2022-2023学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.docx

1、41指数与指数函数41.1实数指数幂及其运算【课程标准】通过对有理数指数幂amn(a0，且a1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一n次方根及根式的概念1a的n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得_，则x称为a的n次方根2a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为_，a_(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为_，其中_表示a的负的n次方根，a_3根式：当na有意义的时候，_称为根式，这里n称为_，a称为_状元随笔根式的概念中要

2、求n1，且nN*.知识点二根式的性质(1)(na)n_(nR，且n1)；(2) nan_(n为奇数，且n1)，_(n为偶数，且n1).状元随笔(na)n中当n为奇数时，aR；n为偶数时，a0，而nan中aR.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn_(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：amn1amn_(a0，m，nN*，且n1)性质0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_2.无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个_有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用3实数指数幂的运算法则(a0，b0，r，sR)(1)

3、aras_(2)(ar)s_(3)(ab)r_基础自测1.42等于()A4B24C24或4D422b43(b0)，则b等于()A34B314C43D353(多选)下列各式错误的是()A323B4a4aC(32)32D32324下列根式与分数指数幂的互化，正确的是()Ax(x)12(x0)B6x2x13(x0)Cx3441x3(x0)Dx133x(x0)课堂探究素养提升强化创新性题型1利用根式的性质化简求值经典例题例1(1)下列各式正确的是()A8a8aBa01C.4444D.5555(2)计算下列各式：5a5_636_614333830.125_状元随笔首先确定式子nan中n的奇偶，再看式子的

4、正负，最后确定化简结果方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论跟踪训练1求下列各式的值：(1) 323；(2) 432；(3) 838；(4) xy2.由根式被开方数正负讨论xy，x0)化为根式为_(2)化简：(a25a3)(a10a9)_(用分数指数幂表示).(3)将下列根式与分数指数幂进行互化：a33a2；a4b23ab2(a0，b0).利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂方法归纳根式与分数指数幂

5、互化的方法及思路(1)方法：根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出跟踪训练2(1)化简x3x2x6x的结果是()AxBxC1Dx2(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()Ax(x)12(x0)B6y2y13(y0)Dx133x(x0)题型3分数指数幂的运算与化简例3(1)化简下列各式：(1.8)0(32)23338210.0193；a23b112a12b136ab5；(2)已知x12x125，求x2+x26xx15

6、的值状元随笔(1)先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；对于零次幂，直接运用a01(a0)得出结论；底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；底数为小数的一般化成分数来运算；先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减(2)将已知的式子反复利用完全平方公式，将x的指数升高，再代入求值方法归纳利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用

7、分数指数幂的形式表示跟踪训练3计算：(1) 14124ab130.12a3b312(a0，b0)；(2)已知a12a123，求下列各式的值：aa1；a2a2；a32a32a12a12第四章指数函数、对数函数与幂函数41指数与指数函数41.1实数指数幂及其运算新知初探自主学习知识点一1xna2(1)naR(2)nana0，)3.na根指数被开方数知识点二(1)a(2)a|a|知识点三1.nam1nam0无意义2确定的实数3(1)ars(2)ars(3)arbr基础自测1解析：4244.故选A.答案：A2解析：因为b43(b0)，b43314.答案：B3解析：由于323，4a4|a|, 3232，

8、故选项A、B、D错误答案：ABD4解析：A.xx12(x0)，故错误；B6x2x13(x0)，故错误；C.x3414x341x3(x0)，故正确；D.x1313x(x0)，故错误答案：C课堂探究素养提升例1【解析】(1)由于nana，n为偶数，a，n为奇数，则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a0.(2)5(a)5a.6(3)66(3)63.614333830.1255223323312352321212.【答案】(1)D(2)a312跟踪训练1解析：(1) 3232；(2) 4324323；(3) 8(3)8|3|3；(4)xy2|xy|xy，xy，yx，x0)；6y2y216y13(y0

9、)；x131x1331x(x0)答案：(1)C(2)C例3【解析】(1)原式1+2322782310+9321(23)2(32)21027291019.a23b112a12b136ab5a2312b12a12b13a16b56a1312b12+13a16b56.a56b56a16b56a5616a11a.(2)由已知可得：xx1(x12+x12)22(5)223.x2x2(xx1)223227.原式763512.跟踪训练3解析：(1)原式4120.1223a32b32a32b32211008425. (2)将a12+a123两边平方，得aa129，所以aa17.对(1)中的式子两边平方，得a2a2249，所以a2a247.a32a32a12a12a12a12a+a1+a12a12a12a12aa118.