2019版高考数学（江苏版）一轮配套讲义：.docx

1、11.2直接证明与间接证明考纲解读考点来源:Z_xx_k.Com内容解读来源:学科网要求来源:学|科|网Z|X|X|K来源:学科网ZXXK来源:Z+xx+k.Com来源:学#科#网来源:学*科*网Z*X*X*K五年高考统计来源:学科网ZXXK来源:Z#xx#k.Com来源:Z_xx_k.Com常考题型来源:学科网预测热度来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.Com201320142015201620171.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题分析解读本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识

2、相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一直接证明1.(2013广东理,19,14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,2Snn=an+1-13n2-n-23,nN*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+1an74.解析(1)依题意,得2S1=a2-13-1-23,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n2时,2Sn=nan+1-13n3-n2-23n,2Sn-1=(n-1)an-13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-13(3n2-3n+1)-(2n-1)-23,

3、整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即an+1n+1-ann=1,又a22-a11=1,故数列ann是首项为a11=1,公差为1的等差数列,所以ann=1+(n-1)1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,1a1=174;当n=2时,1a1+1a2=1+14=5474;当n3时,1an=1n21(n-1)n=1n-1-1n,此时1a1+1a2+1an=1+14+132+142+1n21+14+12-13+13-14+1n-1-1n=1+14+12-1n=74-1n74.综上,对一切正整数n,有1a1+1a2+1an-1)的最小值;(2)证明:nr+1-(n-1)r+1r+1

4、nr(n+1)r+1-nr+1r+1;(3)设xR,记x为不小于x的最小整数,例如2=2,=4,-32=-1.令S=381+382+383+3125,求S的值.(参考数据:8043344.7,8143350.5,12443618.3,12643631.7)解析(1)因为f (x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)(1+x)r-1,令f (x)=0,解得x=0.当-1x0时, f (x)0时, f (x)0,所以f(x)在(0,+)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x(-1,+)时,有f(x)f(0)=0,即(1+x)r+11+(

5、r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x-1且x0时,有(1+x)r+11+(r+1)x.在中,令x=1n(这时x-1且x0),得1+1nr+11+r+1n.上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1nr+1+nr(r+1),即nr1时,在中令x=-1n(这时x-1且x0),类似可得nrnr+1-(n-1)r+1r+1.且当n=1时,也成立.综合,得nr+1-(n-1)r+1r+1nr(n+1)r+1-nr+1r+1.(3)在中,令r=13,n分别取值81,82,83,125,得34(8143-8043)38134(8243-8143),34(8243-8143)38234(8343-82

6、43),34(8343-8243)38334(8443-8343),34(12543-12443)312534(12643-12543).将以上各式相加,并整理得34(12543-8043)S0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a0),所以g(x)=ex-m.当m1时,g(x)=ex-me0-m0,g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)g(0)=1,此时函数无零点.当m1时,令g(x)=ex-m=0,得x=ln m,当x(0,ln m)时,g(x)0,g(x)在(ln m,+)上单调递增.故g(x)min=g(ln m)=m-mln m=m(1-ln m).当1m0,此时

7、函数无零点,当m=e时,g(x)min=0,此时函数有1个零点.当me时,g(ln m)0,故函数在(0,ln m)上有唯一零点.g(2ln m)=e2ln m-m2ln m=m2-2mln m=m(m-2ln m),令(m)=m-2ln m(me),则(m)=1-2m0,所以(m)在(e,+)上单调递增,(m)e-20,故g(2ln m)0,故函数在(ln m,+)上有唯一零点,此时函数有两个零点.综上,当me时,函数有2个零点.(2)f(a)+f(b)2f(b)-f(a)b-a.要证f(a)+f(b)2f(b)-f(a)b-a,只要证ea+eb2eb-eab-a.只要证b-a2eb-eae

8、a+eb=eb-a-1eb-a+1=1-2eb-a+1,令h(x)=x2+2ex+1-1(x0),所以h(x)=12-2ex(ex+1)2=(ex-1)22(ex+1)20,所以h(x)在(0,+)上单调递增,故h(x)0,所以b-a2+2eb-a+1-10,故原不等式成立.2. (2017江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=tan x,x0,2,若x1,x20,2,且x1x2,求证:12f(x1)+f(x2)fx1+x22.证明要证12f(x1)+f(x2)fx1+x22,即证明12(tan x1+tan x2)tan x1+x22,只需证明12sin x1cos x1+sin x2cos

9、x2tan x1+x22,只需证明sin(x1+x2)2cos x1cos x2sin(x1+x2)1+cos(x1+x2).由于x1,x20,2,故x1+x2(0,).所以cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0.故只需证明1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2,即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2.即证cos(x1-x2)fx1+x22.考点二间接证明3.(2016江苏无锡期中)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有

10、一个大于1”的条件是.答案4.(苏教选22,二,2,9,变式)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=12an,所以an是首项为1,公比为12的等比数列,所以an=12n-1.(2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,rN*),则212q=12p+12r,所以22r-q=2r-p+1.(*)又因为pqr,且p,q,r

11、N*,所以r-q,r-pN*.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.5.(2017江苏苏中三校联考)若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由题设得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间1,b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2-b+32=b,解得b=1或b=3.因为b1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间a,b(a-2)上是“四维光军”函数

12、,因为h(x)=1x+2在区间(-2,+)上单调递减,所以有h(a)=b,h(b)=a,即1a+2=b,1b+2=a,解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b(a-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数.B组20162018年模拟提升题组(满分:15分时间:10分钟)解答题(共15分)(2017江苏射阳中学质检)各项均为正数的等比数列an,a1=1,a2a4=16,bn的各项均为正数,前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=bn2+3bn+2(nN*).(1)求数列an、bn的通项公式;(2)令cn=bnan(nN*),求使得cn1的所有n的值,并说明理由;(3)证明

13、an中任意三项不可能构成等差数列.解析(1)设an的公比为q,则q0.a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,q=2,an=2n-1,b3=a4=8.6Sn=bn2+3bn+2,当n2时,6Sn-1=bn-12+3bn-1+2,-得6bn=bn2-bn-12+3bn-3bn-1(n2),即(bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1)(n2),bn0,bn-bn-1=3,bn是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=b12+3b1+2,解得b1=1或b1=2,当b1=1时,bn=3n-2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=2时,bn=3n-1,此时b3=8=a4,bn=3n

14、-1.(2)bn=3n-1,cn=bnan=3n-12n-1,c1=21,c2=521,c3=21,c4=1181,c5=781,下面证明当n5时,cn1.事实上,当n5时,cn+1-cn=3n+22n-3n-12n-1=4-3n2n0,即cn+1cn,c5=781,当n5时,cn1的所有n的值为1,2,3,4.(3)证明:假设an中存在三项p,q,r(pqe;(3)若对任意的x(0,1,不等式f(x)g(x)a(x-1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)因为y=f(x)g(x)=lnxex,所以y=1x-lnxex,当x=1时,y=1e,y=0.所以曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切

15、线方程为y=1e(x-1),即x-ey-1=0.(2)证明:由g(x1)-g(x2)=f(x2)-f(x1)得g(x1)+f(x1)=g(x2)+f(x2).记p(x)=g(x)+f(x)=ln x+ex,则x(0,+),且p(x)=ex-xxex.假设e.若0,则p(x)0,所以p(x)在(0,+)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1x2矛盾.若0x0时,r(x)0,r(x)在(x0,+)上为单调增函数;当0xx0时,r(x)e.(3)由f(x)g(x)a(x-1)得ln x-aex(x-1)0.记F(x)=ln x-aex(x-1),00,所以F(x)0,所以F(x)在(0,1上为单调增函数,所以F(x)F(1)=0,故原不等式恒成立.当a1e时,一方面,F(1)=1-ae0.另一方面,x1=1ae0.所以x0(x1,1),使F(x0)=0,所以当x0x1时,F(x)F(1)=0,不合题意.综上,a1e.