2022年高中数学 第二章 数列 1.docx

1、课时训练6数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列an0,且2an+1=an,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:an0.数列an是递增数列.2.在数列an中,若an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为.答案:29解析:an=-(n-6)2+29,所以当n=6时,an最大,解得a6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a1=1,an+1=an3an+1,则给出的数列an的第7项是()A.116B.117C.119D.125答案:C解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=14,a3=17,观察得到通项公式an=13n-2,所以a7=

2、119.4.在数列an中,a1=-2,an+1=1+an1-an,则a2 012=()A.-2B.-13C.-12D.3答案:D解析:a1=-2,an+1=1+an1-an,a2=-13,a3=12,a4=3,a5=-2.该数列是周期数列,周期T=4.又2012=5034,a2012=a4=3.5.已知数列an,a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n3),则a5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.6.已知数列an满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2 013=;a2 014=.答案:10解析:a2013=

3、a5044-3=1,a2014=2a1007=2a4252-1=0.7.数列an满足an+1=11-an,a8=2,则a1=.答案:12解析:a8=11-a7=2,a7=12.又a7=11-a6,a6=-1.又a6=11-a5,a5=2.以此下去,可推出a1=12.三、由递推关系求通项公式8.已知数列an中,a1=1,an=an-1+1(n2),则通项公式为()A.an=1B.an=2n-1C.an=nD.an=n+1答案:C解析:由an=an-1+1知an-an-1=1,数列的相邻两项中后项比前项大1.通项公式为an=n.9.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1,则数列an的通项公

4、式为()A.an=2n-1B.an=2n-1C.an=12n-1D.an=1+12n答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=21+1=3=22-1,a3=23+1=7=23-1,由此归纳得an=2n-1.方法二:an+1+1=2(an+1),an+1+1an+1=2,用累乘法可得an+1=2n.an=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列an,a1=1,以后各项由an=an-1+1n(n-1)(n2)给出.(1)写出数列an的前5项;(2)求数列an的通项公式.解:(1)a1=1;a2=a1+121=32;a3=a2+132=53;a4=a3+143=74;a5=a4+

5、154=95.(2)由已知得an-an-1=1n(n-1)=1n-1-1n,a2-a1=1-12,a3-a2=12-13,a4-a3=13-14,an-an-1=1n-1-1n.左右分别累加得an-a1=1-1n,所以an=a1+1-1n=2-1n.(建议用时:30分钟)1.已知数列an,a1=1,an-an-1=n-1(n2).则a6等于()A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.2.已知数列an中,a1=2,an=-1an-1(n2),则a2 015等于()

6、A.-12B.12C.2D.-2答案:C解析:an+2=-1an+1=an,数列奇数项相同,偶数项相同.a2015=a1=2.3.数列an中,a1=1,对所有的n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5等于()A.259B.2516C.6116D.3115答案:C解析:由已知得a1a2a3=32a1a2=22a3=94,a1a2a3a4a5=25a1a2a3a4=16a5=2516,a3+a5=6116.4.已知数列an的通项公式为an=49n-1-23n-1,则数列an()A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数

7、列an的通项公式为an=49n-1-23n-1,令t=23n-1(0t1),则an=t2-t=t-122-14(0t1).故数列an有最大项和最小项,选C.5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键()A.6n个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1.6.数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12anan对nN*恒成立.an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+,2n+1+0对nN*恒成立,即-2n-1对nN*恒成立,又当nN*时-2n-1-3,-3.10.设数列an,a1=0,an+1=1+an3-an,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a1=0,a2=1+a13-a1=13,a3=1+a23-a2=1+133-13=12,a4=1+a33-a3=1+123-12=35.直接观察可以发现a3=12可写成a3=24,这样可知an=n-1n+1(nN*,n2).当n=1时,1-11+1=0=a1,所以an=n-1n+1.