[31555229]专题04 情景应用题（引导学生由“解题”向“解决问题”方向转.docx

1、专题04 情景应用题-引导学生由“解题”向“解决问题”方向转变数学应用就是在实际问题情境中,发现问题并转化为数学问题,继而选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题数学应用范广泛,在历年高考中以不同的题型和形式进行考查,常考常新,极具创新性,特别是近年高考数学试题不断贯彻落实新课标对数学应用的要求,贴近生活实际、关注社会热点,考查学生数学建模的核心素养,引导学生由“解题”向“解决问题”方向转变.数学应用问题情景新,信息量大,难就难在对情景问题的抽象建模上,数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程,主要包括:在实际情况中从数学的视角发现问题、提出问

2、题、分析问题、构建模型求解结论验证结果并改进模型,最终解决实际问题,数学建模是中学生必备的数学核心素养之一,反过来,有些问题的解决也需要找出它的原始出处的原形,让数学建模为解决数学问题服务,本讲通过对下面高考真题进行分析,帮助同学们了解试题背景,归纳数学模型,从而提高解答数学应用题方面的能力.题型一：以三角为载体的数学建模1（2021江西高三月考（理）为了测量一个不规则湖泊两端之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点的正东方向上，且四点在同一水平面上从点处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上（1）求之间的距离；（2）以

3、点为观测点，求点的方位角【答案】（1）；（2）北偏东方向上【详解】（1）由已知得，所以在中，由正弦定理得同理，在中，所以，由正弦定理得可以计算出，在中，所以（2）作由（1）知，所以，即点在点的北偏东方向上2（2021江苏泰州高三期中）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都在直线l上，水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示，其中在三角形ABC中，记（单位：10m）（1）求的值；（2）因安全因素

4、考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过（单位：10m），求实数a的取值范围【答案】（1）（2）（1）解：设，则，所以在和中，分别利用余弦定理得：，所以所以（2）解：根据题意，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过，即过点作于点，连接，要使尽可能的大，则点摩天轮同一竖直线上，且在直线的上方部分，且在点的右侧，如图.设则所以，令，则（其中），所以，即，所以，解得所以实数a的取值范围.题型二:以数列为载体的数学建模1（2021全国高二课时练习）下图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）试求第个

5、图形的周长和面积.【答案】周长为：，面积为：【详解】解：设第个图形的边长为由题意知，从第个图形开始，每一个图形边长均为上一图形边长的，即，是一个以为首项，为公比的等比数列从第个图形开始，每一个图形的边数都是上一个图形边数的倍，第个图形边数为：第个图形的周长为：设第个图形的面积为，则故第个图形的周长为，面积为：.2（2021全国高二课时练习）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设年内(本年度为第

6、一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式.【答案】，【详解】根据题意可知，第1年投入800万元，第2年投入万元，第n年投入万元，所以总投入.同理，第1年收入400万元，第2年收入万元，第n年收入万元，所以总收入.综上，.3（2021山西运城高三期中（文）下列关于星星的图案构成一个数列，对应图中星星的个数.（1）写出，的值及数列的通项公式；（2）求出数列的前项和；（3）若，对于（2）中的，有，求数列的前项和.【答案】（1），（2）（3）（1）由图形可知，.（2）由（1）得，则，（3），数列的前项和为当时，当时，则；题型三：以立体几何为载体的数学建模1（2021江西九江市柴桑区第一中

7、学高三月考（理）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，平面（1）求证：；（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：平面，平面，又，平面，平面，平面，又平面（2）解：法一：如图，以为坐标原点，分别以，为，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则法二：如图，在中，由得，在中，由得，在中，由得在中，由得，在中，由，得，设点到平面的距离为，由，得，即，设直线与平面所成的角为，则2（2021全国模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建

8、筑”之一，如图1所示蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，再分别以，为轴将，分别向上翻转，使，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值【答案】（1）；（2）；【详解】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和，再减去6个直

9、角梯形中的两个非直角内角和，即蜂房曲顶空间的弯曲度为.（2）设底面正六边形的边长为1，如图所示，连接AC，SH，则，设点在上底面ABCDEF的射影为O，则,令，则，菱形SAHC的面积，的面积为，令正六棱柱的侧面积为定值时，蜂房的表面积为，令得到，经研究函数的单调性，得到函数在处取得极小值，此时，在中，令，由余弦定理得,顶点的曲率为，其余弦值为.题型四：以统计案例为载体的数学建模1（2021全国高二单元测试）我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外

10、天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系已知第天的报名人数为，则关于的线性回归方程为_，该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：有兴趣无兴趣合计男生45550女生302050合计7525100请根据上面的列联表，在概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别_(填“有”或”无”)关系参考

11、公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；，其中0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】 有 【详解】解：由题意，计算，所以，所以关于的线性回归方程为，由列联表数据可得因为，所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”故答案为：（1）；（2）有2（2022全国高三专题练习）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“

12、卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流大束流高能特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，.求批次芯片的次品率；第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智

13、能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【详解】（1）批次

14、芯片的次品率为.设批次的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由己知得，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.（2）个芯片中恰有个不合格的概率.因此，令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.由（1）可知，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立22列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100根据列联表得.因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.题型五：以数学期望为载体的数学建模1（2020广东新会华侨中学高三月考（理）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木

15、、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取次，若取出的两行为“生的次数记为，则与的值分别为（ ）ABCD【答案】C【详解】设从五行中随机任取两行为“生”的事件为则依题意，随机变量服从二项分布，有，故故选:2（2021广东中山高二期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等

16、可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，

17、8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.求的分布列：高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？【答案】（1）；（2）答案见解析，能盈利.【详解】解：(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则；(2)，记第7层从左向右的空隙编号为，的取值分别为1,2,3,4,5,6,7，则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6，且 ，X的取值可为1，2，3，4，5，6，X的分布列为X123456P，的可能取值为0，5，10，15，.小明同学能盈利.题型六：以现实热点为背景的数学建模1（2021四

18、川川大附中高一期中）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量若某型号的火

19、箭发动机的喷射速度为千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度（千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题意，代入可得故故选：A2（2021山东肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流大束流高能特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片

20、制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，.求批次芯片的次品率；第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率

21、为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【详解】（1）批次芯片的次品率为.设批次的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由己知得，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.（2）个芯片中恰有个不合格

22、的概率.因此，令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.由（1）可知，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立22列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100根据列联表得.因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.3（2021上海徐汇高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin23x+(A0,00，A=2，f(x)=2sin23x+，将点（1，-2）代入得：-2=2si

23、n23+sin23+=-1，0，23+23,53)，23+=32=56，f(x)=2sin23x+56，易知g(x)与f(x)关于x轴对称，所以g(x)=-2sin23x+56.（2）由（1）g(x)=-2sin23x+56=-2sin23x+3+2=-2cos23x+3g(x)+g(x+1)+g(x+2)=-2cos23x+3-2cos23x+-2cos23x+23+=-2cos23x+3+2cos23x+2cos23x+23=-2cos23x12-sin23x32+2cos23x+2cos23x-12-sin23x32=0.即定值为0.4（2021天津南开中学高一期末）2021年6月17日

24、，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为. （1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，

25、即共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）具体见解析；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）如图1，分别是点M、N在线段AC上的投影，则为AO的中点，为OC的三等分点.所以，所以,所以AMON，如图2，又因为平面BDN，ON平面BDN，所以AM平面BDN.（2）以O为原点，分别以所在方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则,设，所以, 若OE平面BDN，则，即时，OE平面BDN.（3）设内切圆半径为r，由题意可知是等腰直角三角形，所以，因为，所以，设平面的法向量为，则，令x=1，则，同理可得平面的法向量，所以，由图可知二面角为锐角，则其余弦值为.（4）将矩形PQRS作为参照物，不妨设顺时针旋转，则，即，所以易知y轴平面PQRS，则平面PQRS的一个法向量为，设与平面PQRS所成角为，所以若，则；若，令，则，所以，当且仅当即时，.