2021-2022学年高中数学 第二章 函数 2.docx

1、5简单的幂函数课后篇巩固提升A组基础巩固1.下列函数为幂函数的是()y=kx5(k0);y=x2+x-2;y=x2;y=(x-2)3.A.B.C.D.解析:形如y=x(是常数)才是幂函数,根据这一定义可知,只有y=x2是幂函数,故选D.答案:D2.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-B.C.D.-解析:依题意b=0,且2a=-(a-1),a=,则a+b=.答案:B3.若函数y=(k2-k-5)x2是幂函数,则实数k的值是()A.k=3B.k=-2C.k=3或k=-2D.k3,且k-2解析:由题意,得k2-k-5=1,即k2-k-6=0,解得k=-

2、2或k=3,故选C.答案:C4.已知函数f(x)是-5,5上的偶函数,f(x)在0,5上具有单调性,且f(-3)f(-1),则下列不等式一定成立的是()A.f(-1)f(3)B.f(2)f(3)C.f(-3)f(1)解析:由于函数f(x)是-5,5上的偶函数,因此f(x)=f(|x|),于是f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),则f(3)f(1).又f(x)在0,5上具有单调性,从而函数f(x)在0,5上是减少的,观察各选项,并注意到f(x)=f(|x|),只有D正确.答案:D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减少的,且f(3)=0,则使f(x)0的x的取值范围为()A

3、.(-3,0)(3,+)B.(3,+)C.(-,3)(3,+)D.(-3,3)解析:由已知可得f(-3)=f(3)=0,结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图所示).由图像可知f(x)0时,x的取值范围是(-3,3).答案:D6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2+x+1,则f(1)=.解析:f(x)是R上的奇函数,f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+(-1)+1=-2.答案:-27.若函数f(x)=4x2+bx-1是偶函数,则实数b=.解析:由已知得f(-x)=f(x)对任意xR恒成立,即4(-x)2-bx-1=4x2+bx-1,于是bx=-b

4、x,故b=0.答案:08.若函数f(x)=为奇函数,则a=.解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即=-,显然x0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.答案:-19.已知函数f(x)=(2m-3)xm+1是幂函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)的奇偶性.解:(1)因为f(x)是幂函数,所以2m-3=1,即m=2.(2)由(1)得f(x)=x3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.10.(拓展探究)已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.(1)求m;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)函数f(x

5、)在(1,+)上是增加的还是减少的?请说明理由.解:(1)因为f(1)=2,所以1+m=2,即m=1.(2)由(1)知f(x)=x+,显然函数定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,又f(-x)=(-x)+=-x-=-=-f(x),所以,函数f(x)=x+是奇函数.(3)函数f(x)在(1,+)上是增加的.设x1,x2是(1,+)上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=x1-x2+=x1-x2-=(x1-x2),当1x11,x1x2-10,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x+在(1,+)上为增加的.B组能力提升1.已知f(x)

6、=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4解析:设g(x)=ax7-bx5+cx3,则g(x)在R上为奇函数,f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2.g(5)=2-m.f(5)=g(5)+2=4-m.f(5)+f(-5)=4-m+m=4.答案:A2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.4解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x)

7、,得m-2=0,即m=2.答案:B3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减少的,且f(-2)=0,如图所示,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,2)解析:由图可得在(-,0)上,f(x)0的解集为(-2,0.因为f(x)为偶函数,所以x的取值范围为(-2,2).答案:D4.已知偶函数f(x)在区间0,+)上是增加的,则满足f(2x-1)f的x的取值范围是()A.B.C.D.解析:作出示意图如图所示.由图可知,f(2x-1)f,则-2x-1,即x.答案:A5.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(tZ)是偶函数,且

8、在(0,+)上是增加的,则函数的解析式为.解析:f(x)是幂函数,t3-t+1=1,解得t=-1或t=0或t=1.当t=0时,f(x)=是非奇非偶函数,不满足题意;当t=1时,f(x)=是偶函数,但在(0,+)上是减少的,不满足题意;当t=-1时,f(x)=x2,满足题意.综上所述,实数t的值为-1,所求解析式为f(x)=x2.答案:f(x)=x26.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+t,则f(-2)=.解析:因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即-02+t=0,解得t=-1.所以f(x)=-x2+-1.所以f(2)=-22+-1=-.又函数f(x)为

9、R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=.答案:7.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.解:由f(x)+g(x)=x2+x-2,得f(-x)+g(-x)=x2-x-2.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(x)-g(x)=x2-x-2.+得2f(x)=2x2-4,f(x)=x2-2.-得2g(x)=2x,g(x)=x.8.已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5,求a,b,c的值.解:因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)=-f(x),故=-,即=-,所以-bx+c=-(bx+c),即c=-c,解得c=0.所以f(x)=.而f(1)=3,所以a+1=3b.由f(2)=5,即=5.解组成的方程组,得