4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

1、4.4数学归纳法【考点梳理】考点一数学归纳法1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k1)也为真结论：P(n)为真3. 数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或

2、证明)了当nn0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k1)也为真只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n01)真P(k)真，P(k1)真，从而完成证明【题型归纳】题型一：数学归纳法证明恒等式1（2022广西北海高二期末（理）用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（）A1BCD2（2021全国高二专题练习）已知nN*，求证122232(2n1)(2n)22n(2n1)2n(n1)(4n3)3（2019河南南阳中学高二阶段练习（理）已知，使等式对都成立，（1）猜测，的值；（2）用数学归纳法证明你的结论

3、.题型二：数学归纳法证明整除问题4（2021河南高二阶段练习（理）用两种方法证明：能被49整除5（2018全国高二课时练习）用数学归纳法证明：(1)能被264整除；(2)能被整除（其中n，a为正整数）6（2017江苏南通高二期中）用数学归纳法证明：（）能被9整除.题型三：数学归纳法证明数列问题7（2022全国高二课时练习）已知数列中，其中，且从条件与条件，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题(1)求，并猜想的通项公式；(2)证明（1）中的猜想8（2022全国高二课时练习）设数列满足，且(1)计算，猜测的通项公式，并加以证明(2)求证：9（2022广西百色高二期末（理）已知数列的前项

4、和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.题型四：数学归纳法证明不等式10（2021全国高二单元测试）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记.（1）求数列和的通项；（2）当时，比较与大小并证明结论.11（2019山西吕梁高二期末（理）给出下列不等式：，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.12（2019江苏常州高二期中（理）（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.【

5、双基达标】一、单选题13（2022上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立14（2022浙江嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（）ABCD15（2022陕西西安高二期中（理）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（）A项B项Ck项D1项16（2022全国高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A假设时命题成立B假设时命题成立C假设时命题成立D假设时命题成立17（20

6、22河南南阳高二期末）设正项数列的首项为4，满足(1)求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想18（2022河南邓州市第一高级中学校高二期末（理）设，(1)当时，试比较与1的大小；(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明【高分突破】一：单选题19（2022全国高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（nN*）”时，由假设nk（k1，kN“）不等式成立，推证nk+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+120（2021江苏高二专题练习）用数学归纳法证明1aa2 (a1，nN*)，在验证当n1时，左边计算所得的式子是（）A

7、1B1aC1aa2D1aa2a421（2021全国高二课时练习）用数学归纳法证明“1aa2a2n1”在验证n1时，左端计算所得项为（）A1aB1aa2C1aa2a3D1aa2a3a422（2022全国高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A若成立，则成立B若成立，则当时，均有成立C若成立，则成立D若成立，则当时，均有成立23（2021江苏高二课时练习）用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)时，若记f(n)n(n1)(n2)(3n2)，则f(k1)f(k)等于（）A3k1B3k1C8kD9k24（2021江苏高二

8、课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk（）Aa1(k1)dBCka1dD(k1)a1d25（2021全国高二专题练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（）ABCD二、多选题26（2022全国高二专题练习）已知一个命题p(k)，k2n(nN*)，若当n1，2，1000时，p(k)成立，且当n1001时也成立，则下列判断中正确的是（）Ap(k)对k528成立Bp(k)对每一个自然数k都成立Cp(k)对每一个正偶数k都成立Dp(k)对某些偶数可能不成立27（2022全国高二课时练习）用数学归纳法

9、证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（）A1B2C3D428（2021全国高二专题练习）数列满足，则以下说法正确的为（）ABC对任意正数，都存在正整数使得成立D29（2022全国高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A若成立，则成立B若成立，则当时，均有成立C若成立，则成立D若成立，则当时，均有成立30（2022全国高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：当时，不等式成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，所以当时，不等式成立.上述证法（）A过程全部正确B时证明正确C过程全部不正确

10、D从到的推理不正确31（2022全国高二课时练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）ABC凸n边形的内角和为D凸n边形的对角线条数三、填空题32（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期中）若函数，且，则_.33（2022全国高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知_时该命题不成立34（2022全国高二课时练习）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式_成立即可35（2022全国高二专题练习）已知数列an的前n项和为

11、Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.36（2021全国高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)1.”证明第二步归纳递推时，用到f(k1)f(k)_.37（2020全国高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是_四、解答题38（2022广西桂林市第十九中学高二期中（理）设数列满足(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式39（2022广西桂林市国龙外国语学校高二）请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题： 已知数

12、列的前项和为，且，_.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.40（2022北京北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，且，成等差数列，成等比数列.(1)求，及，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.41（2022江西赣州高二期中（理）已知数列满足，前n项和(1)求，的值并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明（1）的猜想42（2022上海格致中学高二阶段练习）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列已知，(1)设，求数列的通项公式；(2)设，请用数学归纳法证明：【答案详解】1B【分析】将代入不等式左边，比较两式

13、即可求解.【详解】当时，等式为，当时，增加的项数为,故选:B.2证明见解析【分析】直接用数学归纳法的步骤，一步步的证明即可.【详解】(1)当n1时，左边41814127右边(2)假设当nk(kN*，k1)时成立，即122232(2k1)(2k)22k(2k1)2k(k1)(4k3)则当nk1时，122232(2k1)(2k)22k(2k1)2(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)(2k2)(2k1)(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)2(k1)(6k7)(k1)(k2)(4k7)(k1)(k1)14(k1)3，即当nk1时成立由(1)(2)可知，对一切nN*结论

14、成立3（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过举例：得到三元一次方程组求解并猜测，；（2）代入，的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可.【详解】(1)假设存在符合题意的常数，在等式中，令，得 令，得令，得由解得 ，于是，对于都有（*）成立(2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数，（*）式都成立（1）当时，由上述知，（*）成立（2）假设时，（*）成立，即那么当时，由此可知，当时，（*）式也成立综上所述，当时题设的等式对于一切正整数都成立【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由到时,除等式两边变化的项外还要利用时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.4证明见解析

15、.【分析】分别利用二项式定理与数学归纳法进行证明即可.【详解】证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除方法二：（1）当时，能被49整除（2）假设当，能被49整除，那么，当，因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除5(1)见解析(2)见解析【分析】利用数学归纳法进行证明，注意数学归纳法的格式（1）当时，-264能被264整除，成立；当时，假设能被264整除；当时，能被264整除，命题正确.（2）当时，能被整除，成立；当时，假设能被整除；当时，能被整除.6详见解析.【详解】试题分析：利用数学归纳法的步骤首先验证n=1时成立，然后假设 命题

16、成立，验证 等式成立即可.试题解析：（1）当时，能被9整除，所以命题成立（2）假设当时命题成立，即（）能被9整除那么，当时，由归纳假设（）能被9整除及是9的倍数所以能被9整除即时，命题成立由（1）（2）知命题对任意的均成立点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.7(1)，；(2)证明见解析.【分析】

17、(1)分别取代入计算出，并根据计算的结果猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明即可.（1）选条件，由题意可得，同理可得，猜想()选条件，由题意可得，同理可得，猜想（）（2）显然当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即（），当时，由，可得=（），即当时，猜想成立，综上所述，（）8(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据递推公式，计算并猜想，利用数学归纳法证明即可.（2）由（1）得，利用放缩法当时，然后裂项相消即可证明不等式.（1）因为，所以，猜测证明如下：当时，显然成立假设当时成立，即，则当时，即当时，结论成立综上所述，（2）由（1）知，所以，故得证9(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1

18、）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.(1)因为且.所以，解得，因为，所以，解得.由，猜想：.(2)当时，等式成立；假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设，得，所以，则.因此，所以.这就证明了当时命题成立.由可知：命题对任何都成立.10（1）；（2）；证明见解析；【分析】（1）由1，成等比数列，结合等比数列的性质可得，从而可求；1，2这个数成等差数列利用等差数列的性质可得从而可求（2）由（1）可求，转化比较，的大小，先取，8，9代入计算，观察与的大小，做出猜想，利用数学归纳法

19、进行证明【详解】（1），2成等比数列，2成等差数列，所以，数列的通项，数列的通项 （2），要比较和的大小，只需比较与的大小，也即比较当时，与的大小当时，得知，经验证，时，均有命题成立猜想当时有用数学归纳法证明 当时，已验证，命题成立假设时，命题成立，即，那么，又当时，有，这就是说，当时，命题成立根据、，可知命题对于都成立故当时，【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识和性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11（1）（2）见解析【分析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解；（2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证.【详

20、解】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为： （2）证明：当时显然成立；假设时结论成立，即：成立，当时， 即当时结论也成立.由可知对任意，结论都成立.【点睛】本题考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.12（1）见解析； （2）见解析.【分析】（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；（2）利用数学归纳法的步骤证明.【详解】（1）在等式 中令得；令得；令得；由解得对于都有 成立.下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.当时，由上所述知式成立；假设当时式成

21、立，即 ， 那么当时， 综上：由得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等式对于一切正整数都成立. （2）证明：当时，左式，右式，所以左式右式，则时不等式成立；假设当时不等式成立，即，那么当时， 下面证明当时，.设 ，则所以在上单调增，所以即时，.因为，所以则 因为所以由得那么时不等式也成立.综上：由可得对任意 .【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时注意利用假设条件，利用数学归纳法证明不等式时注意放缩.13B【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立【详解】解：若已假设（，k为偶

22、数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立故选：B14D【分析】求出时，不等式的左边，再求出当时，不等式的左边，得到当时，即可推出不等式的左边比时增加的项 .【详解】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D15A【分析】时，左边的最后一项为，时，最后一项为，由此可得由到时，左边增加的项数【详解】由题意，时，不等式左边，最后一项为，时，不等式左边，最后一项为，由变到时，左边增加了项,故选：A16C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立故选：C1

23、7(1)，；(2)见解析【分析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.(1)由可得，又，则，则，猜想；(2)由（1）得，当时，当时，猜想显然成立；假设当时成立，即；当时，猜想成立，由知猜想恒成立，即.18(1)；(2)当，时，有，证明见解析.【分析】（1）求出的值即得；（2）利用数学归纳法证明即得.(1)，(2)猜想：当，时，有证明：当时，猜想成立假设当（，）时猜想成立，当，则，即，当时，猜想成立.由知，当，时，有19C【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.【详解】在用数学归纳法证明“（

24、nN*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C20B【分析】将n1时，代入左边即可得出选项.【详解】当n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a，故选：B.21C【分析】将n1代入即得.【详解】由知，当时，等式的左边是.故选：C.22D【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；再根据题意可得若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)4成立，则当k3时，均有f(k)k+1成立，故B错误；根据

25、题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.23C【分析】根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)k(k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，则f(k1)f(k)3k13k3k1k8k.故选：C.24C【分析】只需把公式中的n换成k即可【详解】假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d.故选: C25B【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可.【详解】由题意，所以.故选：B.26AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】

26、由题意知p(k)对k2，4，6，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD27CD【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.【详解】当时，不合要求，舍去当时，不合要求，舍去；当时，符合题意，当时，符合题意，下证：当时，成立，当时，成立，假设当时，均有，解得：当时，有，因为，所以成立，由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD28ABCD【分析】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为，由得到结果；对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A，若，则，又，

27、可知，又，A正确；对于B，由已知得：，B正确；对于C，由及A中结论得：，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；对于D，（i）当时，由已知知：成立，（ii）假设当时，成立，则，又，即，综上所述：当时，D正确.故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.29AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立

28、时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD30BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.31BC【分析】A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.【详解】A：，显然时有，故当

29、n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，所以当时命题不成立，故满足要求；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.故选：BC.32【分析】由，可得与表达式，又，得到，可得：，即可解出原式.【详解】可得.又，.则=故答案为：336【分析】根据已知的命题，可以假设 时成立，可得到 时命题成立，故利用反证的思想可得答案.【详解】由题意可知， 时，该命题不成立，那么时该命题一定不成立，否则时该命题成立，那么时，该命题也成立，故答

30、案为：634【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，故只需证明“”成立即可故答案为：.35Sn【分析】根据Snn2an，首先求出S1，S2，S3，S4，观察即可求解.【详解】S11，S2，S3，S4，猜想Sn.故答案为：Sn36k1【分析】从目标f(n)1分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论.【详解】f(k)1，f(k1)1，f(k1)f(k) k1，f(k1)f(k)(k1)故答案为：k1.37【分析】先列举出当时，左边的式子，再令，则左边最后一项为，通过对比即可求出添加项【详解】当时，所假设的不等式为，当时

31、，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故答案为：38(1)， ，猜测(2)见解析【分析】（1）根据递推公式求出，再根据即可得出猜想；（2）利用数学归纳法证明即可.(1)解：由题意得，时，得，时，得，故，猜测；(2)证明：当时，即猜测成立；假设时，猜测成立，即，则时，由，得，所以时也成立，综上可得，成立39(1)(2)猜想，证明见解析【分析】（1）选择条件，分别令，3，4，能够求出，选择条件，分别令，2，3，能够求出，（2）由（1）猜想数列的通项公式：，检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立(1)解：选择条件，当 时，即，当 时，所以，即，当 时，即，故分别为3，5，7.选择条件，当

32、 时， 当 时，.当 时，故分别为3，5，7.(2)解：猜想，理由如下：选择条件时，由题知，猜想成立，假设时，则，所以两式相减得：即所以，时成立，综上所述，任意，有选择条件时，由题知，猜想成立，假设时，则所以，时成立，综上所述，任意，有40(1)，猜想：，证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据题意可得：，分别令求解，猜想：，利用数学归纳法证明猜想；（2）利用进行放缩，结合裂项相消证明(1)根据题意可得：，令，则，可得令，则，可得令，则，可得猜想：当，成立假定当，当时，即，则，即，则成立(2)即41(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，猜想可得；（2）利用数学归纳法的步骤证明即可.(1)，前n项和，令，得，令，得，令，得，猜想(2)用数学归纳法给出证明如下当时，结论成立；假设当(，)时，结论成立，即，则当时，即，当时结论成立由可知，对一切都有成立42(1)(2)见解析【分析】（1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；（2）先利用题意和等比数列求出，再利用数学归纳法可以证明.(1)（1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为，由，得，解得，.故数列的通项公式为.(2)解：由（1）得，又，且，所以；当时，等式成立.假设当时等式成立，即，当时，等式成立.根据和可以断定对任何的都成立.