2020-2021学年高中数学 第六章 立体几何初步 3.docx

1、3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)课后篇巩固提升基础达标练1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则EFG与ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EFA1B1AB,FGBC1,所以EFG与ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故EFG与ABC1互补.答案B2.(多选)下列命题中错误的是()A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面内,又在平面内,则平面和平面重合D.四条边都相等的四边形

2、是平面图形解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当A,B,C,D四点共线时,这两个平面可以是相交的,故C错误;四边都相等的四边形可以是空间四边形,故D错误.答案ACD3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直解析如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EFAC,GHAC,所以EFGH,故选C.答案C4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异

3、面直线的一个图是.(填序号)解析根据异面直线的定义可得.答案5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是.解析连接GB1,B1F,则GB1A1E,故B1GF或其补角即为A1E与GF所成的角,B1G=C1B12+C1G2=12+12=2,B1F=B1B2+BF2=22+12=5,GF=CG2+CB2+BF2=3,所以B1G2+FG2=B1F2,所以B1GF=90.答案906.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证

4、:四边形EFGH是平行四边形.解在PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,所以EFAB,EF=12AB,同理GHDC,GH=12DC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD,AB=CD.所以EFGH,EF=GH.所以四边形EFGH是平行四边形.能力提升练1.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析如图所示,过点P作直线ll,以l为轴,与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.答案A2.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.MN12(AC+BD)B.MN12(AC+

5、BD)C.MN=12(AC+BD)D.MNMN,所以MN12(AC+BD).答案D3.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论正确的为.(填序号)解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD,只有正确.答案4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1EBF;(2)B1BF=D1EA1.证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EMA1B1.因为

6、A1B1=C1D1,且A1B1C1D1,所以EM=C1D1,且EMC1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形.所以D1EC1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MBC1F.所以BFC1M,所以D1EBF.(2)由(1)知,ED1BF,BB1EA1.因为B1BF与D1EA1的对应边方向相同,所以B1BF=D1EA1.素养培优练(2019安徽合肥期中)如图,正方体ABCD-ABCD有12条棱,选取其中6条棱,每条棱上取一点,使这6个点正好成为正八面体的6个顶点(注:正八面体共有6个顶点).比如从点A出发,来进行构建.在与点A相邻的三条棱上分别取一点,使其到点A的距离都为棱长的四分之三,

7、得到3个点:E,F,G.同理,对与点A相对的点C进行类似的操作,得到另外3个点:E,F,G.如图所示,显然,位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=EF=FG=GE.从正方体内部穿过的线段也有六条:EF,EG,FE,FG,GE,GF.这样一共得到12条线段,它们就是所要构建的正八面体的12条棱.通过计算它们的长度全都相等,即构建的是正八面体.在此正八面体中EF与FG所成角的余弦值是.解析因为EFFE,所以EFG是此正八面体中EF与FG所成角(或所成角的补角),因为位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=EF=FG=GE.所以EF=GF=EG,所以EFG=60,所以此正八面体中EF与FG所成角的余弦值为cosEFG=cos60=12.答案12