2021版新课标名师导学高考第一轮总复习讲义：第33讲　等比数列及其前N项和 WORD版含解析.docx

1、第33讲等比数列及其前n项和【课程要求】1掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等比数列的判断方法3掌握等比数列求和的方法对应学生用书p89【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()答案 (1)

2、(2)(3)(4)(5)(6)2必修5p51例3已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_解析 由题意知q3，q.答案 3必修5p54A组T8在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数的和为_解析 设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327，27381.所以这两个数的和为108.答案 1084已知1，a，b，c，4成等比数列，其中a，b，c为实数，则b_解析 1，a，b，c，4成等比数列，设其公比为q，则b2144，且b1q20，b2，答案 25一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制

3、后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64MB(1MB210KB)解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟)答案 48【知识要点】1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(nN*)3等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数

4、列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.5等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_对应学生用书p90等比数列基本量的运算例1(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_解析 由除以可得2，解得q，

5、代入得a12，an2，Sn4，2n1.答案 2n1(2)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C7 D5解析 由题得a4a78，a4a72，a44，a72或a42，a74，即或或所以a1a108(8)7或a1a101(2)37.答案 A小结1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2等比数列求和公式中，用Sn时，注意前提是q1.1已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.解析 由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(

6、a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.答案 C等比数列的性质例2(1)在各项均为正数的等比数列an中，若a5a114，a6a128，则a8a9_解析 由等比数列的性质得aa5a114，aa6a128，因为数列的各项均为正，所以a82，a92，所以a8a94.答案 4(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60 C32 D50解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9

7、是等比数列，因此S1248163260，故选B.答案 B小结(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(q1)2已知等比数列an，且a6a84，则a8(a42a6a8)的值为()A2 B4 C8 D16解析 a6a84，a8(a42a6a8)a8a42a8a6a(a6a8)216.故选D.答案 D等比数列的判定与证明例3已知数列an和bn满足a1，

8、an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列；(2)证明：当18时，数列bn是等比数列解析 (1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即2492490，矛盾所以对任意实数，an不是等比数列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列小结等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)中

9、项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列 (4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列其中，(1)，(2)是判定等比数列的常用方法，常用于证明，(3)，(4)常用于选择题、填空题中的判定若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可3(2016全国卷理)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解析 (1)由题意得a1S1

10、1a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.等比数列前n项和的最值问题例4在等比数列中，an0，公比q，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列的通项公式；(2)设bnlog2an，数列的前n项和为Sn，当最大时，求n的值解析 (1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q，a3a5，a34，a51，q，a11

11、6，an16，即an25n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1.是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，成立的n的最大值为()A7 B8 C9 D10解析 由3an1an40可得30，即，所以数列是等比数列，又a113，所以a1112，故9，解得1n8(nN*)，所以n的最大值为8.选B.答案 B对应学生用书p911(2019全国卷理)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C4 D2解析 设各项均为正数的等比数列an的公比为q，则解得a3a1q24，故选C.答案 C2(2018全国卷理)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解析 (1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.