立体几何专题检测——江苏省2024届高三数学一轮总复习.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司江苏省 2024 届高三数学一轮总复习专题检测 立体几何 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知直线 m，n 与平面，则能使成立的充分条件是()A，B/m，/m C/m，m D mn，m=，n 2、如图：已知正四面体 ABCD 中 E 在棱CD 上，2ECDE=，G 为 ABC的重心，则异面直线 EG与 BD 所成角为（）A.90 B.60 C.45 D.30 3、已知底面半径为 r 的圆锥 SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为

2、（）A.29 B.39 C.23 D.2 39 4、在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，AC 与 BD 交于点O，则下列说法错误的是（）A.1AD 平面1BOC B.BD 平面1COC C.1C O 与平面 ABCD 所成的角为45 D.三棱锥1CBOC的体积为 23 5、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148 5m时，相应水面的面积为2140 0km；水位为海拔157 5m时，相应水面的面积为2180 0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148 5m上升到157 5m时，增加的水量约

3、为（72.65）（）A.931.0 10 m B.931.2 10 m C.931.4 10 m D.931.6 10 m 学科网（北京）股份有限公司6、约翰开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比 2：1 恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢?经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面在此球面中再作一个内接的正四面体，

4、接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为()A 3 B3 3 C3 D9 7、在三棱锥PABC 中，1PAPBPC=，2ABBCCA=，圆柱体1OO 在三棱锥PABC 内部（包含边界），且该圆柱体1OO 的底面圆O 在平面 PBC 内，则当该圆柱体1OO 的体积最大时，圆柱体1OO 的高为（）A.13 B.69 C.12 D.23 8、动点 M 在正方体1111ABCDA B C D从点1B 开始沿表面运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，则动直线1A M 与平面11A

5、DC 所成角正弦值的取值范围是（）A.16,33 B.13,33 C.12,32 D.16,23 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 学科网（北京）股份有限公司9、已知正方体1111ABCDA B C D，则（）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90 B.直线1BC 与1CA 所成的角为90 C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 D.直线1BC 与平面 ABCD 所成的角为45 10、如图，由正四棱锥 PABCD和正方体1111ABCDA B

6、C D组成的多面体的所有棱长均为 2则（）A./PA平面11CB D B.平面 PAC 平面11CB D C.PB 与平面11CB D 所成角的余弦值为66 D.点 P 到平面11CB D 的距离为 2 363+11、已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，E 为 AB 的中点，则（）A.BC1平面 A1EC B.二面角 A1ECA 的正弦值为55 C.点 A 到平面 A1BC1 的距离为217 D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为216 12、下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体 B.

7、所有棱长均为1.4m 的四面体 C.底面直径为0.01m，高为1.8m 的圆柱体 D.底面直径为1.2m，高为0.01m 的圆柱体 学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13、如图是四边形 ABCD 的水平放置的直观图 A B C D ，则原四边形 ABCD 的面积是 14、在正四棱台1111ABCDA B C D中，1112,1,2ABA BAA=，则该棱台的 体积为_ 15、如图，某圆柱体的高为 1，ABCD 是该圆柱体的轴截面.已知从点 B 出发沿着圆柱体的侧面到点 D的路径中，最短路径的长度为5 2，则该圆柱体的侧面积是 16、某同学在劳

8、技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则 tantan+的最小值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分）如图，直三棱柱111ABCA B C的体积为 4，1A BC的面积为2 2 （1）求 A 到平面1A BC 的距离；（2）设 D 为1AC 的中点，1AAAB=，平面1A BC 平面11ABB A，求二面角 ABDC的正弦值 学科网（北京）股份有限公司 18（本小题满分 12 分）如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D中，12

9、,4ABAA=点2222,A B C D分别在棱111,AA BB CC,1DD 上，22221,2,3AABBDDCC=（1）证明：2222B CA D；（2）点 P 在棱1BB 上，当二面角222PA CD为150 时，求2B P 19（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，四边形11ABB A 为正方形，点 D 为棱1BB的中点，平面11AAC C 平面11ABB A，1AACD.（1）求证：1CACA=；（2）若2ACAB=，求二面角11CA DB的余弦值.学科网（北京）股份有限公司20（本小题满分 12 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，D90，AB2 2，

10、ADDC 2，如图 1现将ADC 沿对角线 AC 折成直二面角 PACB，如图 2，点 M 在线段 BP 上（1）求证：APCM；（2）若点 M 到直线 AC 的距离为 2 55，求 BMBP的值 21（本小题满分 12 分）如图（1），平面四边形 ABCD 由正三角形 ABD 和等腰直角三角形 BCD 组成，其中2BD=，=90BDC 现将三角形 ABD 绕着 BD 所在直线翻折到三角形 PBD 位置（如图（2），且满足平面 PBD 平面 PCD （1）证明：CD 平面 PBD；（2）若点Q 满足1,12PQPD=，当平面 BCQ 与平面 PCD 夹角的余弦值为3131时，求 的值 学科网（

11、北京）股份有限公司22（本小题满分 12 分）如图，三棱锥 PABC 的底面为等腰直角三角形，ABC90，AB2D，E 分别为 AC，BC 的中点，PD平面 ABC，点 M 在线段 PE 上 （1）再从条件、四个条件中选择两个作为已知，使得平面 MBD平面 PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线 BP 与平面 MBD 所成的角的正弦值 条件：2PD=；条件：PED60；条件：PM3ME：条件：PE3ME 参考答案 一、单项选择题：1、C 2、D 3、D 4、C 5、C 6、B 7、A 8、A 二、多项选择题：9、ABD 10、BD 11、ACD 12、ABD 三、填空题：13、28

12、 14、7 66 15、14 16、2 四、解答题：17、（1）在直三棱柱111ABCA B C中，设点 A 到平面1A BC 的距离为 h，学科网（北京）股份有限公司则1111 1 1112 211433333A A BCAAABCAABC A BBCCCBVShhVSA AV=，解得2h=，所以点 A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点 E,连接 AE,如图，因为1AAAB=，所以1AEA B,又平面1A BC 平面11ABB A，平面1A BC 平面111ABB AA B=，且 AE 平面11ABB A，所以 AE 平面1A BC，在直三棱柱111ABCA B C中，

13、1BB 平面 ABC，由 BC 平面1A BC，BC 平面 ABC 可得 AEBC，1BBBC，又1,AE BB 平面11ABB A 且相交，所以 BC 平面11ABB A，所以1,BC BA BB 两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE=，所以12AAAB=，12 2A B=，所以2BC=，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC 的中点()1,1,1D，则()1,1,1BD=，()()0,2,0,2,0,0BABC=,设平面 ABD 的一个法向量(),mx y z=，则020m BDxyzm BAy=+=，学科网（

14、北京）股份有限公司可取()1,0,1m=，设平面 BDC 的一个法向量(),na b c=，则020m BDabcm BCa=+=，可取()0,1,1n=，则11cos,222m nm nmn=，所以二面角 ABDC的正弦值为213122=.18、（1）以C 为坐标原点，1,CD CB CC 所在直线为,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA，2222(0,2,1),(0,2,1)B CA D=，2222B CA D，又2222B CA D，不在同一条直线上，2222B CA D.（2）设(0,

15、2,)(04)P，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A CPCD C=，设平面22PA C 的法向量(,)nx y z=，学科网（北京）股份有限公司则22222202(3)0n A Cxyzn PCyz=+=+=，令 2z=，得3,1yx=，(1,3,2)n=，设平面222A C D 的法向量(,)ma b c=，则2222222020m A Cabcm D Cac=+=+=，令 1a=，得1,2=bc，(1,1,2)m=，2263cos,cos15026 4(1)(3)n mn mn m=+，化简可得，2430+=，解得1=或3=，(0,2,1)P或(0,2,3)P

16、，21B P=.19、（1）证明：取1AA 中点O，连接OD，OC，因为四边形11ABB A 为正方形，点 D 为1BB 的中点，点O 为1AA 的中点，所以1AAOD，又因为1AACD，CDODD=，,CD OD 平面OCD，所以1AA 平面OCD，又因为OC 平面OCD，所以1AAOC，因为点O 为1AA 的中点，所以1CACA=.（2）解：因为平面11AAC C 平面11ABB A，平面11AAC C 平面111ABB AAA=，且1OCAA，OC 11AAC C，所以OC 平面11ABB A，以,OA OD OC 为基底建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,3C，()11,0,0A

17、，()0,2,0D，可得()11,2,0A D=，()11,0,3AC=，学科网（北京）股份有限公司设(),nx y z=为平面1ACD 的一个法向量，则112030n A Dxyn ACxz=+=+=，取6x=，得2=33,zy=，所以()6,3,2 3n=，由OC 平面11ABB A，可得平面11A DB 的一个法向量为()0,0,3OC=，则2 332cos,1919573OC nOC nOC n=，由图知二面角11CA DB为钝二面角，所以其余弦值为21919.20、（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，D90，ADDC 2，所以 AC2 在ABC 中，CAB45，AC2，AB2 2，

18、所以 BC2AC2AB22ACABcosCAB4，所以 AB2AC2BC2，即 ACBC 2 分 因为二面角 PACB 是直二面角，平面 ABC平面 PACAC，且 BC平面 ACB，所以 BC平面 PAC 又 AP平面 PAC，所以 BCAP 4 分 因为 APPC，PCBCC，PC，BC平面 PBC，所以 AP平面 PBC 又因为 CM平面 PBC，所以 APCM 6 分（2）解：如图，以 C 为坐标原点，CA，CB 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，B(0，2，0)，A(2，0，0)，P(1，0，1)，所以 CA(2，0，0)，BP(1，2，1)AB

19、 C P M xy z 学科网（北京）股份有限公司因为点 M 在线段 BP 上，所以设 BMBP，01，则 CMBMBC(1，2，1)(0，2，0)(，22，)8 分 因为点 M 到直线 AC 的距离为 2 55，所以 CMsinCA，CM 2 55，10 分 所以 cosCA，CM CACM|CA|CM|6 284，所以 sinCA，CM 5 2846 284，即6 284 5 2846 2842 55，所以 25240160，解得 45，即 BMBP45 12 分 21、（1）证明：取 PD 的中点 M，连结 BM，在正三角形 PBD 中，有 BMPD，又因为平面 PBD 平面 PCD，平

20、面 PBD 平面 PCDPD=，BM 平面 PBD，所以 BM 平面 PCD，又因为CD 平面 PCD，所以 BMCD，在等腰直角三角形 BCD 中，有 BDCD，又因为 BDBMB=，且,BD BM 平面 PBD，所以CD 平面 PBD （2）取 BD 的中点O，连结 PO，在正三角形 PBD 中，有 POBD，由（1）可知CD 平面 PBD，又因为 PO 平面 PBD，所以 POCD，又因为 BDCDD=，且,BD CD 平面 BCD，所以 PO 平面 BCD 学科网（北京）股份有限公司取 BC 的中点 N，连结 NO，因为点O 是 BD 的中点，所以 NOCD，又因为CDBD，所以 NO

21、BD，因为 PO 平面 BCD，,BD NO 平面 BCD，所以 POBD，PONO，以O 为坐标原点，OB，ON，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B，(1,0,0)D，(0,0,3)P，(1,2,0)C，所以()1,0,3PD=，()2,2,0BC=，()0,2,0DC=.因为 PQPD=，所以(1,0,3)OQOP=，所以(,0,33)OQ=，所以()1,0,33QB=+，设平面 BCQ 的法向量为(,)mx y z=，则()()133000220 xzQB mBC mxy+=+=，令33x=，则33y=，1z=+，则()33,33,1m=+

22、设平面 PCD 的法向量为(,)nx y z=，则030200PD nxzyDC n=，令3x=，则0y=，1z=，所以()3,0,1n=，由题意可知，()()2233131cos,312 2331m nm nm n=+，整理得2393880(32)(134)0+=，所以23=，413=，又因为1,12，所以23=学科网（北京）股份有限公司 22、解：（1）因 PD平面 ABC，DB 平面 ABC，DC 平面 ABC，则,PDDB PDDC，又由题可知 DBDC，则如图，建立以 D 为原点的空间直角坐标系，则()2,0,0B，()0,0,0D，()0,2,0C，22,022E，设()0,0,P

23、t()0t，()01PMPE=.则()2,0,0DB=，()2 0,PBt=，()02,PCt=，2222,PEt=，()0 0,DPt=.故()22122,DMDPPMDPPE t=+=+=.设平面 MBD 法向量为()1111,nx y z=，则()11111120221022DB nxDM nxytz=+=，令11y=，可得()120 121,nt=；设平面 PBC 法向量为()2222,nxyz=，则2222222020PB nxtzPC nytz=，可令221xy=，可得221 1,nt=.要使平面 MBD平面 PBC，需满足()12221021nnt=+=221tt=+.注意到条件

24、2t=，PD平面 ABC，DE 平面 ABC，PDDE，又由题可知1DE=，则条件3t=，学科网（北京）股份有限公司条件34=，条件23=.则当条件成立或条件成立时，都有221tt=+，即可以使平面 MBD平面 PBC；（2）由（1），当选择时，2t=，()0,0,2P，23=.则()2,0,2BP=，平面 MBD 法向量为()()120 10 1121,nt=，设 BP 与平面 MBD 所成角为，则1121sin222BP nBPn=；当选择时，3t=，()0,0,3P，34=.则()2 03,BP=，平面 MBD 法向量()1260 10 1221,nt=，设 BP 与平面 MBD 所成角为，则113 232sin5552BP nBPn=；.