2020高考数学课标二轮（天津专用）思想方法训练4　转化与化归思想 WORD版含解析.docx

1、思想方法训练4转化与化归思想思想方法训练第8页一、能力突破训练1.已知M=(x,y)|y=x+a,N=(x,y)|x2+y2=2,且MN=,则实数a的取值范围是()A.a2B.a2或a-2D.-2a2答案:C解析:MN=等价于方程组y=x+a,x2+y2=2无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0.由题易知关于x的一元二次方程无实根,即=(2a)2-42(a2-2)2或a-2.2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.-1,1B.-22,22C.-32,32D.-62,62答案:D解析:

2、由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于32,即|b|232,解得-62b62.3.已知P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,4,则点P横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.-1,0C.0,1D.12,1答案:A解析:设P(x0,y0),倾斜角为,则0tan1.设y=f(x)=x2+2x+3,则f(x)=2x+2,02x0+21,-1x0-12,故选A.4.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos ,sin )到直线x-my-2=0的距离.当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:设P(x,y),则x=cos,y=sin

3、,x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+|-2|1+m2=1+21+m2.当m=0时,dmax=3.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR),则不等式f(x)2x+1的解集为()A.(1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)答案:A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F(x)=f(x)-21时,F(x)0,不等式f(x)2x+1的解集为(1,+),故选A.6.(2019天津3月九

4、校联考)已知f(x)=x2+1(x0),4xcosx-1(x0,4cosx,x0,4cosx,x0,则函数h(x)的图象与直线y=k在区间-2,3上有4个交点,函数h(x)的图象如图所示.由图可得k22,113.故选D.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案:(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d=|c|122+52=|c|13,0|c|0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2

5、-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)0f(x2-ax+a)-f(3)f(x2-ax+a)f(-3)x2-ax+a-3对任意实数x恒成立,即=a2-4(a+3)0-2a6,故实数a的取值范围是(-2,6).59.若对于任意t1,2,函数g(x)=x3+m2+2x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.解:g(x)=x3+m2+2x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,g(x)=3x2+(m+4)x-2在区间(t,3)内有零点.由3x2+(m+4)x-2=0可知此方程两根之和为负数,即一个正根,一个负根.又y=3x2+(m+4)x-2图象的开口

6、向上,3t2+(m+4)t-20.由332+3(m+4)-20,可得m-373.由关于t的不等式3t2+(m+4)t-20在区间1,2上恒成立,即m+42t-3t在区间1,2上恒成立,解得m+4-5,即m-9.故-373m-9.10.(2019天津南开区一模)已知函数f(x)=ln x-ax+a,g(x)=x-1ex.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)0恒成立,证明:当0x1x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2g(x)-1e2.(1)解f(x)=1-axx,x0.若a0,f(x)0,f(x)在(0,+)内单调递增;若a0,当x0,1a时,f(x)0,f(x)单调递增;当x1a,+

7、时,f(x)1,当x1a,1时,f(x)单调递减,f(x)f(1)=0,不符合题意.若0af(1)=0.不符合题意.若a=1,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)内单调递减,f(x)f(1)=0,符合题意.故a=1,且lnxx-1(当且仅当x=1时取“=”).当0x1x2时,f(x2)-f(x1)=lnx2x1-(x2-x1)x2x1-1-(x2-x1)=1x1-1(x2-x1),所以f(x1)-f(x2)x1-x20,g(x)单调递增;当x(2,+)时,g(x)1-1e2.即(f(x)-1)(g(x)-1)1-1e2,f(x)(g(x)-1)g(x)-1e2.二、思维提升训练11.已

8、知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点.若点A(-1,0),则|PF|PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.233答案: B解析:显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.|PF|PA|=|PB|PA|=sinPAB.设过点A的直线AC与抛物线切于点C,则00,则y02=4x0,又y0x0+1=1x0,解得x0=1,y0=2,C(1,2),|AC|=22.sinBAC=222=22,|PF|PA|的最小值为22.故选B.12.设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点

9、P,使(OP+OF2)F2P=0,O为坐标原点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心率为()A.3+1B.3+12C.6+2D.6+22答案:A解析:如图,取F2P的中点M,则OP+OF2=2OM.又由已知得2OMF2P=0,即OMF2P=0,OMF2P.又OM为F2F1P的中位线,F1PPF2.在PF1F2中,2a=|PF1|-|PF2|=(3-1)|PF2|.由勾股定理,得2c=2|PF2|.e=23-1=3+1.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间0,1上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.答案:3,+)解析:由题意知关于x的方程x2-ax+2=0在区间0,1上有实数解.

10、又易知x=0不是关于x的方程x2-ax+2=0的解,所以根据0x1可将方程x2-ax+2=0变形为a=x2+2x=x+2x.从而将问题转化为求函数g(x)=x+2x(0x1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1上单调递减,所以g(x)3,+).故所求实数a的取值范围是a3.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若xR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是.答案:(-4,0)解析:将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解.g(x)=2x-20,x1.又xR,f(x)0或g(x)0,1,+)是f(x)0的解集的子集.又由f(x)=m(x-

11、2m)(x+m+3)0知m不可能大于等于0,因此m0.当m0时,f(x)0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)-m-3,即-1m0,此时f(x)2m或x-m-3,依题意2m1,即-1m0;若2m-m-3,即m-1,此时f(x)0的解集为x|x-m-3,依题意-m-3-4,即-4m-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4m0).(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间.(2)若g(x)=f(x)+2a2-2x,在区间(0,e上是否存在x0,使g(x0)0?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)当a=1时,f(x)=x+2x+lnx.f(x)=(x+2)(

12、x-1)x2,且x(0,+),当x(0,1)时,f(x)0,f(x)=x+2x+lnx有极小值f(1)=3.故函数f(x)=x+2x+lnx的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+),极小值为3,无极大值.(2)g(x)=f(x)+2a2-2x=x+2a2x+alnx(a0),g(x)=(x+2a)(x-a)x2.a0,当x(0,a)时,g(x)0,x=a为函数的唯一极小值点.又x(0,e,当0ae时,g(x)min=g(a)=a+2a+alna=a(3+lna).在区间(0,e上若存在x0,使g(x0)0,则g(x)min=a(3+lna)0,解得0ae时,g(x)=x+2a2x+alnx(a0)在区间(0,e上单调递减,g(x)min=g(e)=e+2a2e+a0,所以不存在x0(0,e,使g(x0)0.综上所述,在区间(0,e上存在x0使g(x0)0,此时0a1e3.