2023年江苏省扬州市中考数学专题练——7四边形.docx

1、2023年江苏省扬州市中考数学专题练7四边形一选择题（共12小题）1（2022高邮市模拟）已知正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（）A九B八C七D六2（2022江都区二模）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图的方式叠放在一起，ABAF若AB3，BC9，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A15B14C13D123（2022宝应县一模）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（）A45B1C75D2.54（2022宝应县一模）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，ADEF，则等于（）A50B55C60D65

2、5（2021江都区二模）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）AABBDBACBDCDAB90DAOB906（2022江都区校级模拟）菱形ABCD的两条对角线的长分别为10和24，则边AB的长为（）A10B12C13D177（2022江都区一模）如图，五边形ABCDE中，AEBC，则C+D+E的度数为（）A180B270C360D4508（2021江都区模拟）如图：四个形状大小相同的等腰三角形ABE，ADF，CDG，BCH按如图摆放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH若AEBAFDCGDBHC120，且EH

3、=6-2，则BC的长为（）A6+2B43-4C23D29（2021扬州模拟）将一个边长为4的正方形ABCD分割成如图所示的9部分，其中ABE，BCF，CDG，DAH全等，AEH，BEF，CFG，DGH也全等，中间小正方形EFGH的面积与ABE面积相等，且ABE是以AB为底的等腰三角形，则AEH的面积为（）A2B169C32D210（2021仪征市二模）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）ABCD11（2021高邮市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，C120，AD4，AB2，点H、G分别是边CD、BC上的

4、动点连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为（）A1B3-1C32D2-312（2021扬州模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（）A增加180B增加360C减少180D不变二填空题（共8小题）13（2022广陵区校级二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG3：1，AB：BC2：1，则tanAHE的值为 14（2022仪征市一模）如图，在正方形ABCD中，BECF，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若AB2BH=23，则BG 15（2022扬州一模）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N在

5、BC、CD的延长线上，且CMDN3，连接BD并延长交MN于点P，则PM的长为 16（2022邗江区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为 17（2022江都区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，ADB30，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当DEQ是直角三角形时，DF的长为 18（2022邗江区二模）已知一个正多边形的每个内角为120，则它是正 边形19（2021扬州模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为

6、AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 20（2022广陵区二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于 三解答题（共9小题）21（2022广陵区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）（1）如图1，D是OC的中点，将AOD沿AD翻折后得到AED，AE的延长线交BC于F试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；求点F的坐标；（2）如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M

7、、N、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标22（2022仪征市一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法【知识方法】（1）如图1，AEDE，BECE，DEAC交AC于点E，则AB与CD的关系是 ；【类比迁移】（2）四边形ABCD是矩形，AB2，BC4，点P是AD边上的一个动点如图2，过点C作CECP，CE：CP1：2，连接BP、DE判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，

8、则DEF面积的最小值为 ；【拓展应用】（3）四边形ABCD是矩形，AB2，BC4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90到FP，连接AF、GF求四边形AEGF面积的最小值23（2022邗江区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BEDF（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若AB10，sinBAC=45求平行四边形ABCD的面积24（2022江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，连接BD，将ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为ABD

9、，旋转角为（0360且180）（1）在旋转过程中，当A落在线段BC上时，求AB的长；（2）连接AA、AB，当BAB90时，求tanAAD；（3）在旋转过程中，若DAA的重心为G，则CG的最小值 25（2022宝应县一模）如图，ABCD中，ADB2ABD，分别延长DA、BC至点E、F，使得AECF，连结BE、DF（1）求证：ABECDF；（2）连结BD，AB是DBE的平分线，求证：四边形BFDE是菱形26（2022江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC12，BD9，求ADE的

10、周长27（2022江都区校级模拟）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上（1）求证：BGDE；（2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长28（2022广陵区校级一模）如图，在RtABD中，BAD90，AB5，过点A作ACBD，垂足为C，且AC4，E是线段CD上一点，过E作EFAD，垂足为F（1）请直接写出AD的长为 ；（2）如图1，若点F在ABD的角平分线上，求DF的长；（3）如图2，连接CF，点G为点A关于CF的对称点连接DG，CG，当四边形CGDF中有两边互相平行时，求CE的长；连接AG交BD于点H，点H在点

11、E的上方，若BACEAH30，则HGAH= 29（2022扬州模拟）问题发现（1）如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 （2）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由2023年江苏省扬州市中考数学专题练7四边形参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（20

12、22高邮市模拟）已知正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（）A九B八C七D六【解答】解：根据题意可得，这个正多边形的边数是36040=9故选：A2（2022江都区二模）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图的方式叠放在一起，ABAF若AB3，BC9，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A15B14C13D12【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，ABCE，BE90，ADBC，AECF，四边形AGCH是平行四边形，在ABG和CEG中，B=EAGB=CGEAB=CE，ABGCEG（AAS），AGCG，四边形AGCH是菱形，

13、设AGCGx，则BGBCCG9x，在RtABG中，由勾股定理得：32+（9x）2x2，解得：x5，CG5，菱形AGCH的面积CGAB5315，即图中重叠（阴影）部分的面积为15，故选：A3（2022宝应县一模）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（）A45B1C75D2.5【解答】解：如图，连接BD，以点B为圆心，BC长为半径画圆，交BD于点P，此时DP有最小值，CDAB3，BC4，BCD90，BD=BC2+CD2=9+16=5，DPBDBP1，故选：B4（2022宝应县一模）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD

14、EF，则等于（）A50B55C60D65【解答】解：六边形ABCDEF的内角相等，FFAB=(6-2)1806=120，ADEF，F+FAD180，FAD180F60，FABFAD60故选：C5（2021江都区二模）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）AABBDBACBDCDAB90DAOB90【解答】解：A、ABBD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、ACBD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、DAB90，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项C不符合题意；D、AO

15、B90，则ACBD，平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D6（2022江都区校级模拟）菱形ABCD的两条对角线的长分别为10和24，则边AB的长为（）A10B12C13D17【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，AOB为直角三角形，且AC2AO，BD2BO，AO5，BO12，AB=OA2+OB2=13，故选：C7（2022江都区一模）如图，五边形ABCDE中，AEBC，则C+D+E的度数为（）A180B270C360D450【解答】解：过点D作DFAE，交AB于点F，AEBC，AEDFBC，A+B180，E+EDF180，CDF+C180，C+CDE+E360，故选：C8（2021

16、江都区模拟）如图：四个形状大小相同的等腰三角形ABE，ADF，CDG，BCH按如图摆放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH若AEBAFDCGDBHC120，且EH=6-2，则BC的长为（）A6+2B43-4C23D2【解答】解：ABE，ADF，CDG，BCH是四个形状大小相同的等腰三角形，ABEADFCDGBCH，EBHHCGGDFFAE，AFAEBEBHCHCGDGDF，AEFBEHCHGDGF，EFFGGHEH，AEBAFDCGDBHC120，CBHABE30，EBH30，BEHAEF75，HEF90，四边形EFGH是正方形，在BEH中，设BCx，连接EG并延长

17、交CD于点N，延长GE交AB于点M，BEM180457560，BEMAEM60，EMAB，且点M是AB的中点，BM=x2，ME=x2tan30，MNx=x2tan302+2(6-2)，解得：x23，故选：C9（2021扬州模拟）将一个边长为4的正方形ABCD分割成如图所示的9部分，其中ABE，BCF，CDG，DAH全等，AEH，BEF，CFG，DGH也全等，中间小正方形EFGH的面积与ABE面积相等，且ABE是以AB为底的等腰三角形，则AEH的面积为（）A2B169C32D2【解答】解：连接EG，向两端延长分别交AB、CD于点M、N，如图，ABE，BCF，CDG，DAH全等，ABE是以AB为底

18、的等腰三角形，AEBECGDG，EG是AB、CD的垂直平分线，MNAB，EMGN（全等三角形的对应高相等），四边形ABCD是正方形，BADADC90，四边形AMND是矩形，MNAD4，设MEx，则EG42x，中间小正方形EFGH的面积与ABE面积相等，12(4-2x)2=124x，解得，x1或x4（舍），ABE，BCF，CDG，DAH全等，AEH，BEF，CFG，DGH也全等，AEH的面积=S正方形ABCD-5SABE4=42-512414=32，故选：C10（2021仪征市二模）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大

19、的是（）ABCD【解答】解：A、S阴影248（cm2）；B、设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为16+(4-x)2由正方形的面积重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得16216+(4-x)2+4（4x）可求x=47-43，S重叠部分2247-43=167-163C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、S重叠部分=2(42+42-4)2=82-4故选：B11（2021高邮市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，C120，AD4，AB2，点H、G分别是边CD、BC上的动点连接A

20、H、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为（）A1B3-1C32D2-3【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作ANBC于N四边形ABCD是平行四边形，BCD120，D180BCD60，ABCD2，AMDMDC2，CDM是等边三角形，DMCMCD60，CMDMAM，MACMCA30，ACD90，AC23，在RtACN中，AC23，ACNDAC30，AN=12AC=3，AEEH，GFFH，EF=12AG，易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，AG的最大值为23，最小值为3，EF的最大值为3，最小值为32，EF的最大值与最小值的差为

21、32故选：C12（2021扬州模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（）A增加180B增加360C减少180D不变【解答】解：任意多边形的外角和都是360，若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变故选：D二填空题（共8小题）13（2022广陵区校级二模）如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG3：1，AB：BC2：1，则tanAHE的值为 15【解答】解：四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG3：1，AB：BC2：1，HEA+FEB90，FEB+EFB90，HEAEFB，HAEB，RtHAERtEBF，HAEB=AEFB=HEEF=13，同理可

22、得，GHDEFB，HGEF，GDHEBF，DHBF，DGEB，设AB2x，BCx，AEa，BF3a，则AHx3a，AEa，tanAHEtanBEF，即ax-3a=3a2x-a，解得：x8a，tanAHE=ax-3a=a8a-3a=15，故答案为：1514（2022仪征市一模）如图，在正方形ABCD中，BECF，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若AB2BH=23，则BG2-233【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB2BH=23，ABBCCDAD23，ABCC90，BECF，ABEBCF（SAS），BAECBF，ABH+CBF90，BAE+ABH90，AHB90，AB2BH

23、=23，BAE30，AHABcos303，BEABtan302，AE2BE4，ADEG，ADHEGH，ADEG=AHEH，即23EG=34-3，EG=233，BGBEEG2-233故答案为：2-23315（2022扬州一模）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N在BC、CD的延长线上，且CMDN3，连接BD并延长交MN于点P，则PM的长为 207【解答】解：过点P作PHCM于点H，如图所示：则有PHBPHM90，正方形ABCD的边长为1，且CMDN3，CDCB1，CNBM4，在正方形ABCD中，BCD90，NCMPHM，MM，NCMPHM，PH：NCMH：MC，设HMx，则BH4x，CBD4

24、5，且PHB90，BPH45，HPHB4x，4-x4=x3，解得x=127，MH=127，PHBH4-127=167，根据勾股定理，得PM=207，故答案为：20716（2022邗江区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为 4【解答】解：连接BD，延长BF、CD交于N，E，F分别是边AB，AD的中点，AB2BE，DFAF，SABFSDFB=12SABD=14S平行四边形ABCD，同理SBCE=14S平行四边形ABCD，SABFSBCE，SABFSBEMSBCESBEM，S四边形AEMFSBC

25、M，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABCD，NABF，在DNF和ABF中，DFN=AFBN=ABFDF=AF，DNFABF（AAS），DNABDC，BE=12AB=14CN，ABCD，BEMNCM，EMCM=BECN=14，SBEMSBCM=EMCM=14，BEM的面积为1，BCM的面积是4，即四边形AEMF的面积是4，故答案为：417（2022江都区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB2，点E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，ADB30，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当DEQ是直角三角形时，DF的长为 1或3或3-3【解答】解：四边形ABCD是

26、矩形，BAD90，AB2，ADB30AD23，点E是边AD的中点，DE=3，如图2，当DQE90时，点E是AD的中点，PEBD，ADB30PED60，由对称可得，EF平分PED，DEFPEF30，DEF是等腰三角形，DFEF，PEBD，ADB30，DE=3，QE=32，PEF30，EF1，DFEF21；如图3，PEBD，ADB30PED120，由对称可得，PFDF，EPED，EF平分PED，DEFPEF120，EFD30，DEF是等腰三角形，PEBD，QDQF=12DF，PEBD，ADB30DE=3，QE=32，QD=32，DF2QD3；DF的长为1或3；当DEQ90时，如图4，EF平分PED

27、，DEF45，过点F作FMAD于点M，设EMa，则FMa，DM=3a，3a+a=3，a=32-32，DF3-3，综上所述，当DEQ是直角三角形时，DF的长为1或3或3-3，故答案为：1或3或3-318（2022邗江区二模）已知一个正多边形的每个内角为120，则它是正六边形【解答】解：设此正多边形边数为x，根据题意，得（x2）180120x，解得x6，所以此图形是正六边形故答案为：六19（2021扬州模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是22【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点

28、E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2=12CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1P=12CF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2，BP122PB的最小值是22故答案是：2220（2022广陵区二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H

29、为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于16【解答】解：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ACBD为AD边上的中点，OH2，AD2OH4，菱形ABCD的周长4416故答案为：16三解答题（共9小题）21（2022广陵区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）（1）如图1，D是OC的中点，将AOD沿AD翻折后得到AED，AE的延长线交BC于F试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；求点F的坐标；（2）如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M、N

30、、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标【解答】（1）解：EFCF，理由如下：连接DF，由题意可知，AEDAOD90，DEF90，DEFDCF，D是OC的中点，ODOC，ODDE，DEDC，DFDF，DEFDCF（SAS），EFCF，解：DEFDCF，EDFCDF，ADF90，ADO+CDF90，ADO+OAD90，OADCDF，AODDCF，AODADF，AOOD=DCCF，CF=ODDCAO，A（0，6），C（8，0），D是OC的中点，AO6，ODDC4，CF=166=83，F（8，83）；（2）解：BC6，OC8，OB=62+82=10，设BMx，当点B为圆心时，则BMBN，ON2MB，

31、102xx，x=103，AM8-103=143，M（143，6），当点M为圆心时，则MBMN，过N作NGAB于G，则BGNBAO，GNAO=BGBA=BNBO，GN6=BG8=10-2x10，GN=35(10-2x)=6-65x，BG=45(10-2x)=8-85x，GM=8-85x-x=8-135x，x2=(8-135x)2+(6-65x)2，解得：x1=259，x2=5（舍去），AM=8-259=479，M（479，6），当点N为圆心时，则MNBN，BG=12BM，8-85x=12x，解得：x=8021，AM8-8021=8821，M（8821，6），综上所述，M点的坐标为（143，6），

32、（479，6），（8821，6）22（2022仪征市一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法【知识方法】（1）如图1，AEDE，BECE，DEAC交AC于点E，则AB与CD的关系是 ABCD，ABCD；【类比迁移】（2）四边形ABCD是矩形，AB2，BC4，点P是AD边上的一个动点如图2，过点C作CECP，CE：CP1：2，连接BP、DE判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、

33、DE，则DEF面积的最小值为 32；【拓展应用】（3）四边形ABCD是矩形，AB2，BC4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90到FP，连接AF、GF求四边形AEGF面积的最小值【解答】解：（1）如图1，延长AB交CD于H，AEDE，AEBDEC90，BECE，ABEDCE（SAS），CDEBAE，ABCD，BAE+ACDACE+CDE90，AHC90，ABCD，故答案为：ABCD，ABCD；（2）DEBP=12，BPDE，理由如下：如图2，延长ED，BP交于点H，AB2CD，BC4，CD：BC1

34、：2，CECP，CE：CP1：2，PCE90BCD，CDBC=CECP=12，BCPDCE，BCPDCE，DEBP=12，PBCCDE，PBC+CDHCDE+CDH180，BCD+H180，H90，BPDE；设PDx，PC2x2+CD24+x2，正方形PCEF的面积PC24+x2，DEF面积=12（4+x2）-122x=12（x1）2+32，当x1时，DEF面积的最小值为32，故答案为32（3）如图，由折叠的性质可得：BPPE，CPPF，CPFBPE90，CPBFPE，BCPEFP（SAS），EFBC4，CEFP90，FPCADC90，ADPF，ADEF，四边形AEGF面积=12EFAG2AG

35、，BPC+PBC90BPC+DPG，CBPDPG，又CD90，BCPPDG，BCPD=PCDG，DG=PC(2-PC)4=-(PC-1)2+14，当PC1时，DG有最大值14，即AG的最小值为154，四边形AEGF面积2154=15223（2022邗江区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BEDF（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若AB10，sinBAC=45求平行四边形ABCD的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD，AEBC，AFCD，AEBAFD90，在ABE和ADF中，AEB=AFDBE=DFB=D，AEBAFD（

36、ASA），ABAD，平行四边形ABCD是菱形；（2）解：如图，连接BD交AC于O，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，AOB90，AB10，sinBAC=OBAB=45，OB=45AB=45108，BD2OB16，OA=AB2-OB2=102-82=6，AC2OA12，S菱形ABCD=12ACBD=1212169624（2022江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，连接BD，将ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为ABD，旋转角为（0360且180）（1）在旋转过程中，当A落在线段BC上时，求AB的长；（2）连接AA、AB，当BAB90时，求ta

37、nAAD；（3）在旋转过程中，若DAA的重心为G，则CG的最小值97-43【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD矩形，AB3，AD4，CDAB3，BCAD4，C90，当A落在线段BC上时，由旋转得ADAD4，AC=AD2-CD2=42-32=7，ABBCAC4-7，AB的长为4-7（2）如图2，点B与点C在直线BD的同侧，作AEAD于点E，则AEA90，由旋转得BADBAD90，ADAD4，BAB90，BAD+BAB180，点B、A、D在同一条直线上，AEDBAD90，BD=AB2+AD2=32+42=5，AEAD=ABBD=35=sinADB，EDAD=ADBD=45=cosADB，AE=

38、35AD=354=125，ED=45AD=454=165，AEADED4-165=45，tanAAD=AEAE=12545=3；如图3，点B与点C在直线BD的异侧，作AEAD交AD的延长线于点E，则E90，由旋转得BADBAD90，ADAD4，BAB90，BADBAB，AD与AB重合，点B、A、D在同一条直线上，EDAADB，AEAD=sinEDAsinADB=ABBD=35，EDAD=cosEDAcosADB=ADBD=45，AE=35AD=125，ED=45AD=165，AEAD+ED4+165=365，tanAAD=AEAE=125365=13，综上所述，tanAAD3或tanAAD=1

39、3（3）如图4，在AD上截取DF=83，则DFDA=834=23，作DHAA于点H，在DH上截取DG=23DH，连接FG、CG，则DGDH=23，ADAD，H为AA的中点，DH为DAA的中线，点G为DAA的重心，DFDA=DGDH，FDGADH，DFGDAH，FGDAHD90，取DF的中点O，连接OC交O于点P，连接OG，则OGOPOD=12DF=1283=43，点G在以点O为圆心、半径为43的圆上运动，CG+OGOC，即CG+OGCP+OP，CG+43CP+43，CGCP，当CGCP时，CG的长最小，OC=OD2+CD2=(43)2+32=973，CPOCOP=973-43=97-43，CG

40、的最小值是97-43，故答案为：97-4325（2022宝应县一模）如图，ABCD中，ADB2ABD，分别延长DA、BC至点E、F，使得AECF，连结BE、DF（1）求证：ABECDF；（2）连结BD，AB是DBE的平分线，求证：四边形BFDE是菱形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，AECF，EDBF，又EDBF，四边形BFDE是平行四边形，BEDF，EF，在ABE和CDF中，BE=DFE=FAE=CF，ABECDF（SAS）；（2）证明：AB是DBE的平分线，ADB2ABD，EBDEDB，EBED，由（1）知：四边形BFDE是平行四边形，四边形BFDE是菱形

41、26（2022江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC12，BD9，求ADE的周长【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，DEBD，DEAC，四边形ACDE是平行四边形；（2）解：四边形ABCD是菱形，AC12，BD9，AO=12AC6，DO=12BD=92，ACBD，AOD90，CDAD=AO2+DO2=62+(92)2=152，由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，AECD=152，DEAC12，ADE的周长AD+AE+DE=152+152+122

42、727（2022江都区校级模拟）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上（1）求证：BGDE；（2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长【解答】解：（1）四边形EFGH是矩形，EHFG，EHFG，GFHEHF，BFG180GFH，DHE180EHF，BFGDHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBFEDH，在BGF和DEH中，GBF=EDHBFG=DHEGF=EH，BGFDEH（AAS），BGDE，（2）如图，连接EG，四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，E为AD中点，AEED，BGDE，AEBG，又AEB

43、G，四边形ABGE是平行四边形，EGAB，菱形ABCD的周长是20，AB5EG，四边形EFGH是矩形，FHEG528（2022广陵区校级一模）如图，在RtABD中，BAD90，AB5，过点A作ACBD，垂足为C，且AC4，E是线段CD上一点，过E作EFAD，垂足为F（1）请直接写出AD的长为 203；（2）如图1，若点F在ABD的角平分线上，求DF的长；（3）如图2，连接CF，点G为点A关于CF的对称点连接DG，CG，当四边形CGDF中有两边互相平行时，求CE的长；连接AG交BD于点H，点H在点E的上方，若BACEAH30，则HGAH=12【解答】解：（1）ACBD，ACB90，AB5，AC4

44、，BC=AB2-AC2=52-42=3，ABCABD，ACBBAD90，BACBDA，ABBD=ACAD=BCAB，5BD=4AD=35，BD=253，AD=203故答案为203（2）如图1中，作FHBD于HFABFHB90，FBAFBH，BFBF，FBAFBH（AAS），AFFH，BABH5，BD=253，DH=253-5=103，设AFFHx，则DF=203-x，在RtDFH中，DF2DH2+FH2，（203-x）2（103）2+x2，x=52，DF=203-52=256（3）如图21中，当DGCF时，设CF交AG于PA，G关于CF对称，AG垂直平分线段CF，APPG，APF90，PFDG

45、，APPG，AFDF，EFAB，DEBE=256，ECBECB=256-3=76如图22中，当DFCG时，CGAD，AFCFCG，FCGFCA，AFCACF，AFAC4，EFAB，BEBD=AFAD，BE253=4203，BE5，ECBEBC532，综上所述，满足条件的EC的值为2或76如图3中，设CF交AG于PACHAPC90，PCH+ACP90，ACP+PAC90，PCHPAC，设PACPCH，AFE90，AFE+PCE180，A，F，E，C四点共圆，FAEECF，设CAB，DAB90，EAG+90，EAG30，260，30，设PCk，则APPG=3k，PH=33k，GH=3k-33k=2

46、33k，AH=3k+33k=433k，GHAH=233k433k=12故答案为1229（2022扬州模拟）问题发现（1）如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为125（2）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图，过点C作CDAB于D，根据

47、点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在RtABC中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5，12ACBC=12ABCD，CD=ACBCAB=125，故答案为125；（2）如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作ENBC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MNEN最小；四边形ABCD是矩形，BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5，CEBD，12BDCF=12BCCD，CF=BCCDBD=125，由对称得，CE2CF=245，在RtBCF中，cosBCF=CFBC=35，sinBCF=45，在RtCEN中，ENCEsinBCE=24545=9625；即：CM+MN的最小值为9625

48、；（3）四边形AGCD的面积存在最小值，最小值为152，此时BF的长度为3理由：如图3，四边形ABCD是矩形，CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，S四边形AGCDSACD+SACG=12ADCD+12ACh=1243+125h=52h+6，要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，点G是以点E为圆心，BE1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，EGAC时，h最小，由折叠知EGFABC90，延长EG交AC于H，则EHAC，在RtABC中，sinBAC=BCAC=45，在RtAEH中，AE2，sinBAC=EHAE=45，EH=45AE=85，hEHEG=85-1=35，S四边形AGCD最小=52h+6=5235+6=152，过点F作FMAC于M，EHFG，EHAC，四边形FGHM是矩形，FMGH=35FCMACB，CMFCBA90，CMFCBA，CFAC=FMAB，CF5=353，CF1BFBCCF413即四边形AGCD的面积是最小值为152，此时BF的长度为3