2021新高考数学二轮总复习 题型强化练7 模拟综合练（B）（含解析）.docx

1、题型强化练7模拟综合练(B)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东淄博二模,1)已知集合A=x|1x1,B=x|x-1|2,则AB=()A.(-1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-1,0)(1,3)2.(2020山东聊城一模,3)“a1,3x+1,x1,则当0xf(a)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(a)f(b)f(c)D.f(a)f(c)f(b)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的

2、得0分.9.(2020海南海口高三模拟,11)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如下表所示:所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410.定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=

3、mq-np.下面说法正确的是()A.若a与b共线,则ab=0B.ab=baC.对任意的R,有(a)b=(ab)D.(ab)2+(ab)2=|a|2|b|211.(2020山东聊城一模,11)已知直线l:2kx-2y-kp=0与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A,B两点,点M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是()A.p=2B.k=-2C.|AB|=5D.MAB的面积为5512.已知函数f(x)=x2-2xcos x,则下列关于f(x)的表述不正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个

4、极值点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020北京东城二模,12)已知cos 2=13,则cos22+-2cos2(-)的值为.14.(2020天津和平一模,13)函数f(x)=xln x+a的图象在x=1处的切线被圆C:x2+y2-2x+4y-4=0截得弦长为2,则实数a的值为.15.(2020山东聊城一模,14)若函数f(x)=sin x+cos x在0,a上单调递增,则实数a的取值范围为.16.(2020山东潍坊三模,16)如图1,四边形ABCD是边长为10的菱形,其对角线AC=12,现将ABC沿对角线AC折起,连接BD,形成如图2所示的四面体ABCD,在图2中,

5、设棱AC的中点为M,BD的中点为N,若四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部,则线段MN长度的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=12x2+mx(m0),数列an的前n项和为Sn.点(n,Sn)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-18.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足bn=2an(2an-1)(2an+1-1),记数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn0时,g(x)1-ln22-ln222.题型强化练7模拟综合练(B)1.D解析1x0,解得x1,则A=(-,0)(1,+).|x-1|2,-

6、2x-12,解得-1x3,则B=(-1,3).AB=(-1,0)(1,3).2.B解析因为xR,ax2+1为真命题,又x2+11对xR恒成立,所以“xR,ax2+1为真命题”等价于“a1”,则“a2”不能推出“a1”,反之,“a1”能推出“a2”,所以“a0恒成立,所以函数f(x)=lnx+x-4在(0,+)内单调递增,又f(2)=ln2-20,且函数f(x)图象连续不断,所以函数f(x)存在唯一的零点x0(2,3),故g(x0)=2.5.B解析设“一代”为x年,由题意得企业寿命的频率分布表为家族企业寿命(0,x(x,2x(2x,3x(3x,4x频率54%28%14%4%又因为全球家族企业的平

7、均寿命其实只有26年,所以家族企业的平均寿命为0.540.5x+0.281.5x+0.142.5x+0.043.5x=26,解得x22.6.D解析因为f(x)=(x+1)4,x1,3x+1,x1,则当0x1,故f(f(x)=f(3x+1)=(3x+2)4,而(3x+2)4的展开式共有5项,故其中二项式系数最大值为C42=6.7.A解析设蒲的长度组成等比数列an,其中a1=3,公比为12,其前n项和为An.莞的长度组成等比数列bn,其中b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则An=31-12n1-12,Bn=2n-12-1.由题意可得31-12n1-12=2n-12-1,化为2n+62n=7,解

8、得2n=6,2n=1(舍去).n=lg6lg2=1+lg3lg22.6.估计2.6天蒲、莞长度相等.8.A解析f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),f(x+2e)=f(-x).f(x)的图象关于直线x=e对称.f(x)在区间e,2e上单调递减,f(x)在区间0,e上单调递增.令y=lnxx,则y=1-lnxx2,y=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.b=ln33ln55=c0,a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln960,a0,ac.即0cabf(a)f(c).9.BD解析对于选项A,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟

9、”是互斥而不对立事件,故A错误;对于选项B,线路一所需的平均时间为300.5+400.2+500.2+600.1=39分钟,线路二所需的平均时间为300.3+400.5+500.1+600.1=40分钟,所以线路一比线路二更节省时间,故B正确;对于选项C,线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,故C错误;对于选项D,所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为0.20.1+0.10.1+0.10.1=0.04,故D正确.10.ACD解析若a与b共线,则ab,即

10、mq-np=0,则ab=0,故A正确;由于ab=mq-np,又ba=np-mq,因此ab=-ba,故B不正确;对于C,因为a=(m,n),所以(a)b=mq-np,又(ab)=(mq-np)=mq-np,所以(a)b=(ab).故C正确;对于D,(ab)2+(ab)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.11.ABC解析由题意知,抛物线C的准线为x=-1,即p2=1,解得p=2,故选项A正确;因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),又直线l:2kx-2y-k

11、p=0,即y=k(x-1),所以直线l恒过抛物线的焦点F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线C上,联立方程y12=4x1,y22=4x2,两式相减可得,y1-y2x1-x2=4y1+y2=k,设AB的中点为Q(x0,y0),且2y0=y1+y2,则y0=2k,因为点Q(x0,y0)在直线l上.可得x0=2k2+1,所以点Q2k2+1,2k是以AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知,圆Q的半径r=AB2=x1+x2+22=2x0+22=2k2+2,因为|QM|2=2k2+22+2k+12=r2,所以2k2+22+2k+12=2k2+22,解得k=-2,故选项

12、B正确;因为k=-2,所以弦长|AB|=2r=22k2+2=224+2=5,故选项C正确;因为k=-2,所以直线l为2x+y-2=0,由点到直线的距离公式可得,点M到直线l的距离为d=|-2-1-2|12+22=5,所以SMAB=12d|AB|=1255=552,故选项D错误.12.ABC解析对于A,因为f(x)=x2-2xcosx,f(-x)=x2+2xcosx,所以f(-x)f(x),故A错误;对于B,问题转化为x2+1=2xcosx有解,即x+1x=2cosx(x0)有解,当x0时,x+1xmin=2,当x=1时,2cos12,同理,当x0时,也不满足,故方程无解,故B错误;对于C,问题

13、等价于x=2cosx有三个解,画出y=x,y=2cosx的图象(图略)可知,两图象只有一个交点,故C错误;对于D,f(x)=2x-2(cosx-xsinx)=2x(1+sinx)-2cosx,结合题意2x(1+sinx)-2cosx=0,即x=cosx1+sinx,而cosx1+sinx=cos2x2-sin2x2(cosx2+sinx2)2=tan4-x2,所以f(x)有无数个极值点,故选ABC.13.-1解析由cos2=13,得2cos2-1=13,即cos2=23.所以cos22+-2cos2(-)=sin2-2cos2=1-3cos2=1-323=-1.14.-6或2解析因为f(x)=

14、xlnx+a,所以f(x)=1+lnx,代入切点横坐标x=1,可知切线的斜率k=f(1)=1.又f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以函数f(x)=xlnx+a的图象在x=1处的切线方程为y=x+a-1.由圆C:x2+y2-2x+4y-4=0可得圆心坐标为(1,-2),半径为3,所以圆心到切线的距离d=|2+a|2.因为切线被圆C截得的弦长为2,则|2+a|22+12=32,解得a=-6或a=2.15.0,4解析由题意知,f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,所以-2+2kx+42+2k,kZ,解得-34+2kx4+2k,kZ.令k=0,可得-34x4.所以-34,4为函数f(x

15、)的一个单调递增区间,因为函数f(x)在0,a上单调递增,所以实数a的取值范围为0,4.16.(14,8)解析由四边形ABCD是边长为10的菱形,其对角线AC=12,可得MA=6,MB=8.设O1是ABC的外心,在中线BM中,设过点O1的直线l1平面ABC,易知l1平面BMD.同理O2是ACD的外心,在中线DM上.设过点O2的直线l2平面ABC,易知l2平面BMD,由对称性易知l1、l2的交点O在直线MN上,根据外接球的性质,点O为四面体ABCD的外接球的球心,则O1A2=O1M2+MA2,且O1A+O1M=BM=8,(8-O1M)2=O1M2+36,解得O1M=74.令BMN=,根据题意可知

16、BDCN,BDAN,且CNAN=N,则BD平面ACN,MN平面ACN,则BDMN,02,MN=BMcos=8cos8.cos=MNBM=O1MOM,OMMN=O1MBM=748=14.又OM14,即MN14.综上可得,14MN0,所以m=12,即Sn=12n2+12n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n;当n=1时,a1=1也符合上式,所以数列an的通项公式为an=n.(2)证明由(1)知bn=2an(2an-1)(2an+1-1)=12n-1-12n+1-1,所以Tn=1-13+13-17+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,由题知,12n+1-10,所以Tn1.18.解(1

17、)依题设易知APB为以APB为直角的直角三角形,又已知,AB=2,PAB=,0,2,所以PA=2cos.在PAC中,AC=3,PAC=,由余弦定理得,PC2=PA2+AC2-2PAACcos=4cos2+9-12cos2=9-8cos2.所以PC=9-8cos2,0,2.(2)设四边形ACDP的面积为S,S=SAPC+SPCD=12APACsin+12PC2=122cos3sin+12(9-8cos2)=32sin2+12(5-4cos2)=32sin2-2cos2+52.(方法一)S=32sin2-2cos2+52=94+4sin(2-)+52=52sin(2-)+52,其中cos=35,s

18、in=45,为锐角.因为sin=4532,所以03.又因为02,所以-32-,所以当2-=2时,S最大值为52+52=5.(方法二)设f()=32sin2-2cos2+52,00;当4,0时,22,20,tan2-3cos2,f()0,又因为f()在(0,0)上的图象是连续不断的,所以,函数f()在(0,0)上单调递增.当0,2时,2(20,),tan2-34,所以4sin2-3cos2,f()AB,得0a32,PA=9-6a,所以A(0,0,0),C(a,3-a,0),P(0,0,9-6a),D(0,3,0),所以DC=(a,-a,0),DP=(0,-3,9-6a).设平面PCD的一个法向量

19、为n=(x,y,z),则ax-ay=0,-3y+z9-6a=0,设y=1,则n=1,1,39-6a,又平面CDE的一个法向量m=(0,0,1),依题意,得155=|cos|=|nm|n|m|,所以155=39-6a2+33-2a,解得a=1,即AB的长为1.故存在点B,且AB的长为1.20.解(1)由题知y=3.25x,x(0,228,3.83x-132.24,x(228,348,4.7x-435,x(348,+).(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为,则可取0,1,2,3,则P(=0)=

20、C73C103=724,P(=1)=C72C31C103=2140,P(=2)=C71C32C103=740,P(=3)=C33C103=1120.故的分布列为0123P72421407401120所以E()=0724+12140+2740+31120=910.(3)由题知P(k)=C10k35k2510-k(k=0,1,2,3,10).由C10k(35)k(25)10-kC10k+1(35)k+1(25)10-k-1,C10k(35)k(25)10-kC10k-135k-12510-k+1,解得285k335,kN*,所以当k=6时,概率P(k)最大,所以k=6.21.解(1)若选,设P(x

21、,y),根据题意,(x-3)2+y2|x-433|=32,整理得x24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.若选,设P(x,y),直线l与圆相切于点H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=423=|AB|,由椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以2a=4,2c=|AB|=23,故a=2,c=3,b=1,所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.若选,设P(x,y),S(x,0),T(0,y),则(x)2+(y)2=3(*),因为OP=23OS+13OT,所以x=23x,y=13y,整理得x=32x,y=3y,代入(*)得x24+y2=1,所以动点P的轨迹方程为

22、x24+y2=1.(2)(方法一)设Q(0,y0),当l斜率不存在时,y0=0;当l斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y2=1,消去y并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0.=(8k2)2-4(1+4k2)4(k2-1)=48k2+160恒成立,x1+x2=8k21+4k2,设线段MN的中点为G(x3,y3),则x3=x1+x22=4k21+4k2,y3=k(x3-1)=-k1+4k2.所以线段MN的垂直平分线的方程为y+k1+4k2=-1kx-4k21+4k2.令x=0,得y0=3k1+4k

23、2=31k+4k.当k0时,1k+4k-4,当且仅当k=-12时取等号,所以-34y00时,1k+4k4,当且仅当k=12时取等号,所以00恒成立,y1+y2=-2mm2+4.设线段MN的中点为G(x3,y3),则y3=y1+y22=-mm2+4,x3=my3+1=4m2+4.所以线段MN的垂直平分线的方程为y+mm2+4=-mx-4m2+4.令x=0,得y0=3mm2+4=3m+4m.当m0时,m+4m-4,当且仅当m=-2时取等号,所以-34y00时,m+4m4,当且仅当m=2时取等号,所以0y034;综上,点Q纵坐标的取值范围是-34,34.(方法三)设Q(0,y0),当l斜率不存在时,

24、y0=0.当l斜率存在时,设l斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G(x3,y3),由x124+y12=1,x224+y22=1,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)=0.所以k=y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-2x342y3=-x34y3,线段MN的垂直平分线的方程为y-y3=4y3x3(x-x3),令x=0,得y0=-3y3.由k=-x34y3=y3x3-1,得y32=-14x32+14x3=-14x3-122+116,因为0x31,所以0y32116,则-14y30或0y314,所以-34y00或00恒成立,函数h

25、(x)=(x+x2)ex-1在(1,+)上单调递增.ah(1)=2.实数a的取值范围是(-,2.(2)证明当a=0时,g(x)=exf(x)-x2-x=ex-x2-x.g(x)=ex-2x-1.令u(x)=g(x)=ex-2x-1,则u(x)=ex-2,可得x=ln2时,函数u(x)取得极小值,g(ln2)=u(ln2)=1-2ln20.存在x0ln2,1+12ln2,使得g(x0)=ex0-2x0-1=0,ex0=2x0+1.由单调性可得,当x=x0时,函数g(x)取得极小值,即最小值,g(x)g(x0)=ex0-x02-x0=2x0+1-x02-x0=-x02+x0+1=-x0-122+54.由x0ln2,1+12ln2,可得函数y=g(x0)单调递减,故g(x)g(x0)-1+12ln2-122+541-ln22-ln222.当x0时,g(x)1-ln22-ln222.