,323ln0232g .所以01M0M.故选：B【点睛】本题主要考查了函数新定义与求导分析函数的最值以及隐零点的问题,同时也考查了零点存在性定理的运用.属于中档题.第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若23122,2()2,2xxxf xx，且 2f a，则a

14、_【答案】2 2或 6【解析】【分析】根据分段函数的定义域，分2a，2a，两种情况讨论求解.【详解】若2a，由 232f aa，得28a，所以2 2a（舍去）或2 2a ，若2a，由12222a，得6a.故答案为：2 2或 6【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了分类讨论的思想和运算求解问题的能力，属于基础题.14.tan67.5tan22.5 _.【答案】2【解析】【分析】利用正切的差角公式可知 tantantan()(1 tantan),再代入计算即可.【详解】由tantantan()1 tantan 可得 tantantan()(1 tantan),故tan67.5tan 22.

15、5tan 45(1tan67.5 tan 22.51 22.故答案为：2【点睛】本题主要考查了正切函数的差角公式运用,属于中档题.15.如图所示的平面直角坐标系中，网格小正方形的边长为 1，若向量a，b，c 满足 cxayb，且0kabc，则 xyk _.【答案】95【解析】【分析】根据题意利用平面向量的坐标表示分别计算,x y k 即可.【详解】结合图形得1,2a r,3,1b r,4,4c,由 cxayb得3424xyxy 解得85x,45y,125xy,由0kabc 得0ka c b c ,即12160k,所以43k,所以95xyk.故答案为：95【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标线性

16、运算,属于基础题.16.在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，若 cos2 cosbCcB，且2c，则 ABC面积的最大值为_【答案】3【解析】【分析】根据 cos2 cosbCcB，利用正弦定理得sincos2cossinBCBC，再利用两角和的正弦，有sin3cossinABC，再根据2c，表示：2sinsinAaC，2sinsinBbC，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.【详解】由 cos2 cosbCcB得sincos2cossinBCBC，所以sinsin()sincoscossin3cossinABCBCBCBC，由2c 可得2sinsinsinabCAB，所

17、以2sinsinAaC，2sinsinBbC，所以211 4sinsinsinsinsin2sin22sinsinABCABAabCCBCSC6sincos3sin23BBB 当4B时，ABC面积取得最大值 3.【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.17.已知 sin(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示 1 写出 A，的值(直接写出结果)；2 若 cos2g xf xx，求 g x 在 0,4上的值域【答案】（1）2A，2，3；（2）30,12【解析】【分析】（1）由()f x

18、的部分图象直接可求得 A，T，和 的值；（2）由()f x 求得()g x 的解析式，化为正弦型函数，再求()g x 在 0,4上的值域【详解】解：（1）由 sinf xAx 的部分图象知，3532,46124AT，解得T；22T；令2 122x，解得3；（2）由（1）知，()2sin 2sin 23 cos23f xxxx；所以213(1 cos4)3()sin 2 cos23 cos 2sin 4sin 42232xg xxxxxx；当0,4x时，44333x，所以3sin123x，所以30()12g x，即函数()g x 在 0,4上的值域为30,12【点睛】本题考查了三角函数的图象与性

19、质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题 18.已知定义域为,00,I 的函数 f x 满足对任意12,00,x x ，都有 1212f x xf xf x（1）求证：f x 是偶函数；（2）设1x 时 0f x，求证：f x 在0,上是减函数；求不等式12f xfx解集【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析,1|1113x xxx 或或【解析】【分析】（1）函数性质先计算(1)0,(1)0ff，令12,1xx x 即可证明（2）设120 xx，则121xx 由1122xxxx通过性质可得出12()()f xf x即可证明由 f x 是偶函数原不等式可得 12fxfx，再利用函数

20、在0,上是减函数求解即可.【详解】（1）取121xx 得 1 111fff，即 10f，取121xx 得 1110fff，即10f，取1xx，21x 得 1fxf xff x，即 f x 是偶函数（2）设120 xx，则121xx，由1x 时，0f x 得120 xfx，则 11122222xxf xfxf xff xxx，即 f x 在0,上为减函数，由 f x 是偶函数且在0,上是减函数，则不等式12f xfx等价为 12fxfx，即102012xxxx 得221012xxxx ，得2013210 xxxx 且得01113xxxx 且或，即1x 或 113x 或1x，即不等式的解集为1|1

21、113x xxx 或或.【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性，单调性证明，利用偶函数及单调性解不等式，属于难题.19.已知 ABC中，2sinsincossin2BACC.（1）求角 A的大小；（2）若2ABAC，点 D边 BC 上，且2BDDC，22AD，求 AB.【答案】（1）4；（2）3【解析】【分析】(1)根据三角形内角和与正弦的和角公式化简即可.(2)画图,设 ACt,则2ABt,在 AB 上取一点 E,使得2BEEA,再在 ADE中利用余弦定理列式求解即可.【详解】（1）由2sinsincossin2BACC,得2sin()sincossin2ACACC,即2sincoscoss

22、insincossin2ACACACC,即2cossinsin2ACC,因为0C,sin0C,所以2cos2A,所以4A.（2）如图,设 ACt,则2ABt,在 AB 上取一点 E,使得2BEEA,连接 DE,则 DEAC.在 ADE中,34AEDBAC,1233tAEAB,2233tDEAC,由余弦定理得2222cosADAEDEAE DEAED,即22244422229992ttt ,所以32t,23ABt.【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了正弦的和角公式.需要根据题意分析边角关系利用公式求解.属于中档题.20.已知函数2()2(1)4xf xa xexx.（1

23、）讨论 f x 的单调性；（2）若2x 时 2f x，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2(1,e【解析】【分析】(1)求导可得()2(2)(1)xfxxae,再分0a 与0a 两种情况分析函数的极值点与单调性即可.(2)根据(1)中的结论,分0a,2ae与20ae三种情况分别分析 f x 的最小值,并求解对应的a 的取值范围即可.【详解】（1）因为2()2(1)4xf xa xexx,所以()2(2)(24)2(2)(1)xxfxa xexxae,当0a 时,10 xae ,所以,2x 时 0fx,2,x 时 0fx,故 f x 在,2 上是增函数,在2,上是减函数.当0a,

24、由 0fx得2x 或lnxa,当ln2a ,即2ae时,0fx,f x 在,上是增函数.当2ae时，2ln a ,f x 在,ln a,2,上是增函数,在ln,2a上是减函数.当20ae时,2ln a ,f x 在,2,ln,a 上是增函数,在2,ln a上是减函数.综上可得,0a 时 f x 在,2 上是增函数,在2,上是减函数；2ae时，f x 在,上是增函数；当2ae时，f x 在,ln a,2,上是增函数,在ln,a 上是减函数；20ae时 f x 在,2,ln,a 上是增函数,在2,ln a上是减函数.（2）由（1）知,0a 时 020fa,所以当2x 时 2f x 不恒成立；当2a

25、e时 f x 在2,上是增函数,由 2f x 得22f,即2242ae,解得2ae,所以2ae；当20ae时 f x 在2,ln a上是减函数,在ln,a 上是增函数,所以2x 时 lnf xfa,由2(ln)(ln)2ln22faaa 得2ln2ln0aa,所以0ln2a,21ae,综上可得,21ae,即a 的取值范围是2(1,e.【点睛】本题主要考查了利用导数解决含参函数的单调性问题,同时也考查了根据函数的最值与范围求解参数范围的问题,需要根据题意分情况求函数的最值,再解不等式分析.属于难题.21.中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求

26、，扎实推进社会主义新农村建设，2018 年 4 月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界,AB BC CD DE AE 以及对角线 BE 均为绿化区小路（不考虑宽度），120BCDCDEBAE ，100 3BCCDm,400DEm.（1）求四边形 BCDE 的面积；（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.【答案】（1）600007500 3（m2）（2）9001600 33（m）【解析】【分析】（1）连接 BD，分别求 BCD和 BDE的面

27、积，即可求解；（2）由（1）知,BC CD DE 边长为定值，则在 ABE中，可知500BEm，根据余弦定理和基本不等式，求解 ABAE的范围，即可求解.【详解】（1）连接 BDBCD，的面积211sin7500 32SBC CDBCDm.在 BCD中，由余弦定理得2222cos90000BDBCCDBC CDBCD，300BDm=.又 BCCD，BCCD，30CBDCDB，又120CDE，90BDE，BDE的面积221SBD DE600002m.四边形 BCDE 的面积2600007500 3Sm；（2）由已知及（1）可知，100 3400BCCDmDEm，22500BEBDDEm，可知要使

28、绿化区所有小路长度之和取最大值，应使 ABAE最大，在 BAE中，由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEBAE，即222250000)ABAEAB AEABAEAB AE(.2221344ABAEABAEABAE，1000 33ABAEm，当且仅当500 33ABAEm时取等号.此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为1600 39003m.【点睛】本题考查余弦定理解三角形的应用，以及三角形面积公式，考查计算能力，属于中等题型.22.已知函数2()ln(1 2)()f xxaxa x aR.（1）求 f x 的极值；（2）若1a ，正数,m n 满足()()(2)(2)f mf nmn

29、，求证：2mn.【答案】（1）当0a 时，没有极值；当0a 时，极大值11 ln24aa ，没有极小值；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)求导可得(1)(21)()(0)xaxfxxx,再分0a 与0a 两种情况求解函数的单调区间与极值即可.(2)代入条件整理后可得2()()3ln4mnmnmnmn,设0tmn t,再构造函数()3ln4(0)g tttt,分析()g t 的单调性求得最值,进而证明1()ln3563g tg ,再代入2()()3ln4mnmnmnmn解二次不等式即可.【详解】（1）因为2()ln(1 2)f xxaxa x,所以22(21)11(1)(21)()21 2(

30、0)axaxxaxfxaxaxxxx ,当0a 时,0fx,f x 在0,上是增函数,f x 没有极值；当0a 时,若12xa,则 0fx,若102xa,则 0fx,所以 f x 在10,2a 上是增函数,在1,2a 上是减函数,所以 f x 的极大值是111 ln 224faaa ,f x 没有极小值.综上可得,当0a 时 f x 没有极值；当0a 时 f x 的极大值是111 ln 224faaa ,f x 没有极小值.（2）若1a ,则 2ln3f xxxx,由()()(2)(2)f mf nmn得22ln(3()2()4mnmnmnmnmn 即2()()3ln4mnmnmnmn,设0tmn t,()3ln4(0)g tttt,则131()3tg ttt,所以 g t 在10,3上是减函数,在 1,3上是增函数,1()ln3563g tg ,所以2()()6mnmn,2mn.【点睛】本题主要考查了含参函数的极值讨论问题以及.利用导数分析函数的单调性,并构造函数证明不等式的问题.属于难题.