2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第5章第2讲 平面向量的数量积及应用（考题帮-数学理） WORD版含解析.docx

1、第二讲平面向量的数量积及应用题组1数量积的定义及长度、角度问题1.2016全国卷,3,5分已知向量BA=(12,32),BC=(32,12),则ABC=()A.30B.45C.60D.1202.2016山东,8,5分理已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4 B.-4 C.94 D.-943.2015安徽,8,5分理ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b)BC4.2015福建,9,5分理已知ABAC,|AB|=1t,|AC|

2、=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.215.2015重庆,6,5分理若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4 B.2 C.34D.6.2017全国卷,13,5分理已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.7.2017山东,12,5分理已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.8.2017天津,13,5分理在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE

3、=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.9.2016浙江,15,4分已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1,若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.题组2平面向量的综合应用10.2017全国卷,12,5分理已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-32 C.-43 D.-111.2017 浙江,10,4分理 如图5-2-1,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OAOB,I2=OBOC,I3=OCOD,则 ()图5-2-1A.I1I2I3 B

4、.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I312.2015 山东,4,5分理已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2D.32a213.2015新课标全国,5,5分理已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20,则y0的取值范围是()A.(-33,33) B.(-36,36) C.(-223,223)D.(-233,233)14.2015湖南,8,5分理已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6

5、 B.7 C.8 D.915.2014天津,8,5分理已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若AEAF=1,CECF=-23,则+=()A.12 B.23 C.56 D.71216.2015 广东,16,12分理在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(22,-22),n=(sin x,cos x),x(0,2).(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.A组基础题1.2018郑州一中高三入学测试,7ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2AO=AB+AC,且|OA|=|AB|,则向量CA在向量CB方向上的投影为

6、()A.12 B.-32 C.-12 D.322.2017长沙市五月模拟,8已知|a|=1,a与b的夹角是3,(a+2b)a=3,则|b|的值是()A.3 B.1 C.2 D.23.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,3 在如图5-2-2所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为线段BC上的点,则AEDE的最小值为图5-2-2()A.12 B.15 C.17D.164.2018山西省名校第一次联考,13已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且ab,则|a-2b|=.5.2018广东七校联考,13设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a(a-b),则a与b的夹角是.6.20

7、18合肥市高三调研性检测,14已知a=(2,5t-1),b=(t+1,-1),若|a+b|=|a-b|,则t=.7.2018惠州市第一次调考,15已知正方形ABCD的中心为O,且其边长为1,则(OD-OA)(BA+BC)=.8.2017长春市高三第四次质量监测,14若非零向量a,b满足|a|=2|b|=|a+b|,则向量a与b夹角的余弦值为.B组提升题9.2018河北省衡水市武邑中学高三三调,10已知a,b为平面向量,若a+b与a的夹角为3,a+b与b的夹角为4,则|a|b|=() A.33 B.63 C.53 D.210.2017合肥市高三第三次质量检测,5已知向量a,b满足|a|=2,|b

8、|=1,则下列关系可能成立的是()A.(a-b)aB.(a-b)(a+b)C.(a+b)bD.(a+b)a11.2018辽宁省五校联考,13已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=3,|b|=4,ab=-12,则x1+y1x2+y2=.12.2018湖南省益阳市、湘潭市高三联考,14已知非零向量a,b满足:ab=0,|a+b|=t|a|,若a+b与a-b的夹角为3,则t的值为.13.2017重庆市七校高三联考,14在平面四边形ABCD中,已知AC=(1,3),BD=(m,-3),则四边形ABCD的面积的最大值为.14.2017武汉市五月模拟,16如图5-2-3,在等腰三角

9、形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,A=120,E,F分别是边AB,AC上的点,且AE=AB,AF=AC,其中,(0,1),且+4=1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则|MN|的最小值为.图5-2-315.2017大连市双基测试,17已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B.(1)求角C;(2)向量m=(sin A,cos B),n=(cos x,sin x),若函数f(x)=mn的图象关于直线x=3对称,求角A,B.答案1.A由两向量的夹角公式,可得cosABC=BABC|BA|BC|=1232+321211=

10、32,则ABC=30.故选A.2.B由n(tm+n)可得n(tm+n)=0,即tmn+n2=0,所以t=-n2mn=-n2|m|n|cos=-|n|2|m|n|13=-3|n|m|=-343=-4.故选B.3.D因为AB=2a,AC=2a+b,所以a=12AB,b=AC-AB=BC,因为ABC是边长为2的等边三角形,所以|b|=2,ab=12ABBC=-1,故a,b不垂直,4a+b=2AB+BC=AB+AC,故(4a+b)BC=(AB+AC)BC=-2+2=0,所以(4a+b)BC,故选D.4.A依题意,以点A为坐标原点,以AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立如图D 5-2-3所示的

11、平面直角坐标系,则点P(1,4),B(1t,0),C(0,t),所以PBPC=(1t-1,-4)(-1,t-4)=(1t-1)(-1)-4(t-4)=17-1t-4t17-21t4t=13(当且仅当1t=4t,即t=12时取等号),所以PBPC的最大值为13,故选A.图D 5-2-35.A由条件,得(a-b)(3a+2b)=3a2-2b2-ab=0,即ab=3a2-2b2.又|a|=223|b|,所以ab=3(223|b|)2-2b2=23b2,所以cos=ab|a|b|=23b2223b2=22,所以=4,故选A.6.23易知|a+2b|=|a|2+4ab+4|b|2=4+42112+4=2

12、3.7.33因为(3e1-e2)(e1+e2)|3e1-e2|e1+e2|=3-21+2,故3-21+2=12,解得=33.8.311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.又ABAC=3212=3,所以ADAE=(13AB+23AC)(-AB+AC)=-13AB2+(13-23)ABAC+23AC 2=-3+3(13-23)+234=113-5=-4,则=311.解法二以点A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=AC

13、-AB,得E(-3,3),则ADAE=(53,233)(-3,3)=53(-3)+2333=113-5=-4,则=311.9.7由ab=1,|a|=1,|b|=2可得两向量的夹角为60,建立平面直角坐标系,可设a=(1,0),b=(1,3),e=(cos ,sin ),则|ae|+|be|=|cos |+|cos +3sin |cos |+|cos |+3|sin |=3|sin |+2|cos |7,所以|ae|+|be|的最大值为7.10.B图D 5-2-4如图D 5-2-4,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(-1,

14、0),C(1,0),设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),所以PA(PB+PC) =(-x,3-y)(-2x,-2y)=2x2+2(y-32)2-32,所以当x=0,y=32时,PA(PB+PC)取得最小值,最小值为-32,故选B.11.C如图D 5-2-5所示,图D 5-2-5四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AOAF,而AFB=90,AOB与COD为钝角,AOD与BOC为锐角.根据题意,I1-I2=OAOB-OBOC=OB(OA-OC)=OBCA=|OB|CA|cosAOB0,I1I3,作AGBD于G,又AB=AD,

15、OBBG=GDOD,而OAAF=FCOC,|OA|OB|OC|OD|,而cosAOB=cosCODOCOD,即I1I3.I3I1I2,故选C.12.D在菱形ABCD中,BA=CD,BD=BA+BC,所以BDCD=(BA+BC)CD=BACD+BCCD=a2+aacos60=a2+12a2=32a2.故选D.13.A由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1MF2=x02-3+y02=3y02-10,所以-33y033,故选A.14.B解法一因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,

16、故PA+PC=2PO=(-4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|2|PO|+|PB|,又|PB|PO|+1=3,所以|PA+PB+PC|4+3=7,故其最大值为7,故选B.解法二因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,不妨设A(cos x,sin x),B(cos(x+),sin(x+)(k,kZ),C(-cos x,-sinx),PA+PB+PC=(cos(x+)-6,sin(x+),|PA+PB+PC|=cos(x+)-62+sin2(x+)=37-12cos(x+)7,故选B.15. C如图D 5-2-6所示,图D 5-2-6以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面

17、直角坐标系xOy,不妨设A(0,-1),B(-3,0),C(0,1),D(3,0),由题意得CE=(1-)CB=(3-3,-1),CF=(1-)CD=(3-3, -1).因为CECF=-23,所以3(-1)(1-)+(-1)(-1)=-23,即(-1)(-1)=13.因为AE=AC+CE=(3-3,+1),AF=AC+CF=(3-3,+1),AEAF=1,所以(+1)(+1)=2.由(-1)(-1)=13,(+1)(+1)=2,整理得+=56.故选C.16.(1)因为mn,所以mn=0.故22sin x-22cos x=0,所以tan x=1.(2)因为m与n的夹角为3,所以cos=mn|m|

18、n|=22sinx-22cosx11=12,故sin(x-4)=12.又x(0,2),所以x-4(-4,4),所以x-4=6,即x=512,故x的值为512.A组基础题1.D依题意知,圆心O为BC的中点,即BC是ABC的外接圆的直径,ACAB.又AO=OB=AB=1,因此ABC=60,ACB=30,|CA|=3,CA在CB方向上的投影为|CA|cos 30=332=32,故选D.2.D(a+2b)a=a2+2ab=1+2112|b|=3,解得|b|=2,故选D.3.B以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图D 5-2-7所示的平面直角坐标系,则A(0,4),D(2,4)

19、,设E(x,0)(0x2),所以AEDE=(x,-4)(x-2,-4)=x2-2x+16=(x-1)2+15,于是当x=1,即E为BC的中点时,AEDE取得最小值15,故选B.图D 5-2-74.45由a=(6,-2),b=(1,m),且ab,得6-2m=0,所以m=3,所以a-2b=(4,-8),所以|a-2b|=16+64=80=45.5.60因为a(a-b),所以a(a-b)=0,故|a|2-|a|b|cos=0,解得cos=12,故a与b的夹角为60.6.1因为a=(2,5t-1),b=(t+1,-1),所以a+b=(t+3,5t-2),a-b=(1-t,5t),因为|a+b|=|a-

20、b|,所以(t+3)2+(5t-2)2=(1-t)2+(5t)2,解得t=1.7.1(OD-OA)(BA+BC)=ADBD=12cos 45=1.8.-14设向量a与b的夹角为,由题意得|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab,则2ab+|b|2=0,即2|a|b|cos =-|b|2,故cos =-14.图D 5-2-8B组提升题9.B如图D 5-2-8所示,在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,AC=a+b,BAC=3,DAC=4,所以在ABC中,由正弦定理得|a|b|=sin 4sin 3=63.故选B.10.C|a|=2,|b|=1,设向量a,b的夹角为,若(a-b)a

21、,则(a-b)a=a2-ab=4-2cos =0,解得cos =2,显然不存在,故A不成立;若(a-b)(a+b),则(a-b)(a+b)=a2-b2=4-1=30,故B不成立;若(a+b)b,则(a+b)b=b2+ab=1+2cos =0,解得cos =-12,即=23,故C成立;若(a+b)a,则(a+b)a=a2+ab=4+2cos =0,解得cos =-2,显然不存在,故D不成立.故选C.11.-34因为|a|=3,|b|=4,ab=-12,所以向量a,b的夹角为180,即a=-34b,又a=(x1,y1),b=(x2,y2),所以x1+y1x2+y2=-34.12.233因为非零向量

22、a,b满足ab=0,所以(a-b)2=(a+b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a+b|=|a-b|=t|a|.因为a+b与a-b的夹角为3,所以(a+b)(a-b)|a+b|a-b|=cos3.整理,得|a|2-|b|2t2|a|2=12.即(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,两边平方,得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+(2-t2)|a|22=t2|a|2,解得t2=43.由题意,得t0,所以t=233.13.15设AC与BD相交于点O,设B,D到AC的距离分别为dB,dD,则S四边形ABCD=12|AC|dB+12|AC|d

23、D=12|AC|(dB+dD)12|AC|BD|=1210m2+9,当四边形ABCD的面积最大时,ACBD=1m+3(-3)=0,得m=9,则S四边形ABCD=15.14.77连接AM,AN,由ABAC=|AB|AC|cos23=-12,AM=12(AE+AF)=12(AB+AC),AN=12(AB+AC),MN=AN-AM=12(1-)AB+12(1-)AC,|MN|2=14(1-)2-(1-)(1-)+(1-)2=14(1-)2-14(1-)(1-)+14(1-)2,由+4=11-=4,可得|MN|2=2142-32+14,(0,1),当=17时,|MN|2取最小值17,|MN|的最小值为

24、77,|MN|的最小值为77.15.(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B, 由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=-12.0C,C=23.(2)解法一f(x)=mn=sin Acos x+cos Bsin x=Msin(x+),其中M=sin2A+cos2B,tan =sinAcosB.f(x)的图象关于直线x=3对称,3+=k+2,kZ,=k+6,kZ, sinAcosB=tan =33,即cos B=3sin A.由(1)得B=3-A,cos(3-A)=3sin A,得tan A=33,A=B=6.解法二f(x)=mn=sin Acos x+cos Bsin x.f(x)的图象关于直线x=3对称,f(0)=f(23),即sin A=-12sin A+32cos B,3sin A=3cos B.由(1)得B=3-A,3sin A=3cos(3-A),得tan A=33, A=B=6.