2022届高中数学（理科）《统考版》一轮复习学案：8-6 空间向量及其运算 WORD版含解析.docx

1、第六节空间向量及其运算【知识重温】一、必记3个知识点1空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相_共面向量平行于_的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使_共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p_空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z使得p_推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使xyz且xyz12.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：()ab|a

2、|b|cosa，b()ab_(a，b为非零向量)()|a|2a2，|a|.(2)向量的坐标运算：a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab_向量差ab_数量积ab_共线ab_(R，b0)垂直ab_夹角公式cosa，b_3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_或_，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的_向量a，则向量a叫做平面的法向量二、必明4个易误点1共线向量定理中ab存在R，使ab易忽视b0.2共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的3一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是

3、共线向量，不要误为是共面向量4利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤不规范的错误【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对于向量a，b，若ab0，则一定有a0或b0.()(3)若ab0，则a，b是钝角()(4)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(5)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行()(6)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0.()(7)

4、若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2.()二、教材改编2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若Aa，Ab，c，则下列向量中与B相等的向量是()AabcB.abcCabc D.abc3正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_三、易错易混4在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直5与向量(3，4,5)共线的单位向量是()A.和B.C.D.或考点一空间向量的线性运算1.如图，在三棱锥OABC中，M

5、，N分别是AB，OC的中点，设Oa，Ob，Oc，用a，b，c表示N，则N等于()A.(abc)B.(abc)C.(abc) D.(abc)2在空间四边形ABCD中，若A(3,5,2)，C(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则E的坐标为()A(2,3,3) B(2，3，3)C(5，2,1) D(5,2，1)3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用A，A，表示，则_.悟技法用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向

6、量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用考向一：共线向量定理及应用例1(1)已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B2 C0 D.或2(2)若A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_.悟技法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明A，A共线，亦即证明A(0)；A，B，C三点共线，对空间内任意一点O，有O(1t)Ot.考向二：共面向

7、量定理及应用例2(1)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若向量a，b，c共面，则实数等于()A. B. C. D.(2)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OOOt，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.悟技法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明Pxy或对空间任一点O，有OOxy或Oxyz(xyz1)即可.变式练(着眼于举一反三)1设平面的一个法向量为n1(1,2，2)，平面的一个法向量为n2(2，4，k)，若，则k()A2 B4 C2 D42设O为空间任意一点，OOOO，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共

8、面C不一定共面 D无法判断考点三空间向量的数量积与坐标运算自主练透型3在空间四边形ABCD中，()A1 B0 C1 D不确定4已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设向量a，b，(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值悟技法1.空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos .(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.2数量积的应用(1)求夹角：设向量a，b所成的角为，则cos ，进而可求两异面直线

9、所成的角(2)求长度(距离)：运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)解决垂直问题：利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.考点四利用空间向量证明平行或垂直例3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.听课笔记：悟技法1.用空间向量证平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行(3)面面

10、平行：证明两平面的法向量平行(即为共线向量)2用空间向量证垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 变式练(着眼于举一反三)3.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点(1)求证：DE平面ABC.(2)求证：B1F平面AEF.第六节空间向量及其运算【知识重温】平行或重合同一平面abxaybxaybzcab0(a

11、1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30平行重合方向【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2解析：B(AA)c(ba)abc.故选A.答案：A3解析：|E|2E2(ECD)2E2C2D22(ECEDCD)1222122(12cos 120021cos 120)2，|E|，EF的长为.答案：4解析：由题意得，A(3，3,3)，C(1,1，1)，所以A3C，所以A与C共线，又AB与CD没有公共点，所以ABCD.故选B.答案：B5解析：因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3

12、，4,5)的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4,5)(3，4,5)，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：NNA(OO)AOO(OO)OOO(abc)故选B.答案：B2解析：设O是坐标原点，EOO，又O(OO)，O(OO)，E(OO)(OO)(BC)(3，5，2)(7，1，4)(2，3，3)故选B.答案：B3解析：OA(AA)，O(AA)AA.答案：AA考点二例1解析：(1)易知m0，ab，解得m2.故选B.(2)A，B，C三点共线，AB，A(3，1，1)，B(m2，n1，3)3，解得m7，n4.mn3.答案：(1)B(2)3例2解析：(1)若a、b、c共面，cman

13、b，(7,5，)m(2，1，3)n(1,4，2)，即解得m，n，.故选D.(2)P，A，B，C四点共面，t1，t.答案：(1)D(2)变式练1解析：，n1n2，存在实数使得n1n2，解得k4.故选B.答案：B2解析：点O为空间任意一点，OOOO，且1，由共面向量基本定理得A、B、C、P四点一定共面故选B.答案：B考点三3.解析：如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.故选B.答案：B4解析：(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)于是|c|3|m|3，即m1.故c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a

14、(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(3)解法一kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.解之，可得k2或k.故当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.解法二由(2)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，从而可解得k2或k.考点四例3证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC1，则C(0,1

15、,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)因为，(1,0,1)，所以即令x1，得n(1,2,1)因为(1，1,1)，n1210，所以n.又因为CE平面C1E1F，所以CE平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，所以即令a1，得m(1,0,1)因为mn1(1)2011110，所以平面C1E1F平面CEF.变式练3.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)(2,4,0)，平面ABC的法向量为(0,0,4)，0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.