7.3 与三角形有关的线段【八大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题7.3 与三角形有关的线段【八大题型】【苏科版】【题型1 三角形的分类】1【题型2 判断三角形的个数】3【题型3 三角形三边关系的应用】5【题型4 三角形的稳定性】7【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】9【题型6 三角形的中线与面积问题】11【题型7 三角形的中线与周长问题】14【题型8 证明三角形中线段不等关系】17【知识点1 三角形的概念】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【知识点2 三角形的分类】按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形 【题

2、型1 三角形的分类】【例1】（2021秋漳平市期中）下列说法正确的有（）等腰三角形是等边三角形；三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；等腰三角形至少有两边相等；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形ABCD【分析】根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；根据等腰三角形的定义进行解答；根据三角形按角分类情况可得答案【解答】解：有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，错误；三角形按边分可分为

3、不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，错误；两边相等的三角形称为等腰三角形，正确；三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，正确故选：C【变式1-1】（2021秋威县期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A甲、乙两种分法均正确B甲分法正确，乙分法错误C甲分法错误，乙分法正确D甲、乙两种分法均错误【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确【解答】解：甲正确的分类应该为，乙分法正确；故选：C【变式1-2】（2021秋阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）AM表示三

4、边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形BM表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形CM表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形DM表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案【解答】解：三角形根据边分类如下：三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形；故选：B【变式1-3】（2021秋静安区期末）下列说法错误的是（）A任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D任

5、意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可【解答】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；故选：B【题型2 判断三角形的个数】【例2】（2021蒙阴县校级开学）如图中三角形的个数是（）A3B4C5D6【分析】结合图形写出所有的三角形，得到答案【解答】解：图中有ABE、ABC、BCE、BCD、CED共5个，故选：C【变式2

6、-1】（2022春建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形【解答】解：ABC、ABE、ABF、ABD四个三角形是以AB为边的三角形，故选：D【变式2-2】（2021秋安徽期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A3B4或5C6或7D8【分析】根据三角形的定义，先得出三角形的个数再根据三角形的分类，得出锐角三角形的个数【解答】解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时，共有33311个三角形；又三角

7、形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形；故还有11533个锐角三角形故选：A【变式2-3】（2022秋饶平县校级期末）观察图形规律：（1）图中一共有 个三角形，图中共有 个三角形，图中共有 个三角形（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有 个三角形【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可【解答】解：（1）如图所示：图中一共有3个三角形，图中共有6个三角形，图中共有10个三角形故答案为：3，6，10；（2）1+23，1+2+36，1+2+3+410，第n个图形共有：1+2+3+（n+1）

8、=(n+1)(n+2)2故答案为：(n+1)(n+2)2【知识点3 三角形的三边关系】三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形【题型3 三角形三边关系的应用】【例3】（2022平桂区二模）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）你认为同学们最多能做出（）个不同的三角形木架A1B2C6D10【分析】根据三角形的三

9、边关系列出不等式组，判断即可【解答】解：设从10cm的小木棍上裁剪的线段长度为xcm，则95x9+5，即4x14，整数x的值为5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm，同学们最多能做出6个不同的三角形木架，故选：C【变式3-1】（2022春秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（）A7B10C11D14【分析】分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可【解答】解：选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；768

10、7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；83108+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+611，不能构成三角形，此种情况不成立；选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+414，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，故选：B【变式3-2】（2022襄州区模拟）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）A2个B4个C6个D8个【分析】首先设三角形第三边长为x，根据三角形的三

11、边关系可得95x5+9，解不等式可得x的取值范围，再根据周长是偶数确定x的值，进而可得答案【解答】解：设三角形第三边长为x，由题意得：95x5+9，解得：4x14，周长是偶数，x6，8，10，12，共4个故选：B【变式3-3】（2021秋祁阳县期末）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形的个数为（）A6个B8个C10个D12个【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案【解答】解：三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，列举法：当4是最大边时，有（1，4，4），（2，3，4），（2，4，4）

12、，（3，3，4），（3，4，4）当4是中间的边时，有（2，4，5），（3，4，5），（3，4，6）共8个，故选：B【知识点4 三角形的稳定性】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性这一特性主要应用在实际生活中.【题型4 三角形的稳定性】【例4】（2021春左权县月考）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性【解答】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性故答

13、案为：三角形的稳定性【变式4-1】（2021秋云梦县月考）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（）ABCD【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故C符合题意；A、B、D不是三角形，故选项不符合题意故选：C【变式4-2】（2021秋龙岩期末）下列图形中，不具有稳定性的是（）ABCD【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可【解答】解：A、不具有稳定性，故此选项符合题意；B、具有稳定性，故此选项不符合题意；C、具有稳定性，故此选项不合题意；D、具有稳定性，故此选项不符

14、合题意；故选：A【变式4-3】（2021秋岚皋县校级月考）要使如图所示的六边形木架不变形，则至少需要钉上木条的根数为（）A1B2C3D4【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有633条对角线，所以至少要钉上3根木条故选：C【知识点5 三角形的角平分线、中线和高】（1） 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形一边的中点

15、与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点【题型5 三角形的角平分线、中线和高线概念辨析】【例5】（2022春泗县期中）如图，在ABC中，12，G为AD的中点，延长BG交AC于EF为AB上的一点，CFAD于H下列判断正确的有（）AAD是ABE的角平分线BBE是ABD边AD上的中线CCH为ACD边AD上的高DAH为ABC的角

16、平分线【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是ABE的角平分线，故本选项错误；B、根据三角形的中线的概念，知BG是ABD的边AD上的中线，故本选项错误；C、根据三角形的高的概念，知CH为ACD的边AD上的高，故本选项正确；D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是ABC的角平分线，故本选项错误故选：C【变式5-1】（2021春镇江期中

17、）如图，ABC的角平分线AD与中线BE相交于点O，有下列两个结论：AO是ABE的角平分线：DE是ADC的中线，其中（）A只有正确B只有正确C和都正确D和都不正确【分析】易得BADCAD，AECE，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可【解答】解：ABC的角平分线AD与中线BE相交于点O，BADCAD，AECE，在ABE中，BADCAD，AO是ABE的角平分线，故正确；在ADC中，AECE，DE是ADC的中线，故正确；故选：C【变式5-2】（2022春静安区期中）下列判断错误的是（）A三角形的三条高的交点在三角形内B三角形的三条中线交于三角形内一点C直角三角形的三条高的交点在直角顶点D三角形的三

18、条角平分线交于三角形内一点【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意故选：A【变式5-3】（2021秋茶陵县期末）下列说法中，正确的个数是（）三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；直角三角形只有一条高；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交

19、于一点A1B2C3D4【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上【解答】解：三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误所以正确的有1个故选：A【题型6 三角形的中线与面积问题】【例6】（2022春广州期中）如图，ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AF

20、G的面积是（）A9B9.5C10.5D10【分析】根据中线的性质，可得：AEF的面积=12ABE的面积=14ABD的面积=18ABC的面积3，AEG的面积3，根据三角形中位线的性质可得EFG的面积=14BCE的面积3，进而得到AFG的面积【解答】解：点D是BC的中点，AD是ABC的中线，ABD的面积ADC的面积=12ABC的面积，同理得：AEF的面积=12ABE的面积=14ABD的面积=18ABC的面积=18243，AEG的面积3，BCE的面积=12ABC的面积12，又FG是BCE的中位线，EFG的面积=14BCE的面积=14123，AFG的面积是339，故选：A【变式6-1】（2022春邗江

21、区校级期中）如图，在ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF2BF，若SBCF2cm2，则SABC（）A3B6C8D12【分析】根据EF2BF，SBCF2cm2，求得SBEC3SBCF6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得SBDESCDE=12SBEC3cm2，从而求出SABDSACD2SBDE6cm2，再根据SABC2SABD计算即可得解【解答】解：如图，EF2BF，SBCF2cm2，SBEC3SBCF326cm2，D是BD的中点，SBDESCDE=12SBEC3cm2，E是AD的中点，SABDSACD2SBDE6cm2，SABC2SABD12cm2

22、，ABC的面积为12cm2，故选：D【变式6-2】（2021秋潮安区期末）如图，AD是ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A4B2C6D8【分析】根据AD是ABC的中线，点E是AD的中点，得出三角形EDC的面积+三角形AEB的面积与三角形ABC的面积的关系即可【解答】解：AD是ABC的中线，SABDSACD=12SABC，点E是AD的中点，SABESBDE=12SABD，SEDCSCAE=12SACD，SABE=14SABC，SCDE=14SABC，SABE+SCDE=14SABC+14SABC=12SABC=128=4，故选：A【变式6-

23、3】（2022春泰兴市校级月考）如图，在ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，SABC48，则SDEF的值为 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答【解答】解：连接CD，如图所示：点D是AG的中点，SABD=12SABG，SACD=12SAGC，SABD+SACD=12SABC24，SBCD=12SABC24，点E是BD的中点，SCDE=12SBCD12，点F是CE的中点，SDEF=12SCDE6故答案为：6【题型7 三角形的中线与周长问题】【例7】（2021秋乳山市校级月考）在ABC中，BC，AD为BC边的中线，ABD的周长与ADC的周

24、长相差3，AB8，则AC 【分析】根据三角形的中线的定义可得BDCD，然后求出ABD与ADC的周长差，然后代入数据计算即可得解【解答】解：如图：AD为BC边的中线，BDCD，ABD与ADC的周长差为3，AB8，BC，CABDCADC（AB+AD+BD）（AC+AD+CD）ABAC8AC3，解得AC5故答案为：5【变式7-1】（2021秋涧西区校级期中）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，ADC的周长比ABD的周长多2，AB+AC8，则AC的长为 【分析】根据三角形的中线的定义得到BDDC，根据三角形的周长公式得到ACAB2，根据题意列出方程组，解方程组得到答案【解答】解：AD是BC边上的中

25、线，BDDC，由题意得，（AC+CD+AD）（AB+BD+AD）2，整理得，ACAB2，则AC-AB=2AB+AC=8，解得，AC=5AB=3，故答案为：5【变式7-2】（2021春芙蓉区校级月考）ABC中，AC2BC，BC边上的中线AD把ABC的周长分成40和60两部分，求BC的长【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BDCD，设BDCDx，ABy，则AC4x，再分ACD的周长是60与ABD的周长是60两种情况进行讨论即可【解答】解：AD是BC边上的中线，AC2BC，BDCD，设BDCDx，ABy，则AC4x，分为两种情况：AC+CD60，AB+BD40，则4x+x60，x+y40，解得：x

26、12，y28，即BC2x24，AB28，AC4x48，BC+AB24+2852AC，此时符合三角形三边关系定理；AC+CD40，AB+BD60，则4x+x40，x+y60，解得：x8，y52，即AC4x32，AB52，BC2x16，AC+BC32+1648AB，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：BC24【变式7-3】（2022秋重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB10cm，AC6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等（1）求线段AE的长（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+12DE的值【分析】（1）设AExcm，根据三角形BDE与四边形A

27、CDE的周长相等列方程，解方程即可；（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案【解答】解：（1）三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，BD+DE+BEAC+AE+CD+DE，BDDC，BEAE+AC，设AEx cm，则BE（10x）cm，由题意得，10xx+6解得，x2，AE2cm；（2）图中共有8条线段，它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC2AB+AC+2BC+DE，由题意得，2AB+AC+2BC+DE53，2BC+DE53（2AB+AC）53（210+6）27，BC+12DE=272（cm）【题型8 证明三角形中线段不等关

28、系】【例8】（2022春鼓楼区期末）如图，P为ABC内任意一点，求证：AB+ACPB+PC【分析】首先延长BP交AC于点D，再在ABD中可得PB+PDAB+AD，在PCD中，PCPD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论【解答】证明：延长BP交AC于点D，在ABD中，PB+PDAB+AD在PCD中，PCPD+CD+得PB+PD+PCAB+AD+PD+CD，即PB+PCAB+AC，即：AB+ACPB+PC【变式8-1】（2021春嵩县期末）如图所示，D是ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求

29、解【解答】解：AB+BC+AC2BD理由如下：在ABD中，AB+ADBD，在BCD中，BC+CDBD，AB+AD+BC+CD2BD，即AB+BC+AC2BD【变式8-2】（2022春台江区校级期末）如图，在ABC中，已知BAC70，ABC和ACB的平分线相交于点D（1）求BDC的度数；（2）试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程【分析】（1）先由三角形内角和定理求出ABC+ACB110，再由角平分线的定义求出CBD+BCD55，然后由三角形内角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三边关系得：DA+DBAB，DB+DCBC，DA+DCAC，则2（DA+DB+DC）A

30、B+BC+AC，即可得出结论【解答】解：（1）BAC70，ABC+ACB18070110，ABC和ACB的平分线相交于点D，ABDCBD=12ABC，ACDBCD=12ACB，CBD+BCD=12（ABC+ACB）=1211055，BDC180（CBD+BCD）18055125；（2）DA+DB+DC12（AB+BC+AC），理由如下：在ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DBAB，同理：DB+DCBC，DA+DCAC，+得：2（DA+DB+DC）AB+BC+AC，DA+DB+DC12（AB+BC+AC）【变式8-3】（2021秋饶平县校级期中）在锐角三角形ABC中，ABAC，AM为中线，P为AMC内一点，证明：PBPC（如图）【分析】在AMB与AMC中，AM是公共边，BMMC，且ABAC，根据在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，得出AMBAMC而AMB+AMC180，则AMC90由于P为锐角AMC内一点，过点P作PHBC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上【解答】证明：在AMB与AMC中，AM是公共边，BMMC，且ABAC，AMBAMC，AMC90过点P作PHBC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上如果H在线段MC内部，则BHBMMCHC所以PBPC