2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：2-1-2 两条直线平行和垂直的判定 WORD版含答案.docx

1、2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课标解读课标要求素养要求1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题.1.逻辑推理能根据斜率推导两条直线平行或垂直.2.直观想象能够掌握直线斜率的几何意义. 自主学习必备知识教材研习教材原句 1.两条直线平行：对于斜率分别为k1,k2 的两条直线l1,l2 ，有l1l2 k1=k2 .2.两条直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于 -1 ，那么它们互相垂直. 即l1l2 k1k2=-1 .自主思考1.两条直线平行，斜率一

2、定相等吗？提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.2.若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于-1吗？提示 不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是-1；当两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.名师点睛1.当两条直线的斜率都不存在时，l1 与l2 的倾斜角都是90 ，l1l2 .2.若没有指明l1,l2 不重合，则k1=k2l1l2 或l1 与l2 重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论.3.在利用以上结论判定两条直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题的过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.互动探究关键能力探究点一 两条直线

3、平行的判定精讲精练例 根据下列给定的条件，判断直线l1 与直线l2 是否平行.（1）l1 经过点A(-1,-2),B(2,1) ，l2 经过点M(3,4),N(-1,-1) ；（2）l1 经过点A(-3,2),B(-3,10) ，l2 经过点M(5,-2),N(5,5) ；（3）l1 平行于y 轴，l2 经过点P(0,-2),Q(0,5) .思路分析 根据所给的条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况.答案：（1）k1=1-(-2)2-(-1)=1,k2=-1-4-1-3=54,k1k2 ，l1 与l2 不平行.（2）l1 与l2 都与x 轴垂直，且l

4、1 与l2 不重合，l1l2（3）由题意知l1 的斜率不存在，且不是y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是y 轴，l1l2变式若将本例（3）改为l1 平行于x 轴，l2 经过点P(1,-2),Q(5,2m-5) ，且l1l2 ，求m 的值.答案：由已知得k1=0,k2=2m-5+25-1 ，因为l1l2 ，所以k2=2m-5+25-1=0 ，解得m=32 .解题感悟k1=k2l1/l2 是针对斜率都存在且不生命的两直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用数形结合求解.迁移应用1.经过两点C(3,1),D(-2,0) 的直线l1 ，与经过点M(1,-4) 且斜率为15 的直线l2

5、的位置关系为( )A.平行B.垂直C.重合D.无法确定答案： A解析： kl1=0-1-2-3=15 ，kl1=kl2 ，又kMD=0+4-2-1=-4315 ，l1 与l2 不重合，l1 与l2 平行.2.已知过点P(3,2m) 和点Q(m,2) 的直线与过点M(2,-1) 和点N(-3,4) 的直线平行，则m 的值是 .答案： -1解析： 因为kMN=4-(-1)-3-2=-1,kPQ=2m-23-m ，且直线PQ 与直线MN 平行，所以2m-23-m=-1 ，解得m=-1 .探究点二 两条直线垂直的判定精讲精练类型1 两条直线垂直的判定例1根据下列给定的条件，分别判断直线l1 与l2 是

6、否垂直.（1）l1 经过点A(1,3),B(-1,-1) ，l2 经过点C(2,1),D(4,0) ；（2）l1 经过点E(-1,3),F(-1,-5) ，l2 经过点C(2,4),D(-1,4) ；（3）l1 经过点P(2,-1),Q(3,4) ，l2 的方向向量为(5,1).思路分析 根据已知条件求出两条直线的斜率，然后根据垂直关系判断.答案：（1）由题意知k1=-1-3-1-1=2,k2=0-14-2=-12 ，因为k1k2=-1 ，所以l1l2 .（2）由题意知l1 的斜率不存在，l2 的斜率为0，所以l1l2 .（3）由题意知k1=4-(-1)3-2=5,k2=15 ，因为k1k2-

7、1 ，所以l1 与l2 不垂直.解题感悟判断两条直线是否垂直的依据是在这两条直线都有斜率的前提下，只需要看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直.类型2 根据两条直线垂直求参数例2 已知直线l1 经过点A(3,a),B(a-2,3) ，直线l2 经过点C(2,3),D(1,a-2) ，如果l1l2 ，求a 的值.思路分析 根据两条直线垂直，列方程求解.答案：因为直线l2 经过点C(2,3),D(1,a-2) ，所以l2 的斜率存在，设为k2 .当k2=0 时，则a-2=3 ，即a=5 ，则A(3,5),B(3,3) ，显

8、然直线l1 的斜率不存在，满足l1l2 ；当k20 时，a-23 ，即a5 ，显然l1 的斜率存在，设为k1 .若要满足题意，则k1k2=-1 ，所以3-aa-2-3a-2-31-2=-1 ，解得a=2 .综上可知，a 的值为5或2.解题感悟若已知点的坐标中含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.迁移应用1.已知直线l1 经过A(-3,4),B(-8,-1) 两点，直线l2 的倾斜角为135 ，那么l1 与l2 ( )A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直答案： A解析： 直线l1 经过A(-3,4) ，B(-8,-1) 两点， 直线l1 的斜率k1=4+1-

9、3+8=1 . 直线l2 的倾斜角为135 ， 直线l2 的斜率k2=tan135=-1 ，k1k2=-1 ，l1l2 .2.（2021四川宜宾叙州二中高二开学考）在平面直角坐标系内有两个点A(4,2) ，B(1 ，-2)，若在x 轴上存在点C ，使ACB=2 ，则点C 的坐标是( )A.(3,0)B.(0,0)C.(5,0)D.(0,0)或(5,0)答案：D解析：设C(x0,0) ，则kAC=24-x0,kBC=2x0-1 .ACB=2 ，ACBC ，kACkBC=-1 ，则24-x02x0-1=-1 ，解得x0=0 或x0=5 ， 点C 的坐标为(0,0)或(5,0).探究点三 两条直线平

10、行与垂直的综合应用精讲精练例 已知点M(2,2),N(5,-2) ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的点P 的坐标.（1）MOP=OPN （O 是坐标原点）；（2）MPN 是直角.思路分析 （1）根据两角相等，判断OM 与NP 的关系，然后转化为斜率的关系求解. （2）根据MPN 是直角，得出MPNP ，然后转化为斜率之积为-1求解.答案：（1）因为MOP=OPN ，所以OMNP ，所以kOM=kNP .设P(x,0) ，又kOM=2-02-0=1,kNP=0-(-2)x-5=2x-5 ，所以1=2x-5 ，所以x=7 ，即点P 的坐标为(7,0).（2）因为MPN 为直角，所以MPNP

11、，根据题意知MP,NP 的斜率均存在，所以kMPkNP=-1 .设P(x0,0) ，则kMP=22-x0,kNP=2x0-5 ，所以22-x02x0-5=-1 ，解得x0=1 或x0=6 ，即点P 的坐标为(1,0)或(6,0).解题感悟（1）利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.迁移应用1.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0) 三点，若CDAB ，且CBAD ，求点D 的坐标.答

12、案： 设D(x,y) ，则kCD=yx-3,kAB=3,kCB=-2,kAD=y+1x-1 .因为CDAB,CBAD ，所以kCDkAB=-1,kAD=kCB ，所以yx-33=-1,y+1x-1=-2, 解得x=0,y=1,所以点D 的坐标为(0,1).评价检测素养提升课堂检测1.若直线l1 的倾斜角为135 ，直线l2 经过点P(-2,-1),Q(3,-6) ，则直线l1 与l2 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合答案：D2.若直线l 经过点(a-2,-1) 和(-a-2,1) ，且与斜率为-23 的直线垂直，则实数a 的值为( )A.-23 B.-32 C.23 D

13、.32答案： A3.（2021浙江宁波慈溪高二期末）已知两条不重合的直线l1,l2 ，则“l1l2 ”是“l1,l2 的斜率相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案： B4.已知点A(-3,-2),B(6,1) ，点P 在y 轴上，且BAP=90 ，求点P 的坐标.答案：设P(0,y) ，由BAP=90 知，kABkAP=1-(-2)6-(-3)y-(-2)0-(-3)=y+29=-1 ，解得y=-11 ，所以点P 的坐标是(0,-11).素养演练直观想象、逻辑推理判断平面图形的形状已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)

14、 四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判断图形ABCD 的形状.答案： A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系中的位置如图：由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)=13,kCD=0-3-3-6=13,kAD=0-3-3-(-4)=-3,kBC=3-56-2=-12 ，kAB=kCD ，由图可知AB 与CD 不重合，ABCD .kADkBC ，AD 与BC 不平行. 又kABkAD=13(-3)=-1,ABAD .故四边形ABCD为直角梯形.素养探究：根据点画出图形，渗透了直观想象的素养；根据斜率判断图形的形状，渗透了逻辑推理的素养.迁移应用已知A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3) 四点，试判断由此四点构成的图形ABCD 的形状.答案：由题意得kAB=0-11-0=-1,kCD=3-22-3=-1,kBC=2-03-1=1,kDA=3-12-0=1 ，因为kAB=kCD,kBC=kDA ，且AB 与CD ，BC 与DA 不重合，所以ABCD,BCDA ，所以四边形ABCD 为平行四边形.又因为kABkBC=-1 ，所以ABBC ，所以四边形ABCD 为矩形.