2022届高考数学二轮复习-函数问题讲义 WORD版含答案.docx

1、2022高考二轮复习-函数问题讲义导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数值域、变化快慢、最大（小）值等问题是最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度，物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具。恩格斯说只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表示状态，也表示过程：运动。牛顿和莱布尼茨是微积分的创始人。函数问题是常考常新内容，一般考查函数的性质、函数与导数综合，函数与函数零点问题，要注意导数与函数之间的融合.【例题精讲】例题1.【导数与零点问题】已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】将变形为，利用单调性可得，从

2、而，再构造函数，通过求导找到最小值即可.【详解】易知在上单调递增，在上单调递减，同理，易得在上单调递增，在上单调递减，又存在使得成立，则，且，又在上单调递增，故，所以，令，则，易知，在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.本题考查利用导数研究双变量函数的最值问题，考查学生的逻辑思维与等价转化思想，是一道难题.例题2.【导数与不等式解集】【河北衡水中学高三上学期一调】设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f（x），若f（x）+f（x）1，f（0）=2015，则不等式exf（x）ex+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）AB（，0）C（，0）（0，+）D（0，+）【考点】函数单调性的

3、性质【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解【解答】设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+2014，g（x）2014，又g（0）=e0f（0）e0=20151=2014，g（x）g（0），x0故选：D例题3.【导数与零点、参数取值问题】已知函数。（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求

4、c的值.解：(1),令，解得 .当时，因为，所以函数在上单调递增；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而或 .又，所以当时，或当时，.设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立.从而，且因此.此时，因函数有三个零点，则有两个异于1的不等实根，所以且，解得.综上.例题4.【函数性质考查-值域问题】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域解析：()的定义域为 . ，且仅当时， ，所以在上单调递

5、增，因此当时， 所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增，所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有最小值，的值域是例题5.【导数与应用于不等式问题】已知.（1） 讨论的单调性；（2） （2）当时，证明对于任意的成立.解：（1）的定义域为，.当a=0时， 时，单调递增； ，单调递减.当时，.（i）若，当或时，0，单调递增；当时，0，单调递增；（iii）若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当a=0时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内

6、单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（1）知，时，.令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此当时，当且仅当时取得等号，所以，即对于任意的恒成立.例题6.【函数与参数取值范围问题】已知函数，其中.（）若，求函数的极值； （）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（），令，得到的单调性即可得到极值；（）在上恒成立，可构造函数，令，分，讨论即可.当时，则，令解得(舍去)，.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，的极小值为，无极大值.若在上

7、恒成立，即在上恒成立.构造函数，则令.若可知恒成立.在上单调递增.当即时，在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，满足条件.当即时， ，存在唯一的使得.当时，即在单调递减.，这与矛盾.若由可得(舍去)，易知在上单调递减.在上恒成立，即在上恒成立.在上单调递减.在上恒成立，这与矛盾.综上，实数的取值范围为.例题7.【函数与零点问题】已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.解:【分析：(1) 设，然后判断函数在上的符号，得出的单调性，再利用零点存在定理判断在上是否存在唯一零点即可； (2) 分，和三种情况分别考虑的零点存在情况，从而得证】(1)设，当时

8、，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点，所以命题得证(2) 由(1)知：当时，在上单调递增;当时，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点所以又因为所以在上恰有一个零点又因为所以在上也恰有一个零点当时， 设， 所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点当时，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点综上，有且仅有两个零点【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题例题8.-【三角函数综合】已知函数，.（1）求函数在处的切线方程

9、；（2）当时，证明：对任意恒成立.解：（1）因为，可得，即可求得答案；（2）要证对任意恒成立，即证对任意恒成立.设，当时，即可求得答案.】（1），函数在处的切线方程为.（2）要证对任意恒成立.即证对任意恒成立.设，当时，令，解得，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.，当时，对任意恒成立，即当时，对任意恒成立.本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.【高考研究】例题9【高考北京理数】设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值

10、范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.例题10.【江苏高考】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1

11、+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【思考练习】思考题（1）：已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C思考题（2）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C思考题（3）已知.（I）讨论的单调性；（II）当a=4时，证明对于任意的恒成立.思考题（4）：已知，.（I）讨论的单调性；（II）当a=1时，证明对于任意的恒

12、成立.思考题（5）：已知，.（I）讨论的单调性；（II）当a=1时，证明对于任意的恒成立.思考题（6）：已知，.（I）讨论的单调性；（II）当a=1时，证明对于任意的恒成立.思考题（7）：已知函数，其导函数设为.（）求函数的单调区间；（）若函数有两个极值点，试用表示；（）在（）的条件下，若的极值点恰为的零点，试求，这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（）；（） .思考题（8）：-【湖南八校联考2021-2022学年高三联考T8-22】已知函数，其中a为非零常数（1）若函数在（0，）上单调递增，求a的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在（0，）上恰有两个极值点思考题（9）【2021江苏10月月考】已知函数，其中e为自然对数的底数（1）当x0时，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）若x0，证明【2025年10月30日星期四】