2021年高考数学高分秘籍立体几何含解析202103241132.docx

1、立体几何1 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【答案】C【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥底面半径均为3，高均为4，则其表面积：S=32+35+212=28故选：C对于体积或表面积问题，一般先根据三视图准确还原几何体，再利用常规的几何体的体积公式或表面积公式求解.2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A163B203C169D209【答案】B【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图：棱锥的

2、高为2，底面正方形的边长为2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2，高为2所以几何体的体积为：13222+12222=203故选：B求解几何体的表面积或体积的方法：(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用3已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为22，则这个四棱锥的外接球的体积为（）A163B323C16D32【答案】B【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=2AB=4，AO

3、=CO=2，在直角三角形PAO中，PO=PA2-AO2=(22)2-22=2，正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=2，球的体积V=43r3=323.故选：B解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系4如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO面EFD（1）求BD的长；（2）求证：面EFD面BCED；（3）求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面

4、角的余弦值【解答】解：（1）取ED的中点P，连接PO，PF，则PO为梯形BCED的中位线，PO=BD+CE2=BD+32，又POBD，AFBD，所以POAF，所以A，O，P，F四点共面，因为AO面EFD，且面AOPF面EFD=PF，所以AOPF，所以四边形AOPF为平行四边形，PO=AF=2，所以BD=1.证明：（2）由题意可知平面ABC面BCED，又AOBC，且AO平面ABC，所以AO面BCED，因为AOPF，所以PF面BCED，又PF面EFD，所以面EFD面BCED解：（3）以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，3，0），B（1，0，0），C（

5、1，0，0）P（0，0，2），E（1，0，3），F（0，3，2）.设Q为AC的中点，则Q（12，32，0），由题意得BQ平面ACEF，平面ACEF的法向量为BQ=（32，32，0）.设平面DEF的法向量为n=（x，y，z），PE=（1，0，1），PF=（0，3，0），则&nPF=3y=0&nPE=x+z=0，取x=1，得n=（1，0，1），所以cosBQ，n=BQn|BQ|n|=64，所以平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值为64利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断

6、所求角是锐角还是钝角注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论平面与平面的夹角计算公式设平面，的法向量分别为=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面，的夹角为(0)，则|cos |=|cos，v|.1若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为433，则其表面积为（）A6+43 B6C34+23 D34+3【答案】A【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：3r，该几何

7、体的体积为433，可得：1213r23r=433，解得r=2，半圆锥的表面积为：1222+12423+121244=6+43故选：A此类问题对考生的空间想象能力要求较高，会根据三视图作出空间几何体的直观图，然后根据条件结合表面积公式求得空间几何体的表面积，画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等.圆锥的表面积.2已知三棱锥PABC所有顶点都在球O的球面上，底面ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=22，PA=PB=PC=3，则球O的表面积为（）A9B94C4D【答案】A【解答】解析：设AB中点为D，则D为ABC的外心，因为PA=PB=PC=3，易证PD面ABC，所以球心O在直线PD上，又PA

8、=3，AB=22，算得PD=1，设球半径为R，则AOD中，（R1）2+2=R2，可得：R=32则球O的表面积S=4R2=9，故选：A对于空间几何体的外接球问题，首先根据几何体的结构特征利用勾股定理求得球的半径，然后利用公式求解，球的表面积公式，体积公式.3如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解答】（I）证明：A1A平面ABC，B1B平面ABC，AA1BB1，AA1=4，BB1=2，AB=2，A1B1=(AB)

9、2+(AA1-BB1)2=22，又AB1=AB2+BB12=22，=+，AB1A1B1，同理可得：AB1B1C1，又A1B1B1C1=B1，AB1平面A1B1C1（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，AB=BC，OBOC，AB=BC=2，BAC=120，OB=1，OA=OC=3，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，3，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，3，1），AB=（1，3，0），BB1=（0，0，2），AC1=（0，23，1），设平面ABB1的法向量为n=（x，y，z），则&nAB=0&nB

10、B1=0，&x+3y=0&2z=0，令y=1可得n=（3，1，0），cosn，AC1=nAC1|n|AC1|=23213=3913设直线AC1与平面ABB1所成的角为，则sin=|cosn，AC1|=3913直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为3913直线与平面所成角的向量公式：直线的方向向量与平面的法向量分别为和，若与的夹角不大于，直线与平面所成的角等于与夹角的余角，若与的夹角大于，直线与平面所成的角等于与夹角的补角的余角，所以直线与平面所成的角的正弦值为1设m，n，l是三条不同的直线，是一个平面，lm，则下列说法正确的是A. 若m，l，则mB. 若ln，则mnC. 若ln，则mnD.

11、 若mn，n，则l2已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则A. ，且lB. ，且lC. 与相交，且交线垂直于lD. 与相交，且交线平行于l3已知直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=22，若球O的表面积为72，则这个直三棱柱的体积是A16B15C82D834已知三棱锥P-ABC的高为PO，O为垂足，若P到底面ABC三边所在的直线的距离相等，则O（假设O在ABC内部）是ABC的A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A. A1EDC1B. A1EBDC. A1EBC1D

12、. A1EAC6在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为ABCD7如图，P为ABC所在平面外一点，PB，PCAC，则ABC的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）A4 B32 C22 D239中国古代第一部数学名著九章算术中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，则三棱锥外接球的表面积为ABCD10如图所示，扇形的半径为2，圆心

13、角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为ABCD11用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的，若原平面图形的面积为，则的长为A2BCD12已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA平面ABCD，PA=2，若在四棱锥P-ABCD的内部有一个半径为R的球，则R的最大值为A2-2B1 C2-1D2313.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是ABCD14如图，是的直径，是圆周上不同于，的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有A4个B3个C2个D1个15已知球O半径为32，设S、A、

14、B、C是球面上四个点，其中ABC=90，AB=BC=42，则棱锥SABC的体积的最大值为（）A6423 B6429C3223D322916已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，底面是边长为3的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为7，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_.17如图，正方形ABCD的边长为3，点E,F分别在边AD,CD上，且AE=DF=2将此正方形沿BE,BF,EF切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为_18如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，

15、C，且ABBC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（）求证；CE平面A1B1C1，（）求证：求二面角B1AC1C的大小19如图，梯形ABCD中，AD=BC，ABCD，ACBD，平面BDEF平面ABCD，EFBD，BEBD（1）求证：平面AFC平面BDFE；（2）若AB=2CD=22，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2（1）求证：EF平面PBC；（2）求二面角FEDP的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点G，使GF平面EDF？若存在

16、，指出点G的位置；若不存在，说明理由21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PABD（）求证：PB=PD；（）若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求点B到平面PCD的距离22如图所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中，且点A为线段SD的中点，现沿AB进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到的图形如图所示，点E、F分别在线段SB、SC上.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求二面角的余弦值.1. 【答案】 A【解析】若lm，ln，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B、C都不正确；由lm，mn，可得ln，不一定有l，即D不正确；对A，可

17、在l上取一点P，过P作mm，则ml，m与l确定一个平面，=a，由l，得la，又m，a，l同在平面内，则由lm，la得ma，于是ma，又m，所以m2.【答案】D【解析】由题意作图得故选D3【答案】A【解析】设球O的半径为r，由题意知S=4r2=72,r=32，因为AB=AC=2，BC=22，易知为等腰直角三角形，故三棱柱的高h=2r2-(12BC)2=8，故这个直三棱柱的体积是V=12228=16.故选A.【名师点睛】对于求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球

18、的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.4.【答案】B【解析】因为P到ABC三边所在直线的距离相等，所以O点到三边的距离相等，所以O为ABC的内心故选B5【答案】C【解析】：连B1C，由题意得BC1B1C，因为A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，所以A1B1BC1，因为A1B1B1C=B1，所以BC1平面A1ECB1，因为A1E平面A1ECB1，所以A1EBC1故选C6【答案】A【解析】画出图形，如图所示连接AD1,B1D1，则AD1/BC1，所以B1AD1即为AB1与BC1所成的角或其补角在B1AD1中，AB1=AD1=6，B1D1=2，所以

19、由余弦定理得cosB1AD1=6+6-426=23，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为23故选A7.【答案】B【解析】由PB，AC得PBAC，又ACPC，PCPB=P，所以AC平面PBC，ACBC，故选B8【答案】D【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥PABCD如图所示，其中，正方体棱长为2，所以最长棱为PC=23故选：D9【答案】D【解析】将三棱锥补全为长方体，如图，则外接球的直径为,所以，故外接球的表面积为.【名师点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问

20、题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解10.【答案】C【解答】解：扇形的半径为2，圆心角为，扇形绕旋转一周，图中阴影部分绕旋转一周所得几何体为：半径为的半球去掉一个底面半径为，高为的圆锥，图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为：故选：C11.【答案】B【解答】解：由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为，设，则直观图的面积为，故选：B12【答案】A【解析】根据题意，当满足R最大时，对应的球是四棱锥的内

21、切球，根据条件可以求得该四棱锥的表面积为S=22+2(1222)+2(12222)=8+42，而该四棱锥的体积为V=13222=83，结合13SR=V，解得R=3838+42=22+2=2-2.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关几何体的内切球半径的求解问题，在解题的过程中，需要时刻关注各个量之间的关系，最关键的就是等量关系从哪里入手来寻找，即V=13S表R是解决该题的根本，注意对题的条件的转化和有效利用.13.【答案】B【解答】解：在中，与的夹角为，直线与平面不垂直，故错误；在中，平面，故正确；在中，与的夹角为，直线与平面不垂直，故错误；在中，平面，故正确故选：B14.【答案】A【解答】证明

22、：是圆的直径即，三角形是直角三角形又圆所在平面，是直角三角形且在这个平面内，因此垂直于平面中两条相交直线，平面，是直角三角形从而，中，直角三角形的个数是：4故选：A15.【答案】A【解答】解：当S在经过AC与球心的连线上时，由于：AC=(42)2+(42)2=8，球心到AC的中点的连线，d=(32)2-42=2，所以：锥体的最大高度为：h=32+2=42，所以：V=1312424242=6423故选：A16【答案】3【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连结OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角.由题易知OP中点为外接球的球心，设三

23、棱柱外接球的半径为r，7=4r2，r2=74，AO2+OP22=74.在正三角形ABC中，AB=BC=AC=3，AO=333=1，PO=3.tanPAO=POAO=3，PAO=3.17【答案】481【解析】如图所示，在长、宽、高分别为1,2,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥B1-ABC即为题中所给的四个面组成的三棱锥，该三棱锥的体积：V=1312123=1，在AB1C中，由勾股定理易得AC=5,AB1=13,CB1=10，由余弦定理可得：cosB1CA=5+10-132510=210，则sinB1CA=1-2102=7210，故SB1CA=125107210=72，该三棱锥的表面

24、积为：S=1212+13+23+72=9，设三棱锥B1-ABC内切球的半径为R,则V=13SR，即：1=139R,R=13，该三棱锥B1-ABC内切球的体积为V=43R3=481.【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18.【解答】（）证明：点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，AA1BB1CC1，取A1B1中点F，连接EF，F

25、C，则EF12A1A，EF=12A1A，AA14，CC1=2，CC112A1A，CC1=12A1A，CC1EF，CC1=EF，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F，CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1；（）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2），AC=（2，2，0），CC1=（0，0，2），AB1=（2，0，4），B1C1=（0，2，2）设平面ACC1的法向量为n=（x，y，z），则&-2x+2y=0&2z=0，令x=1，则n=（1，1，0）同理可得平面AB1C1的法向量为m=（2，1，1），co

26、sn，m=mn|m|n|=32由图可知二面角B1AC1C为钝角，二面角B1AC1C的大小为15019.【解答】解：（1）证明：平面BDFE平面ABCD，平面BDFE平面ABCD=BD，AC平面ABCD，ACBD，AC平面BDFE又AC平面AFC，平面AFC平面BDFE（2）设ACBD=O，四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，AB=2CD=22，OD=OC=1，OB=OA=2，EFOB且EF=OB，四边形FEBO为平行四边形，OFBE，且OF=BE=2，又BE平面ABCD，OF平面ABCD以O为原点，向量OA，OB，OF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0

27、，2，0），D（0，1，0），F（0，0，2），C（1，0，0），DF=（0，1，2），CD=（1，1，0），BF=（0，2，2），设平面DFC的一个法向量为n=（x，y，z），则有&nDF=0&nCD=0，即&y+2z=0&x-y=0，不妨设z=1，得x=y=2即n=（2，2，1），于是cosn，BF=nBF|n|BF|=6223=22设BF与平面DFC所成角为，则sin=|cosn，BF|=22BF与平面DFC所成角的正弦值为2220.【解答】证明：（1）如图，连结AC，四边形ABCD是正方形，AC与BD互相平分，又F是BD中点，F是AC中点，EFPC，又在PAC中，E是PA中点，F是AC

28、中点，EFPC，又EF平面PBC，PC平面PBC，EF平面PBC解：（2）取AD中点O，在PAD中，PA=PD，POAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PO平面ABCD，OF平面ABCD，POOF，F是AC的中点，OFAD，如图，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴，|OA|为单位长度建立空间直角坐标系，PA=PD=AD=2，OP=3，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（1，2，0），D（1，0，0），P（0，0，3），E（12，0，32），F（0，1，0），AB=（0，2，0），DE=（32，0，32），DF=（1，1，0），OF平

29、面PAD，OF=（0，1，0）是平面PAD的一个法向量，设平面EFD的一个法向量是n=（x，y，z），则&nDF=x+y=0&nDE=32x+32y=0，取x=1，得n=（1，1，3），|cosDF，n|=|OFn|OF|n|=15=55，二面角FEDP的正弦值为：1-(55)2=255（3）假设在棱PC上存在一点G，使得GF平面EDF，设G（x1，y1，z1），则FG=（x1，y11，z1），由（2）知平面EDF的一个法向量n=（1，1，3），GF平面EDF，设FG=n=（，-，-3），则x1=，y1=1-，z1=-3，点G在棱PC上，CG与PC共线，PC=（1，2，3），CG=（x1+1，

30、y12，z1），x1+2-1=y1-22=z1-3，即1+-2=-12=-3-3，无解，在棱PC上不存在一点G，使得GF平面EDF21.【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO底面ABCD是正方形，ACBD，OB=OD又PABD，PA平面PAC，AC平面PAC，PAAC=A，BD平面PAC，PO平面PAC，BDPO又OB=OD，PB=PD解：（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQCD，EQ=12CD，又AFCD，AF=12AB=12CD，EQAF，EQ=AF，四边形AQEF为平行四边形，EFAQ，EF平面PCD，AQ平面PCD，AQ

31、PD，Q是PD的中点，AP=AD=2AQ平面PCD，AQCD，又ADCD，AQAD=A，CD平面PAD，CDPA又BDPA，BDCD=D，PA平面ABCD以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），P（0，0，2），A（0，0，0），Q（0，22，22），AQ平面PCD，AQ=（0，22，22）为平面PCD的一个法向量PB=（2，0，2），点B到平面PCD的距离：d=|PBAQ|AQ|=112+12=122【解析】（1）因为二面角的大小为，且，平面平面，所以平面，又平面，所以；在直角梯形中，所以，即. 又，所以，即；又，所以平面，因为平面，所以.（2）如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设三棱锥的高为，因为，所以，故，故为中点，即.设平面的法向量为，又，由得取，得平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.