52、阿基米德折弦定理的四种常规证法.pdf

1、阿基米德折弦定理的四种常见证法Justin 深圳平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。问题：已知 M 为弧 A

2、C 的中点，B 为弧 AM 上任意一点，且 MDBC 于 D.求证：AB+BD=DC证法一：(补短法)如图：延长 DB 至 F，使 BF=BAM 为的中点AM=MC,MAC=MCA-又,MC=MAMBC=MAC-又MBC+MBF=180-由 M,B,A,C 四点共圆MCA+MBA=180-由可得：MBA=MBF在MBF 与MBA 中：MBMBMBFMBABABFMBF MBA(SAS)MF=MA,又MC=MAMF=MC又MDCFDF=DCFB+BD=DC又BF=BAAB+BD=DC（证毕）证法二：（截长法）如图：在 CD 上截取 DB=DGMDBGMB=MGMBG=MGB-又，MBG=MAC又

3、MAC=MCA(已证)，MBG=MCA-由可得MGB=MCA=BCA+MCG而MGB=GMC+MCGGMC=BCA又,BMA=BCABMA=GMC,在MBA 与MGC 中MCMAGMCBMAMGMBBMA GMC(SAS)AB=GC,AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)证法三：（翻折）如图：连接 MB,MC,MA,AC,将BAM 沿 BM 翻折，使点 A 落至点 E，连接 ME,BEMBA 与MBE 关于 BM 对称，所以MBEMBAMA=ME,MBA=MBE-又MA=MC,ME=MC,又M,B,A,C 四点共圆，MBA+MCA=180-又MA=MC(已证)MAC=MCA又，MBC

4、=MACMBC=MCA-由得:MBC+MBE=180E,B,C 三点共线。又ME=MC,MDCEDE=DC,EB+BD=DC,又MBEMBA AB=EB AB+BD=DC(证毕)证法四：如图，连接 MB,MA,MC,AC,延长 AB,过点 M 作 MHAB 于点 H,M 为的中点AM=MC,又,HAM=DCM又MHA=MDC=90在MHA 与MDC 中MAMCDCMHAMMDCMHAMHAMDC(AAS)CD=AH-MD=MH在 RTMHB 与 RTMDB 中MBMBMDMHMDBMHB(HL)BD=BH又AH=AB+BH,AH=AB+BD-由可得 DC=AB+BD(证毕)反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。本题就是一个很好的例子。对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”，“对称变换”等方法。在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。