2021高考数学理科（全国版）一轮复习教师用书：选修4 - 5不等式选讲 WORD版含解析.docx

1、选修4 - 5不等式选讲1.改编题若a,b,cR,且满足|a - c|c;b+ca;a - cb;|a|+|b|c|.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.42.若不等式|3x - b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为. 3.2018江苏高考改编若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,则x2+y2+z2的最小值为.4.2019浙江,16,4分已知aR,函数f (x)=ax3 - x.若存在tR,使得|f (t+2) - f (t)|23,则实数a的最大值是.5.2017浙江,17,4分已知aR,函数f (x)=|x+4x - a|+a在区间1,4上的最大值是5,则a的

2、取值范围是.6.2020石家庄摸底考试(1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明1a+1b+1c9;(2)已知a,b,c均为正实数,且abc=1,证明a+b+c1a+1b+1c.考法1绝对值不等式的解法12019全国卷,23,10分理已知f (x)=|x - a|x+|x - 2|(x - a).(1)当a=1时,求不等式f (x)0的解集;(2)若x( - ,1)时,f (x)0,求a的取值范围.(1)根据a=1,将原不等式化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)0,分别讨论x1,1x2,x2三种情况,即可求出结果.(2)分别讨论a1和a1两种情况,即可得出结果.(1)

3、当a=1时,原不等式可化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)0.当x1时,原不等式可化为(1 - x)x+(2 - x)(x - 1)0,显然成立,此时解集为( - ,1);当1x2时,原不等式可化为(x - 1)x+(2 - x)(x - 1)0,解得x1,此时解集为;当x2时,原不等式可化为(x - 1)x+(x - 2)(x - 1)0,即(x - 1)20,显然不成立,此时解集为.综上,原不等式的解集为( - ,1).(2)当a1时,因为x( - ,1),所以f (x)0可化为(a - x)x+(2 - x)(x - a)0,显然恒成立,所以a1满足题意.当a1时,f (x

4、)=2(x-a),ax1,2(x-a)(1-x),xa,因为当ax1时,f (x)0显然不成立,所以ax - f (x)恒成立时a的取值范围.(1)把a的值代入已知函数式f (x)去掉绝对值符号求得结论(2)转化已知不等式根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式解不等式,得出a的取值范围(1)由题意得,当a=2021时,f (x)=2x-2021,x2021,2021,xx - f (x)恒成立,知|x+1|+|x - a|2恒成立,即(|x+1|+|x - a|)min2.而|x+1|+|x - a|(x+1) - (x - a)|=|1+a|,(绝对值三角不等式的应用)所以|1+a|2,

5、解得a1或a0时, - 2ax6a,则-2a=-2,6a=6,解得a=1;当a0时,6ax - 2a,所以6a=-2,-2a=6,无解.所以实数a的值为1.(2)由已知得g(x)=f (x)+f (x+3)=|x - 2|+|x+1|,即g(x)=-2x+1(x-1),3(-1x2),2x-1(x2),不等式g(x) - tx2即g(x)tx+2,由题意知y=g(x)的图象有一部分不在直线y=tx+2的上方.作出g(x)的图象,如图1所示.由图得,当t0时,tkBM.易知kAM= - 1,kBM=12,所以t - 1或t12,即t的取值范围为( - , - 112,+).2.2018全国卷,2

6、3,10分理已知f (x)=|x+1| - |ax - 1|.(1)当a=1时,求不等式f (x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f (x)x成立,求a的取值范围.考法3 不等式的证明42017全国卷,23,10分理已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2 - 2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2 - b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)(ab(a+b)24的应用)=2+3(

7、a+b)34,(当且仅当a=b时取等号)所以(a+b)38,因此a+b2.3.2019全国卷,23,10分理已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.考法4利用绝对值三角不等式或基本不等式或数形结合法求最值5 2019湖北、山东部分重点中学联考已知函数f (x)=|x - 1|+|x+1|.(1)解不等式f (x)2;(2)设函数f (x)的最小值为m,若a,b均为正数,且1a+4b=m,求a+b的最小值.(1) f (x)=-2x,x-1,2,-11,x-1,-2x2或-11,2x2. - 1x1

8、.不等式f (x)2的解集为 - 1,1.(2) |x - 1|+|x+1|(x - 1) - (x+1)|=2,m=2.又1a+4b=2,a0,b0,12a+2b=1.a+b=(a+b)(12a+2b)=52+2ab+b2a52+2=92,当且仅当1a+4b=2,b=2a,即a=32,b=3时等号成立.(a+b)min=92.6 2019全国卷,23,10分理设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)213成立,证明:a - 3或a - 1.(1)根据条件x+y+z=1和基本不等式

9、得到(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)243,讨论x,y,z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题,基本不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式,便可得到参数a的取值范围.(1)(x - 1)+(y+1)+(z+1)2=(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x - 1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x - 1)3(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2,因为x+y+z=1,所以(x - 1)+(y+1)+(z+1)2=4.故(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x - 1=y+1=z+1,即x=53,y= - 13,z= -

10、 13时等号成立.所以(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)(x - 2)+(y - 1)+(z - a)2=(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2+2(x - 2)(y - 1)+(y - 1)(z - a)+(z - a)(x - 2)3(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2,故由已知得(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a -

11、3或a - 1.4.2019湖南娄底二模已知函数f (x)=|x+1|+2|x - a|.(1)当a=1时,求不等式f (x)7的解集;(2)已知a - 1,且f (x)的最小值等于3,求实数a的值.1.A由题意得,a - c - b,a - cc,b+ca,都正确,不正确.又|a - c|=|c - a|c| - |a|,|c| - |a|c|.正确.故选A.2.(5,7)由|3x - b|4,得 - 43x - b4,即 - 4+b3x4+b3,因为不等式|3x - b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0 - 4+b31,34+b34,解得4b7,5b8,所以5b7.3.4由柯西不等

12、式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24,当且仅当x1=y2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43.所以x2+y2+z2的最小值为4.4.43f (t+2) - f (t)=a(t+2)3 - (t+2) - (at3 - t)=2a(3t2+6t+4) - 2,因为存在tR,使得|f (t+2) - f (t)|23,所以 - 232a(3t2+6t+4) - 223有解.因为3t2+6t+41,所以23(3t2+6t+4)a43(3t2+6t+4)有解,所以a43(3t2+6t+4)max=43,所

13、以a的最大值为43.5.( - ,92x1,4,x+4x4,5.分类讨论:当a5时,f (x)=a - x - 4x+a=2a - x - 4x,函数f (x)在区间1,4上的最大值为2a - 4=5,a=92,舍去;当a4时,f (x)=x+4x - a+a=x+4x5,此时符合题意;当4a5时,f (x)max=max|4 - a|+a,|5 - a|+a,则|4 - a|+a|5 - a|+a,|4 - a|+a=5或|4 - a|+a|5 - a|+a,|5 - a|+a=5,解得a=92或a92.综上可得,实数a的取值范围是( - ,92.6.(1)因为a+b+c=1,所以1a+1b

14、+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=ba+ca+1+ab+cb+1+ac+bc+1=ba+ab+bc+cb+ac+ca+39,当且仅当a=b=c时等号成立.(2)因为1a+1b+1c=12(1a+1b+1a+1c+1b+1c)12(21ab+21ac+21bc),又abc=1,所以1ab=c,1ac=b,1bc=a,所以1a+1b+1cc+b+a,当且仅当a=b=c时等号成立.1.(1)f (x)7x|2x+1|+|2x - 6|7x,此不等式等价于x - 12, - 2x - 1 - 2x+67x或 - 12x3,2x+1 - 2x+67x或x3,2x+1+2x - 67x,解

15、得x或1x3或x3.综上所述,原不等式的解集为x|x1.(2)因为|2x+1|+2|x - 3|2x+1 - 2x+6|=7,当且仅当(2x+1)(2x - 6)0,即 - 12x3时取等号,所以f (x)的值域为7,+).所以|m|7,即m7或m - 7.所以实数m的取值范围为( - , - 77,+).2.(1)当a=1时,f (x)=|x+1| - |x - 1|,即f (x)= - 2,x - 1,2x, - 1x1的解集为x|x12.(2)当x(0,1)时|x+1| - |ax - 1|x成立等价于当x(0,1)时|ax - 1|0,|ax - 1|1的解集为0x2a,所以2a1,故

16、0a2.综上,a的取值范围为(0,2.【易错警示】本题的易错点有三个:一是零点分区间时,不注意端点值能否取到,导致结果出错;二是不会转化,如本题,不懂得利用x(0,1),把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题;三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题,导致所求的结果出错.3.(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,且abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(

17、b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)32ab2bc2ac=24.当且仅当a=b=c时两等号同时成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【技巧点拨】本题考查利用基本不等式证明不等式,对于本题第(1)问,证明的关键是利用“1”的代换.在利用基本不等式时需注意取等号的条件能否成立.4.(1)当a=1时,f (x)=|x+1|+2|x - 1|.当x - 1时,f (x)7即 - 3x+17,解得x - 2,故 - 2x1时,f (x)7即3x - 17,解得x83,故1 - 1,所以f (x)= - 3x+2a - 1(x - 1), - x+2a+1( - 1xa),3x - 2a+1(xa),作出y=f (x)的大致图象,如图D 1所示.由y=f (x)的图象知,f (x)min=f (a)=a+1=3,解得a=2,所以实数a的值为2.图D 1