24.9平面向量大题专练上海30题（重难点培优）（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.9平面向量大题专练上海30题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一解答题（共30小题）1（2018秋普陀区期中）如图：已知两个不平行的量a、b，先化简，再求作（5a+43b）2（2a-13b）（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）【分析】将原式化简为a+2b，再a的末尾画出2b，再首尾相连，即可得出a+2b【解析】（5a+43b）2（2a-13b）（5a-4a）

2、+（43b+23b）=a+2b画出向量a+2b，如图所示2（2021上海模拟）如图，已知两个不平行的向量a，b先化简，再求作：(12a+3b)-(32a+b)（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形【解析】(12a+3b)-(32a+b)=12a+3b-32a-b=-a+2b如图：AB=2b，BC=-a，则AC=-a+2b即AC即为所求3（2019秋浦东新区校级月考）如图，已知两个不平行的向量a和b，先化简，在求作：（7a-2b）5（a-12b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】去括号根据平面向量

3、的加法法则计算即可，再利用三角形法则作出2a+12b【解析】（7a-2b）5（a-12b）7a-2b-5a+52b2a+12b如图，AB即为所求4（2019秋奉贤区期中）已知：如图，在ABCD中，E、F分别是边DC、BC上的点，且3BF2BC，DE2CE（1）求证：EFBD；（2）设AB=a，AD=b，用向量a、b表示向量EF；【分析】（1）根据平行线截线段成比例进行求证；（2）利用三角形法则首先求得向量DB，然后用向量a、b表示向量EF【解答】（1）证明：3BF2BC，BFBC=23DE2CE，DECD=21DEDC=23BFBC=DEDC=23EFBD；（2）解：由（1）知，EFBD，BF

4、BC=DEDC=23，易得FE=13DBAB=a，AD=b，DB=-b+aEF=-13b+13a5（2019秋松江区期中）已知：如图，两个不平行的向量a和b先化简，再求作：3（a+b）-12（5a+2b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】先化简，作OA=2b，AB=12a，连接OB，OB即为所求【解析】3（a+b）-12（5a+2b）3a+3b-52a-b=12a+2b如图OB即为所求6（2018秋宝山区校级期中）如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E，使CEBC，点F为边AD的中点，联结AE、BF，AE与BF相交于点G，设AB=a，BC=b试直接用向量a、b表示向量A

5、E、BF、FG【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，CEBC，CE=AD=BC=bAFFD，AF=12b，BF=BA+AF=-a+12bAE=AB+BE=AB+2BC=a+2bAFBE，FGBG=AFBE=14，FG=15BF=15a-110b7（2018秋宝山区期中）如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E，使CEBC，点F为边AD的中点，连接AE、BF，AE与BF相交于点G，设AB=a，BC=b，试直接用向量a、b表示向量AE、BF和FG【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可【解析】四边形ABCD是平行四边

6、形，ADBC，ADBC，CEBC，CE=AD=BC=b，AFFD，AF=12b，BF=BA+AF=-a+12b，AE=AB+BE=a+2b， AFBE，FGBG=AFBE=14，FG=15FB=-15（-a+12b）=15a-110b8（2018秋松江区期中）已知：如图，两个不平行的向量a和b求作 （1）2a+b；（2）a-b（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】（1）如图1中，利用三角形法则，作AB=2a，BC=b，则AC即为所求；（2）如图2中，利用三角形法则，作DE=a，DF=b，则EF即为所求；【解析】（1）如图1中，AC即为所求；（2）如图2中，EF即为所求；9（201

7、8春宝山区期末）如图，在ABCD中，ABCD，ADBC，B60，AC平分DAB（1）求ACB的度数；（2）如果AD1，请直接写出向量DC和向量BC+CD+DA的模【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可；【解析】（1）CDAB，ADBC，四边形ABCD是等腰梯形，DABB60，AC平分DAB，CAB=12DAB30，B+CAB90，ACB90（2）CDAB，DCACABCAD30，ADCDBC1，在RtABC中，CAB30，ACB90，AB2BC2，BC+CD+DA=BA，向量DC和向量BC+CD+DA的模分别为1和210（2017秋金山区期末

8、）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设AB=a，AD=b，求向量MN关于a、b的分解式【分析】连接BD，可得MN=12DB，根据三角形法则求出DB即可解决问题【解析】如图连接BDDMCM，BNCN，MNBD，MN=12MN，DB=DA+AB=a-b，MN=12a-12b11（2017秋崇明区期末）如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D，已知AD5，BD4（1）求BC的长度；（2）如果AD=a，AE=b，那么请用a、b表示向量CB【分析】（1）首先证明BDDE4，再根据EDBC，可得DEBC=ADAB，由此即可解决问题；（2）首先

9、证明CB=95ED，只要求出ED即可解决问题；【解析】（1）BE平分ABC，ABECBE，EDBC，DEBCBE，ABEDEB，BDDE4，EDBC，DEBC=ADAB，又AD5，BD4AB9，4BC=59BC=365（2）EDBC，DEBC=ADAB=59，BC=95DE，又ED与CB同向，CB=95ED，AD=a，AE=b，ED=a-b，CB=95a-95b12（2017秋奉贤区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FGBC，交边DC于点G（1）求FG的长；（2）设AD=a，DC=b，用a、b的线性组合表示AF【分析】（1）根据

10、FGBC，可得DFDB=FGBC，求出DFDB的值即可解决问题；（2）首先求出AE，再证明AF=23AE即可解决问题；【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC2，ADBC，BEEC，BEAD=BFDF=12，FGBC，DFDB=FGBC=23，FG=23BC=43（2）AE=AB+BE=b+12a，BEAD，AF：AEDF：DB2：3，AF=23AE=13a+23b13（2017秋杨浦区期末）已知：如图，RtABC中，ACB90，sinB=35，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB2：3，DEBC（1）求DCE的正切值；（2）如果设AB=a，CD=b，试用a、b表示AC【分析】

11、（1）设AC3a，AB5a则BC4a想办法求出DE、CE，根据tanDCE=DECE即可解决问题；（2）根据AC=AD+DC，只要求出AD、DC即可解决问题；【解析】（1）ACB90，sinB=35，ACAB=35，设AC3a，AB5a则BC4aAD：DB2：3，AD2a，DB3aACB90即ACBC，又DEBC，ACDEDEAC=BDAB，CECB=ADABDE3a=3a5a，CE4a=2a5aDE=95a，CE=85a，DEBC，tanDCE=DECE=98（2）AD：DB2：3，AD：AB2：5，AB=a，CD=b，AD=25a，DC=-b，AC=AD+DC，AC=25a-b14（201

12、7秋闵行区期末）如图，已知向量a、b和p，求作：（1）向量3a+12b（2）向量p分别在a、b方向上的分向量【分析】（1）根据三角形法则画出图形即可；（2）应用平行四边形法则画出图形即可；【解析】（1）向量AC=-3a+12b，如图1中所示：（2）向量p分别在a、b方向上的分向量OF、OE如图所示；15（2018秋嘉定区期中）如图，已知两个不平行的向量a、b先化简，再求作：（4a-13b）2（a+13b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案利用三角形法则即可画出所求向量【解析】原式4a-13b-2a-23b=2a-b如图：AB=2a

13、，CB=b，则AC=2a-b16（2018春嘉定区期末）如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形，（1）填空：BA+AC=BC；ED-EA+CB=0；（2）求作：BC+AE【分析】（1）直接根据三角形法则即可求解，其中ABCD是平行四边形，则AD=BC；（2）AE=CD，利用平行四边形法则求解【解析】（1）填空：BA+AC=BC；ED-EA+CB=AD+CB=0；（2）BC+AE=BC+CD=BD，或OA+AB=OB所画图形如下所示：17（2017秋徐汇区校级期中）已知：如图，ABC中，点D是AC边上一点，且AD：DC2：1（1）设BA=a，BC=b先化简，再求作：（3a+b）（2a

14、+12b）（直接作在图中）（2）用xa+yb（x、y为实数）的形式表示BD【分析】（1）先化简，再利用三角形法则解决问题即可（2）首先求出AC，再根据AD：CD2：1，求出AD，根据BD=BA+AD计算即可解决问题【解析】（1）（3a+b）（2a+12b）3a+b-2a-12b=a+12b如图，延长CB到F，使得BF12BC，连接FA，FA即为所求（2）AC=CB+BA=a-b，AD：DC2：1，AD=23AC，AD=23（a-b），BD=BA+AD，BD=a+23（a-b）=53a-23b18（2017秋浦东新区期中）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设AB=a，A

15、D=b（1）求向量MN（用向量a、b表示）；（2）在图中求作向量MN在AB、AD方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得DB，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；（2）首先平移向量MN，然后利用平行四边形法则，即可求得答案【解析】（1）AB=a，AD=b，DB=AB-AD=a-b，点M、N分别为DC、BC的中点，MN=12DB=12a-12b；（2）作图：结论：AP、AQ是向量MN分别在AB、AD方向上的分向量19（2017秋浦东新区月考）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC

16、2，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，AE：EB2：1（1）求线段EF的长；（2）设AB=a，AD=b，试用a、b表示向量EC【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，求出OE、OF即可；（2）根据三角形法则EC=EB+BC，由此计算即可；【解析】（1）连接BD交EF于点OEOAD，AD3，AE：EB2：1EOAD=BEBA=13，EO1，同理OF=43，EF=73（2）EC=EB+BC，=13AB+23AD =13a+23b 20（2017秋杨浦区校级月考）如图，已知两个不平行的向量a，b先化简，再求作：(12a+2b)-(32a-b)（不要求写做法，但要之处所作图中表示结论的向量）【

17、分析】去掉括号，然后整理即可得解，再根据向量的三角形法则作出即可【解析】（12a+2b）（32a-b），=12a+2b-32a+b，3b-2a如图所示21（2018秋浦东新区期中）已知：如图，两个不平行的向量a和b先化简，再求作：（a+b）2（b-12a）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】先化简，然后利用三角形法则画出向量AC=2a-b即可；【解析】（a+b）2（b-12a）=a+b-2b+a=2a-b向量CA=2a-b如图所示：22（2018秋浦东新区期中）如图，已知梯形ABCD中，ABCD，对角线AC、BD相交于点O，CO=25AC（1）求：CDAB的值；（2）若AC=a

18、，BC=b，用向量a与b表示DC【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）根据AB=AC+CB，AC=a，BC=b，可得AB=a-b再根据DC=23AB，即可求出DC【解析】（1）CO=25AC，CO：OA2：3，CDAB，CDAB=OCOA=23（2）AB=AC+CB，AC=a，BC=b，AB=a-bDC=23AB，DC=23a-23b23（2017秋宝山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点M是CD中点，BM与AC相交于N，如果AB=a，AD=b，求MNBM的值，并试用a，b表示AC，MN【分析】根据平行线分线段成比例定理，已经三角形法则即可解决问题；【解析】四边形AB

19、CD是平行四边形，CDAB，CDAB，DMCM，AB2CM，MNBN=CMAB=12，MNMB=13，AC=AD+DC，DC=AB=a，AD=b，AC=a+b，MB=MC+CB，MC=12a，CB=-b，MB=12a-b，MN=13MB，MN=16a-13b24（2019春浦东新区期末）如图，已知点E在四边形ABCD的边AB上，设AE=a，AD=b，DC=c（1）试用向量a、b和c表示向量DE，EC；（2）在图中求作：DE+EC-DA（不要求写出作法，只需写出结论即可）【分析】（1）由AE=a，AD=b，DC=c，直接利用三角形法则求解，即可求得答案；（2）由三角形法则可得：DE+EC-DA=

20、DC-DA=AC，继而可求得答案【解析】（1）AE=a，AD=b，DC=c，DE=AE-AD=a-b；EC=DC-DE=c-（a-b）=c-a+b；（2）DE+EC-DA=DC-DA=AC如图：AC即为所求25（2018春黄浦区期末）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AB上，设AE=a，AD=b，DC=c，再用图中的线段作向量，（1）写出与AD平行的向量DA、BC和CB（2）试用向量a、b、c表示向量DE、EC.DE=a-b；EC=c-a+b（3）求作DE+EC+AD【分析】（1）与AD平行的向量即与AD共线的向量；（2）根据三角形法则填空；（3）利用三角形法则将DE+EC+AD转化为AC

21、，然后解答【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，与AD平行的向量有：DA、BC和CB故答案是：DA、BC和CB（2）DE=AE-AD=a-b，即DE=a-b；EC=DC-DE=c-a+b，即EC=c-a+b故答案是：a-b，c-a+b；（3）DE+EC+AD=AD+DE+EC=AC，AC为所求作向量26（2018春浦东新区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BEDF，AB=a，BC=b，AF=c（1）用向量a、b、c表示下列向量：向量CE=-c，向量BD=a-b，向量DE=a-c；（2）求作：b+c【分析】（1）根据平面向量的加法法则计算即

22、可；（2）延长EC到K，使得CKEC，连接BK，则向量BK即为所求；【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，ADFCBE，DFBE，ADFCBE，AFDCEB，AFCE，AFBCED，AFCE，CE=-EC=-AF=-c，BD=BC+CD=b-a，DE=DC+CE=a-c，故答案为-c，b-a，a-c（2）延长EC到K，使得CKEC，连接BK，则向量BK即为所求；27（2018春浦东新区期末）如图，已知平行四边形ABCD，BA=a，BC=b（1）AC=-a+b；（用a，b的式子表示）（2）BD=b+a；（用a，b的式子表示）（3）若ACBD，|AC|4，|BD|6，则|A

23、C+BD|213【分析】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题；（3）利用勾股定理计算即可；【解析】（1）AC=AB+BC=-a+b；（2）BD=BC+CD=b+a；（3）ACBD，|AC|4，|BD|6，|AC+BD|213故答案为-a+b，a+b，21328（2018秋浦东新区期中）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，AD2BD，已知BA=a，BC=b（1）用向量a、b分别表示向量BE、AE；（2）作出向量DC分别在EC、BE方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）【分析】（1）由平行线分线段成比例的性质可知DE=23BC，则DE=23BC=23b，由于B

24、D=13BA=13a，AD=23AB=-23a，根据向量加法的三角形法则即可求出向量BE、AE；（2）作DFBE交AC于F，由平行线分线段成比例的性质可知向量DC分别在EC、BE方向上的分向量【解析】（1）DEBC，AD2BD，DEBC=ADAB=23，DE=23BC，（2分）DE与BC方向相同，DE=23BC=23b，（2分）BD=13BA=13a，BE=BD+DE=13a+23b（2分）AD=23AB=-23a，AE=AD+DE=-23a+23b（2分）（2）作出的图形中，DC在EC方向上的分向量，FC=AB+BC-23AE=-a+b-23（-23a+23b）=-59a+59b，BE方向上

25、的分向量DF=23BE=23（13a+23b）=29a+49b29（2017秋虹口区校级月考）如图，已知点M是ABC边BC上一点，设AB=a，AC=b（1）当BMMC=2时，AM=13a+23b；（用a与b表示）（2）当AM=47a+37b时，BMMC=34；（3）在原图上作出AM在AB、AC上的分向量【分析】（1）根据三角形法则=AB+BM，只要求出BM即可；（2）由题意可得BM=37（b-a）=37BC，推出BM：BC3：7，即可解决问题；（3）根据平行四边形法则即可解决问题；【解析】（1）BC=BA+AC=b-a，BM：CM2，BM=23（b-a），AM=AB+BM=a+23b-23a=

26、13a+23b故答案为13a+23b（2）AM=AB+BM=47a+37b，BM=37（b-a）=37BC，BM：BC3：7，BM：MC3：4，故答案为34（3）如图所示：AM在AB、AC上的分向量分别为AE，AF30（2017春闵行区期末）已知：如图，平行四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AECG，BFDH（1）写出与AB相反的向量；（2）写出与FG平行的向量；（3）在图中求作EF-EH（不要求写出作法，只需写出结论即可）【分析】（1）根据相反的向量的定义即可判断；（2）根据的平行的向量的定义即可判断；（3）利用三角形法则，HF即为所求【解析】（1）与AB相反的向量为BA、CD； （2）与FG平行的向量有GF、EH、HE；（3）图中向量HF即为所求