2021新高考2版物理一轮教师用书：专题3　天体运动的常见模型 WORD版含答案.docx

1、专题 3 天体运动的常见模型 考点一 双星及多星模型 1.模型特征(1)多星系统的条件:各星彼此相距较近,离其他星体很远(忽略其他星体的影响);各星绕同一圆心做匀速圆周运动。(2)双星及多星模型示例 类型 双星模型 三星模型 四星模型 结构图 向心力 来源 两星之间的万有引力提供各星做匀速圆周运动的向心力,故两星的向心力大小相等 每颗星运行所需的向心力都由其余星对其的万有引力的合力提供 运动参量 各星转动的周期、角速度相等 2.解题思路 例(多选)(2018 课标,20,6分)2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约 100 s

2、时,它们相距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 答案 BC 本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得 =m1 r1,G =m2 r2,且 T=,两颗星的周期及角速度相同,即 T1=T2=T,1=2=,两颗星的轨道半径 r1+r2=L,解得 =,m1+m2=,因为 未知,故 m1与 m2之积不能求出,则选项 A 错误,B 正确。各自的自转角速度不可求,选项 D 错误。速率

3、之和 v1+v2=r1+r2=L,故 C 项正确。考向 1 宇宙双星模型 1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示,某双星系统中 A、B 两颗天体绕 O 点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比 rArB=12,则两颗天体的()A.质量之比 mAmB=21 B.角速度之比 AB=12 C.线速度大小之比 vAvB=21 D.向心力大小之比 FAFB=21 答案 A A、B 绕 O 点做匀速圆周运动,它们的角速度相等、周期相等,两者之间的万有引力提供向心力,F=mA2rA=mB2rB,所以 mAmB=21,选

4、项 A 正确,B、D错误;由 v=r 可知,线速度大小之比 vAvB=12,选项 C 错误。考向 2 宇宙三星模型 2.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图):一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为 M,并设两种系统的运动周期相同,引力常量为 G,则()A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期 T=4R

5、C.三角形三星系统中星体间的距离 L=R D.三角形三星系统的线速度大小为 答案 BC 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同,方向相反,选项 A错误;对直线三星系统由牛顿第二定律有 G +G =M R,解得 T=4R ,选项B 正确;对三角形三星系统由牛顿第二定律得 2G cos 30=M ,解得L=R,选项 C 正确;三角形三星系统的线速度大小为v=()=,选项 D 错误。考向 3 宇宙四星模型 3.(2019 湖南湖北八市二调)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m,半径均为 R,四颗星稳定分

6、布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于四星系统,下列说法错误的是(忽略星体自转)()A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B.四颗星的轨道半径均为 C.四颗星表面的重力加速度均为 G D.四颗星的周期均为 2a 答案 B 任一星体在其他三个星体的万有引力作用下,围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,故 A 正确;四颗星的轨道半径 r=a,故 B 错误;根据万有引力等于重力有 G =mg,则 g=,故 C 正确;根据万有引力提供向心力有G +2G cos45=m a(),解得 T=2a ,故 D 正确。考点二“黑洞”模型 暗物质和黑洞是当前宇宙探测的热点,对于暗

7、物质和黑洞的相关问题,可以依据万有引力定律和天体运动规律进行解答。1.(2019 吉林长春四模)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 点整,全球六地(比利时布鲁塞尔、智利圣地亚哥、中国上海和台北、日本东京和美国华盛顿)同步召开全球新闻发布会。“事件视界望远镜”Event Horizon Telescope)发布了位于超巨椭圆星系 M87 星系中心的黑洞照片,引起了全球对黑洞的关注。若宇宙中有一半径约 45 km 的黑洞,其质量 M 和半径 R 的关系满足 2GM=c2R(其中 G 为引力常量;c 为光速,大小为 3108 m/s),则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A.108 m/

8、s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2 答案 C 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为 m 物体有 G =mg,又有 =,联立解得 g=,代入数据得重力加速度的数量级为 1012 m/s2,故 C 正确,A、B、D 错误。2.(多选)(2019 湖南长沙期末)暗物质是二十一世纪物理学之谜,对该问题的研究可能带来一场物理学的革命。为了探测暗物质,我国在 2015 年 12 月 17 日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动,经过时间

9、 t(t 小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为 弧度),引力常量为 G,则下列说法中正确的是()A.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度 B.“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度 C.“悟空”的环绕周期为 D.“悟空”的质量为 答案 BC“悟空”的线速度小于第一宇宙速度,A 错误。向心加速度 a=,因 r 悟空a 同,B 正确。由=,得“悟空”的环绕周期 T=,C 项正确。由题给条件不能求出“悟空”的质量,D 错误。A 组 基础过关 1.(2019 河北冀州月考)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研

10、究发现,双星系统演化过程中,两颗星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两颗星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化后,两颗星总质量变为原来的 k 倍,两颗星之间的距离变为原来的 n 倍,则此时圆周运动的周期为()A.T B.T C.T D.T 答案 B 双星系统中两恒星的位置如图所示,设两恒星的质量分别为 M1和 M2,轨道半径分别为 r1和 r2。根据两恒星间的万有引力提供它们做匀速圆周运动的向心力,可得 =M1()r1=M2()r2,解得 =()r1+r2),即 总 =(),当两星的总质量变为原来的 k 倍,它们之间的距离变为原来的 n 倍时,有 总 =(),联立两式可得

11、T=T,故 B 项正确。2.2016 年 2 月 11 日,科学家宣布“激光干涉引力波天文台 LIGO”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号,这是在爱因斯坦提出引力波概念 100 周年后,引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中,由于彼此间的强大引力作用,会形成短时间的双星系统。如图所示,黑洞 A、B 可视为质点,它们围绕连线上 O 点做匀速圆周运动,且 AO 大于 BO,不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是()A.黑洞 A 的向心力大于 B 的向心力 B.黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度 C.黑洞 A 的质量大于 B 的质量 D.两黑洞之间的距离越大,A 的周期越小 答案 B 双星

12、靠相互间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,A 对 B的作用力与 B 对 A 的作用力大小相等,方向相反,则黑洞 A 的向心力等于 B 的向心力,故 A 错误;双星具有相同的角速度,由题可知 A 的半径比较大,根据 v=r 可知,黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度,故 B 正确;在匀速转动时的向心力大小关系为mA2rA=mB2rB,由于 A 的半径比较大,所以 A 的质量小,故 C 错误;由mA2rA=mB2rB,rA+rB=L,得 rA=,L 为二者之间的距离,双星靠相互间的万有引力提供向心力,所以得 G =mA ,即 T2=,则两黑洞之间的距离越小,A 的周期越小,故 D 错误。

13、3.如图,拉格朗日点 L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点 L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以 a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是()A.a2a3a1 B.a2a1a3 C.a3a1a2 D.a3a2a1 答案 D 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计,表明地球同步卫星距离月球要比空间站距离月球更远,则地球同步卫星轨道半径 r3、空间站轨道半径 r1、月球轨道半径 r2之间的关系为 r2r1r3,由 =ma 知,a3=

14、,a2=,所以 a3a2;由题意知空间站与月球周期相等,由 ma=m()r 知,a1=()r1,a2=()r2,所以 a2a1。因此a3a2a1,D 正确。4.(2019 重庆西南名校联盟)2019 年 2 月 14 日,中国科学技术大学潘建伟教授领衔的“墨子号”量子科学实验卫星科研团队被授予“2018 年度克利夫兰奖”,以表彰该团队实现千公里级的星地双向量子纠缠分发。已知“墨子号”卫星最后定轨在离地面 500 km 的圆轨道上,地球的半径为 6 400 km,同步卫星距离地面的高度约为 36 000 km,G=6.6710-11 Nm2/kg2,地球表面的重力加速度 g=9.8 m/s2,忽

15、略地球自转。下列说法正确的是()A.“墨子号”卫星的线速度小于地球同步通信卫星的线速度 B.“墨子号”卫星的向心加速度与地面的重力加速度相同 C.由以上数据不能算出地球的质量 D.由以上数据可以算出“墨子号”环绕地球运行的线速度大小 答案 D 根据 v=可知,“墨子号”卫星的线速度大于地球同步通信卫星的线速度,故 A 错误;根据 a=可知“墨予号”卫星的向心加速度小于地面的重力加速度,故 B 错误;根据 G =m()r,知道同步卫星的周期 T=24 h、半径 r=h+R,可求解地球的质量,故 C 错误;根据 v=,由 C 可知可算得地球的质量 M,又“墨子号”卫星的轨道半径 r=R+h,可求解

16、“墨子号”环绕地球运行的线速度大小,故 D 正确。5.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小相等 D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零 答案 C 双星系统做匀速圆周运动的角速度 相等,选项 B 错误。两个天体之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项 C 正确。由万有引力定律及牛顿运动定律得 G =m12r1=m22r2,其中 r1+r2=L,故r1=L,r2=L,则 =,故质量大的天体线速度小,故 A 错误。若在圆心处放一个质量为

17、 m 的质点,质量为 m1的天体对它的万有引力 F1=G ,质量为 m2的天体对它的万有引力 F2=G ,由 A 项分析知 m1r1=m2r2,则 F2=G ,显然,F2F1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项 D 错误。6.(2019 湖南岳阳模拟)近日,顶级权威杂志自然刊发了中国科学院院士罗俊团队的最新科研成果,该团队历时 30 年,将 G 值的测量精度提高到了 12 ppm(1 ppm=百万分之一),是目前世界最为精确的 G 值。设最新的 G 值是原来 G 值的 k 倍,下列说法正确的是()A.根据新 G 值和月球绕地球公转的半径 r 和周期 T 计算的地球质量 M 是原来的 B.根

18、据新 G 值、选项 A 中的 M 值和极地 g 值计算的地球半径 R 是原来的 C.根据新 G 值和选项 A 中的 M 值计算的地球同步卫星的轨道半径是原来的 k 倍 D.根据选项 B 中的 R 值和极地 g 值计算的地球第一宇宙速度是原来的 倍 答案 A 月球绕地球运动,根据万有引力提供向心力得 =m1 r,M=,最新的 G 值是原来 G 值的 k 倍,根据新 G 值和月球绕地球公转的半径 r 和周期 T 计算的地球质量 M 将是原来的 ,故 A 正确;根据在地球表面附近万有引力等于重力得 =m2g,R=,所以根据新 G 值选项 A中的 M值和极地 g值计算的地球半径不变,故 B 错误;根据

19、万有引力提供卫星向心力得 =m3 r,r=,所以根据新 G值和选项 A 中的 M 值计算的地球同步卫星的轨道半径不变,故 C 错误;地球第一宇宙速度 v=,所以根据选项 B 中 R 值和极地 g 值计算的地球第一宇宙速度不变,故 D 错误。7.(多选)2018 年 5 月 25 日 21 时 46 分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继卫星成功实施近月制动,进入月球至地月拉格朗日 L2点的转移轨道。当“鹊桥号”位于拉格朗日点(如图中的 L1、L2、L3、L4、L5所示,人们称为地月系统拉格朗日点)上时,会在月球与地球的共同引力作用下,几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动,下列说法正确

20、的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)()A.“鹊桥号”位于 L2点时,其绕地球运动的周期和月球的自转周期相等 B.“鹊桥号”位于 L2点时,其绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度 C.L3和 L2到地球中心的距离相等 D.“鹊桥号”在 L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大 答案 ABD“鹊桥号”位于 L2点时,由于“鹊桥号”与月球同步绕地球做圆周运动,所以“鹊桥号”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等,又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期,故选项 A 正确;“鹊桥号”位于 L2点时,由于“鹊桥号”与月球绕地球做圆周运动的周期相同,“鹊桥号”的轨

21、道半径大,根据公式 a=r 分析可知,“鹊桥号”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度,故选项 B 正确;如果 L3和 L2到地球中心的距离相等,则“鹊桥号”在L2点受到月球与地球引力的合力更大,加速度更大,所以周期更短,故 L2到地球中心的距离大于 L3到地球中心的距离,选项 C 错误;在 5 个点中,L2点离地球最远,所以在 L2点“鹊桥号”所受合力最大,故选项 D 正确。8.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”,具有导航、定位等功能。如图所示,北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速圆周运动,且轨道半径均为 r,某时刻工作卫星 1、2 分别位于轨道上的 A、B 两个位置,

22、若两卫星均沿顺时针方向运行,地球表面的重力加速度为 g,地球半径为 R,不计卫星间的相互作用力,下列判断错误的是()A.这两颗卫星的加速度大小相等,均为 B.卫星 1 由 A 位置运动到 B 位置所需的时间是 C.卫星 1 由 A 位置运动到 B 位置的过程中万有引力不做功 D.卫星 1 向后喷气就一定能够追上卫星 2 答案 D 根据 F 合=ma,对卫星有 G =ma,可得 a=,取地面一物体有 G =mg,联立解得 a=,故 A 正确;根据 G =m()r,得 T=,又 t=T,联立解得t=,故 B 正确;卫星 1 由位置 A 运动到位置 B 的过程中,由于万有引力方向始终与速度方向垂直,

23、故万有引力不做功,C 正确;若卫星 1 向后喷气,则其速度会增大,卫星 1 将做离心运动,所以卫星 1 不可能追上卫星 2,D 错误。9.(多选)宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为 m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行,轨道半径为 r。关于该三星系统的说法正确的是()A.在稳定运行的情况下,大星体提供两小星体做圆周运动的向心力 B.在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧 C.小星体运行的周期为 T=D.大星体运行的周期为 T=答案 BC 在稳定运行的情况下,对某一个环绕星体而言,受到其他两个星体的万有引力,

24、两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力,选项 A 错误;在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧,选项 B 正确;对某一个小星体有 +=,解得小星体运行的周期T=,选项 C 正确;大星体相对静止,选项 D 错误。10.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星做圆周运动,如图甲所示;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为 m

25、,且两种系统中各星间的距离已在图中标出,引力常量为 G,则下列说法中正确的是()A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 4 C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 2 D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 答案 BD 在直线三星系统中,星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有 G +G =m ,解得v=,A 项错误;由周期 T=知,直线三星系统中星体做圆周运动的周期T=4 ,B 项正确。同理,对三角形三星系统中做圆周运动的星体,有2G cos 30=m2 ,解得=,C 项

26、错误;由 2G cos 30=ma得 a=,D 项正确。B 组 能力提升 11.双星系统中两个星体 A、B 的质量都是 m,相距 L,它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0,且 =k(khb)分别以初速度va和 vb沿水平方向抛出,经时间 ta和 tb后落到与两抛出点水平距离相等的 P 点,若不计空气阻力,则()A.tatb,vatb,vavb C.tatb,vavb D.tavb 答案 A 由平抛运动规律可知:h=gt2,x=v0t,根据题中条件,因为 hahb,所以tatb,又因为 xa=xb,故 vavb,所以 A

27、选项正确。7.(多选)2018 年 12 月 8 日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约 110 小时奔月飞行,到达月球附近,成功实施近月制动,顺利完成“太空刹车”,被月球捕获并顺利进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下:“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后,进入地月转移轨道,经过 M 点时变轨进入距离月球表面 100 km 的圆形轨道,在轨道上经过 P 点时再次变轨进入椭圆轨道,之后将择机在 Q 点着陆月球表面。下列说法正确的是()A.“嫦娥四号”沿轨道运行时,在 P 点的加速度大于在 Q 点的加速度 B.“嫦娥四号”沿轨道运行的周期大于沿轨道运行的周期 C.“嫦娥四号”在轨道上的运行速度小于月

28、球的第一宇宙速度 D.“嫦娥四号”在地月转移轨道上 M 点的速度大于在轨道上 M 点的速度 答案 CD 根据牛顿第二定律有 G =ma,得 a=,得“嫦娥四号”探测器沿轨道运行时,在 P 点的加速度小于在 Q 点的加速度,故 A 错误;轨道的半长轴比轨道的半径小,根据开普勒第三定律得“嫦娥四号”在轨道上运行周期比在轨道上小,故 B 错误;月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度,轨道的半径大于月球半径,根据 G =m ,得线速度 v=,可知“嫦娥四号”在轨道上的运行速度比月球的第一宇宙速度小,故 C 正确;“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过 M 点若要进入轨道,需减速,所以在地月

29、转移轨道上经过 M点的速度比在轨道上经过 M 点的速度大,故 D 正确。8.(多选)如图所示,一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道里有一个直径略小于管道内径的小球,小球在管道内做圆周运动,从 B 点脱离后做平抛运动,经过 0.3秒后与倾角为 45的斜面相碰,且速度方向与斜面垂直。已知圆轨道半径为 R=1 m,小球的质量为 m=1 kg,g 取 10 m/s2。则()A.小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 m B.小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 m C.小球经过圆弧轨道的 B 点时,受到轨道的作用力 NB的大小是 1 N D.小球经过圆弧轨道的 B

30、 点时,受到轨道的作用力 NB的大小是 2 N 答案 AC 根据平抛运动的规律,小球在 C 点竖直方向的分速度 vy=gt=3 m/s,水平分速度 vx=vy tan 45=3 m/s,则 B 点与 C 点的水平距离 x=vxt=0.9 m,选项 A 正确,B 错误;根据牛顿运动定律,在 B 点(设轨道对球的作用力方向向下),NB+mg=m ,解得 NB=-1 N,负号表示轨道对球的作用力方向向上,选项 C 正确,D 错误。二、非选择题 9.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P 是一个微粒源,能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为 h 的探测屏 AB 竖直放置

31、,离 P 点的水平距离为 L,上端 A 与 P 点的高度差也为 h。(1)若微粒打在探测屏 AB 的中点,求微粒在空中飞行的时间;(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围;(3)若打在探测屏 A、B 两点的微粒的动能相等,求 L 与 h 的关系。答案(1)(2)L vL (3)L=2 h 解析(1)打在中点的微粒 h=gt2 t=(2)打在 B 点的微粒 v1=;2h=g v1=L 同理,打在 A 点的微粒初速度 v2=L 微粒初速度范围 L vL (3)由能量关系 m +mgh=m +2mgh 联立解得 L=2 h 10.如图所示,细绳一端系着质量 m=0.6 kg 的铁块,静止在水平面上,另

32、一端通过光滑的小孔吊着质量 m=0.3 kg 的木块,铁块的重心与圆孔的水平距离为 0.2 m,并知铁块和水平面间的最大静摩擦力为 2 N。现使此平面绕中心轴线转动,问角速度 在什么范围,木块会处于静止状态。(取 g=10 m/s2)答案 2.9 rad/s6.5 rad/s 解析 要使木块静止,铁块也应与水平面相对静止,而铁块与水平面相对静止时有两个临界状态 当 为所求范围最小值时,铁块有向着圆心运动的趋势,水平面对铁块的静摩擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力 2 N 此时,对铁块运用牛顿第二定律 有 T-fmax=m r,且 T=mg 解得 1=2.9 rad/s 当 为所求范围最大值时,铁块有背离圆心运动的趋势,水平面对铁块的静摩擦力的方向指向圆心,大小还等于最大静摩擦力 2 N 再对铁块运用牛顿第二定律 有 T+fmax=m r,且 T=mg 解得 2=6.5 rad/s 所以,题中所求 的范围是 2.9 rad/s6.5 rad/s