3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时）（教学设计） - 【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第一册).docx

1、 3.2.1单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性 教学设计 本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第三章函数的概念与性质的第二节函数的基本性质。以下是本章的课时安排：第一节第二节第三节第四节课时内容函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用（一）所在位置教材第60页教材第76页教材第89页教材第93页新教材内容分析以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合-对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（

2、小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.核心素养培养通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升

3、直观想象的核心素养.通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础.通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.教学主线函数的图象从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是从各种函数关系中，研究它们的共同属性；从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在

4、一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力；从学生的学习心理上看，学生头脑中有一些函数性质的实例，但并没有上升到“概念”的水平，对函数单调性的“定性”、“定量”描述有一些难度，学习本节内容，学生易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得新知识是学号本节课的情感基础。1.了解函数的单调区间、单调性等概念，培养学生数学抽象的核心素养；2.会划分函数的单调区间，会利用图象判断函数的单调性，提升直观想象的核心素养；3.会用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理的核心素养。重点：1、函数单调性的定义；2、函数单调性的判断和证明。难点：根据定义证明函数单调性（一）新知导入1. 创设情境，生成问题德国有一位著名

5、的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.【探究1】 (1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？【提示】(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值

6、y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.2. 探索交流，解决问题【探究2】 作出函数 y=x+2, y=-x+2, y=x2, y=1x 的图象，指出函数的变化趋势.【提示】随着x的增大，函数y=x+2呈上升趋势；y=-x+2呈下降趋势；y=x2在-，0上呈下降趋势，在0，+上呈上升趋势；y=1x在-，0，0，+上呈下降趋势.【思考1】这种变化趋势反映了函数的什么性质？【提示】 这是函数的单调性，增函数与减函数。【设计意图】通过探究，引导学生发现函数的变化趋势，并能用数学方法表示出函数的变化趋势，提高学生用数学抽象的思

7、维方式思考并解决问题的能力。（二）函数的单调性1.增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1) 如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数(2)如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数 注意：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1f(3)()3

8、若函数yf(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数yf(x)是增函数()4若函数yf(x)在区间D上是增函数，则函数yf(x)在区间D上是减函数()【答案】 【做一做】 如图是定义在-5,5上的函数图象， 根据图象得到函数的单调递增区间是： ；单调递减区间是： 。【探究3】一次函数、二次函数及反比例函数具有怎样的单调性？【提示】(1)一次函数ykxb的单调性由参数k决定：当k0时，该函数在R上是增函数；当k0时，该函数在R上为减函数(2)反比例函数y(k0)的单调性如下表所示：k的符号单调区间k0在(，0)，(0，)上单调递减k0在(，0)，(0，)上单调递增(3)二次函数yax2bxc(a

9、0)的单调性以对称轴方程x为分界线a0在上单调递增，在上单调递减a0在上单调递减，在上单调递增【设计意图】 通过增函数与减函数的概念学习，使学生理解单调性研究函数的变化趋势，提高解决问题的能力。（三）利用函数图象求函数的单调区间例1.作出函数yx22|x|3的图象并指出它的单调区间解析根据绝对值的意义，y x22|x|3.作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(，1，0,1上是增函数；函数在区间(1,0)，(1，)上是减函数【变式】将本例函数改为f(x)|x22x3|，求f(x)的单调区间解析令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴

10、下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1【类题通法】 求函数单调区间可以根据函数的图象在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间(1) 函数单调区间的两种求法图象法即先画出图象，根据图象求单调区间定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解(2) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现 两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D

11、上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有【巩固练习1】已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.【解析】f(x)=x|x-2|=x(x-2),x2,x(2-x),xfx2，函数fxx在(0,1)上是减函数【类题通法】定义法判断函数单调性的四个步骤【巩固练习2】根据定义，研究函数f(x)在x(1,1)上的单调性解析当a0时，f(x)0，在(1,1)上不具有单调性，当a0时，设x1，x2为(1,1)上的任意两个数，且x1x2，所以f(x1)f(x2)因为x1，x2(1,1)且x10，x110，x210，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f

12、(x1)f(x2)，所以f(x)在(1,1)上单调递减，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a Da3函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)为增函数，当x(，2时，函数f(x)为减函数，则m等于()A4 B8C8 D无法确定4. 函数f(x)|x1|的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案： 1.A 2.D 3.B 4.1，)(，1【设计意图】 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（八）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固函数的单调性，树立用函数的单调性解决相关问题的意识。完成教材：第79页 练习 第2，3，4题 第85 页 习题3.2 第1,2,3，8题