2022版新高考数学人教A版一轮总复习集训：5-4 解三角形及其综合应用 综合集训 WORD版含解析.docx

1、5.4解三角形及其综合应用基础篇【基础集训】考点一正弦定理和余弦定理1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=3sinB,c=5,且cosC=56,则a=()A.22B.3C.32D.4答案B2.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则ab等于()A.32B.43C.2D.3答案D3.在ABC中,a=23,c=22,A=60,则C=()A.30B.45C.45或135D.60答案B4.(多选题)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个命题中正确的是()A.若tanA+tanB+tanC0,则ABC是

2、锐角三角形B.若acosA=bcosB,则ABC是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则ABC是等腰三角形D.若acosA=bcosB=ccosC,则ABC是等边三角形答案ACD5.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且abc=432,则2sinA-sinBsin2C=()A.37B.57C.97D.107答案D6.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b+acosC=0,sinA=2sin(A+C),则bca2=()A.7B.72C.74D.54答案C7.设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围

3、为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C考点二解三角形及其综合应用8.在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534B.154C.2134D.3534答案A9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1006教师专用题组【基础集训】考点一正弦定理和余弦定理1.(2020吉林长春二模,8)在ABC中,C=30,cosA=-23,AC=15-2

4、,则AC边上的高为()A.52B.2C.5D.152答案C依题意得sinA=1-cos2A=53,则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5332-2312=15-26.由正弦定理得BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinAsinB,所以AC边上的高为BCsinC=ACsinAsinCsinB=(15-2)531215-26=5,故选C.2.(2019安徽安庆二模,10)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则ab等于()A.32B.43C.2D.3答案D由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsi

5、nAcosA=sinAsinB,又sinA0,sinB0,则cosA=12.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b212=3b2,得ab=3.故选D.3.(2020陕西安康二模,15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=4,tanC=7,则b=.答案524解析由tanC=7且C(0,)可求得sinC=7210,cosC=210.故sinA=sin(B+C)=sin4+C=22(cosC+sinC)=22210+7210=45.由asinA=bsinB245=bsin4b=524.4.(2020河南开封二模,17)ABC的内

6、角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB=-12,.ABC的面积是否存在最大值?若存在,求对应三角形的三边;若不存在,说明理由.从a+c=2,b=3a这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析若选,由题意得sinB=32,S=12acsinB=34ac34a+c22=34,当且仅当a=c=1时等号成立,则面积的最大值为34,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,则b=3.若选,由题意得B=23,则sinB=32,因为sinBsinA=ba=3,所以sinA=12,A=6,C=6,所以a=c,S=12acsinB=34a2,

7、a可以取任意正数,所以ABC的面积不存在最大值.5.(2020九师联盟3月联考,17)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-b+cc=sinBsinA+sinB-sinC.(1)求角A的大小;(2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC的面积S的最大值.解析(1)由正弦定理及题意得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又因为0A,所以A=3.(2)由正弦定理得asinA=2R,则a=2RsinA=4sin3=23,由余弦定理得a2=12=b2+c2-2bccosA2bc-bc=bc,即b

8、c12(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsinA121232=33(当且仅当b=c时取等号).即ABC的面积S的最大值为33.6.(2019北京丰台一模文,16)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=-34.(1)求sinC;(2)当c=2a,且b=32时,求a.解析(1)因为cos2C=-34,所以1-2sin2C=-34.因为0CcosB”是“ABC为锐角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B若B2,A0,2,则sinA0,cosBcosB,而此时ABC为钝角三角形,“sinAcosB”不是“AB

9、C为锐角三角形”的充分条件.若ABC为锐角三角形,则A,B0,2且2A+BA2-B0,sinAsin2-B=cosB,“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的必要条件.综上,“sinAcosB”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.2.(2018云南昭通一模,10)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=223,bcosA+acosB=2,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.8C.9D.36答案C已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R为ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则

10、2RsinC=2,因为cosC=223,所以sinC=13,所以R=3.故ABC的外接圆面积为9.故选C.3.(2019北京朝阳一模文,4,5分)已知ABC中,A=120,a=21,ABC的面积为3.若bc,则c-b=()A.17B.3C.-3D.-17答案BSABC=12bcsinA=34bc=3,bc=4.a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=b2+c2+4=21,b2+c2=17,(b+c)2=b2+c2+2bc=25,b+c=5,结合bbc,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-22c2cosA,得cosA=-24.误区警示根据三角形中

11、“大边对大角”判断出哪个角最大,然后用余弦定理求解.6.(2019贵州凯里中学4月月考,17)已知锐角ABC面积为S,A,B,C所对边分别是a,b,c,A,C的平分线相交于点O,b=23且S=34(a2+c2-b2),求:(1)B的大小;(2)AOC周长的最大值.解析(1)S=34(a2+c2-b2),12acsinB=34(a2+c2-b2),故12acsinB=342accosBtanB=3,B0,2,B=3.(2)设AOC周长为l,OAC=,ABC为锐角三角形,B=3,A+C0,23,C0,2,A6,2,则12,4,OA,OC分别是A,C的平分线,B=3,AOC=23,由正弦定理,OAs

12、in3-=OCsin=23sin23=4.AOC周长l=4sin+4sin3-+23=4sin+3+23.12,4,+3512,712,当=6时,AOC周长取得最大值,最大值为4+23.综合篇【综合集训】考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校调研联考,10)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB+sinC+ba+c=1,则C=()A.6B.3C.23D.56答案B2. (2020浙江名校联盟考,13)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=3,3. 则asinC=,a+b的取值范围是.答案3;(1+3,4+23)3.(202

13、1届广东湛江二十一中月考,17)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+bc=(b+c)2.(1)求角A;(2)若b=1,c=3,D为BC的中点,求中线AD的长.4.(2020山东泰安5月模拟,19)在asinC-3ccosBcosC=3bcos2C;5ccosB+4b=5a;(2b-a)cosC=ccosA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.(1)求sinC;(2)已知a+b=5,ABC的外接圆半径为433,求ABC的边AB上的高h.考法二三角形形状的判断5.(2020山东济宁二中10月

14、月考,8)在ABC中,若sinA=2sinBcosC,a2=b2+c2-bc,则ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A6.(2020山东青岛三模,7)在ABC中,如果cos(2B+C)+cosC0,那么ABC的形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形答案A7.(多选题)(2020山东烟台5月模拟,11)在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,则()A.sinCDB=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形答案BC考法三与三角形的面积、范围有关

15、的问题8.(2020湖南师范大学附属中学月考(六),10)设锐角ABC的三个内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为()A.(22,23)B.(22,4)C.(2,23)D.(0,4)答案A9.(2020河北正定中学第三次质量检测,16)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,BD=5,ABAC,AC=2AB,则CD的最小值为.答案510.(2020浙江绍兴嵊州期末,15)在锐角ABC中,D是边BC上一点,且AB=22,BC=3,AC=AD,若cosCAD=35,则sinC=;ABC的面积是.答案255;311.(2021届江苏苏州八校联盟第一次适应性检

16、测,18)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2.有以下3个条件:2ccosA=b;2b-a=2ccosA;a+b=2c.请在以上3个条件中选择一个,求ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.12.(2020湖北襄阳四中3月月考,17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB=bsinA-3.(1)求A;(2)D是线段BC上的点,若AD=BD=2,CD=3,求ADC的面积.教师专用题组【综合集训】考法一利用正弦、余弦定理解三角形1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sinC

17、=sinA+sinB,cosC=35且SABC=4,则c=()A.463B.4C.263D.5答案A因为2sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b,由cosC=35可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-165ab,又由cosC=35,得sinC=45,所以SABC=12absinC=2ab5=4,ab=10.由解得c=463,故选A.2. (2019宁夏石嘴山一模,8)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若ccosB+3. bcosC=asinA,S=34(b2+a2-c2),则B=()A.90B.60C.45D.30答案D由

18、正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,所以sin(C+B)=sin2AsinA=1,因为0A180,所以A=90.由余弦定理、三角形面积公式及S=34(b2+a2-c2),得12absinC=342abcosC,整理得tanC=3,又0C2,故c2a2+b2,在ABC中,cosC=a2+b2-c22ab0,则cosC=4k2+9k2-16k222k3k0,所以角C是钝角,所以ABC是钝角三角形,故选C.5.(2019河南洛阳一模,11)在ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2C2+12,则ABC为()

19、A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形D.钝角三角形答案B由2acosB=c及正弦定理得2sinAcosB=sinC,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,A与B都为ABC的内角,A-B=0,即A=B.sinAsinB(2-cosC)=sin2C2+12,sinAsinB(2-cosC)=12(1-cosC)+12=1-12cosC,-12cos(A+B)-cos(A-B)(2-cosC)=1-12cosC,-12(-cosC-1)(2-c

20、osC)=1-12cosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,整理得cos2C-2cosC=0,即cosC(cosC-2)=0,cosC=0或cosC=2(舍去),C=90,则ABC为等腰直角三角形.故选B.6. (2019广东佛山顺德第二次质检,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsinCcosA+asinA=2csinB.(1)证明:ABC为等腰三角形;(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且ADB=2ACD,a=3,求b的值.解析(1)证明:2bsinCcosA+asinA=2csinB,由正弦定理得2bccosA+a2=2cb,由余弦定理得2b

21、cb2+c2-a22bc+a2=2bc,化简得b2+c2=2bc,(b-c)2=0,即b=c.故ABC为等腰三角形.(2)解法一:由已知得BD=2,DC=1,ADB=2ACD=ACD+DAC,ACD=DAC,AD=CD=1.又cosADB=-cosADC,AD2+BD2-AB22ADBD=-AD2+CD2-AC22ADCD,即12+22-c2212=-12+12-b2211,得2b2+c2=9,由(1)可知b=c,得b=3.解法二:由已知可得CD=13a=1,由(1)知,AB=AC,B=C,又DAC=ADB-C=2C-C=C=B,CABCDA,CBCA=CACD,即3b=b1,b=3.考法三与

22、三角形面积、范围有关的问题1. (2018吉林长春二中期中,9)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sinA2-6=1,且a=2,则ABC的面积的最大值为()A.3B.33C.32D.23答案BA(0,),A2-6-6,3,2sinA2-6=1,A2-6=6,A=23.又a=2,4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc,当且仅当b=c时等号成立,bc43.ABC的面积S=12bcsinA124332=33,ABC的面积的最大值为33.故选B.2.(2018海南二模)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知a=3,(b2+c2-3)tanA=3bc,

23、2cos2A+B2=(2-1)cosC,则ABC的面积为()A.3+34B.32+64C.32-64D.3-32答案Aa=3,(b2+c2-3)tanA=3bc,b2+c2-a22bctanA=32,即cosAtanA=32,亦即sinA=32,又A0,2,A=3,2cos2A+B2=(2-1)cosC,1+cos(A+B)=(2-1)cosC,1-cosC=(2-1)cosC,cosC=22,C0,2,C=4,由正弦定理可得asin3=csin4,解得c=2,SABC=12acsinB=12326+24=3+34.故选A.3.(2018四川泸州一模,16)已知ABC的三个内角A,B,C的对边

24、分别为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tanAtanB=2c-bb,则ABC的面积的最大值为.答案334解析设ABC外接圆的半径为r,则r=1,c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB,tanA=sinAcosA,tanB=sinBcosB,tanAtanB=sinAcosBcosAsinB=4sinC-2sinB2sinB=2sinC-sinBsinB,sinAcosB=cosA(2sinC-sinB)=2sinCcosA-sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,又sinC0,cosA=12,又A为三角形的内

25、角,A=3,cosA=b2+c2-a22bc=12,bc=b2+c2-a2=b2+c2-(2rsinA)2=b2+c2-32bc-3(当且仅当b=c时,等号成立),bc3,ABC的面积S=12bcsinA12332=334(当且仅当b=c时,等号成立),ABC的面积的最大值为334.4. (2020浙江省重点高中统练,16)已知ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sinC,sinB,cosA成等比数列,b=23a,212c2+32ac18,则4(c+1)292S+16a的最小值为.答案34解析解法一:由2sinC,sinB,cosA成等比数列,可得2sinCcosA=

26、sinB,即2sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinCcosA=cosCsinA,即sinCcosA-cosCsinA=sin(C-A)=0,所以C=A,从而c=a,则sinB=2sinAcosA即b=2acosA,因为b=23a,所以cosA=13,所以sinA=223,由212c2+32ac18,得212a2+32a218,解得1a3,令m=4(c+1)292S+16a=4(a+1)29212bcsinA+16a=4(a+1)292122a3a223+16a=4(a+1)24a2+16a=(a+1)2a2+4a,令t=a+1,t2,4,则1t14

27、,12,且m=t2(t-1)2+4(t-1)=t2t2+2t-3=11+21t-31t2=1-31t-132+43143=34,当且仅当t=3,即a=2时等号成立.所以所求最小值为34.解法二:由解法一得m=(a+1)2a2+4a=a2+2a+1a2+4a=1-2a-1a2+4a,令t=2a-1,则t1,5,则m=1-tt+122+4t+12=1-4tt2+10t+9=1-4t+9t+101-42t9t+10=34,当且仅当t=3,即a=2时等号成立.所以所求最小值为34.5.(2018陕西榆林二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知-b+2ccosB=acosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求ABC的面积S的最大值.解析(1)-b+2ccosB=acosA,-sinB+2sinCcosB=sinAcosA,即2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC.0C,sinC0,2cosA=1,即cosA=22,0A,A=4.(2)a=2,A=4,b2+c2=4+2bc.4+2bc2bc,当且仅当b=c时取等号,bc2(2+2).S=12bcsinA122(2+2)22=2+1.所以ABC的面积S的最大值为2+1.