《2015届备考》2015全国名校数学试题分类解析汇编（1月第二期）：N单元选修4系列.docx

1、N单元 选修4系列目录N单元 选修4系列1N1 选修4-1 几何证明选讲1N2 选修4-2 矩阵8N3 选修4-4 参数与参数方程8N4 选修4-5 不等式选讲14N5 选修4-7 优选法与试验设计20N1 选修4-1 几何证明选讲【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】15. 如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】4【解析】连接OC，BE，如下图所示：则圆O的直径AB=8，BC=4，OBC为等边三角形，COB=60又直线l

2、是过C的切线，故OC直线l又AD直线lADOC故在RtABE中A=COB=60AE=AB=4【思路点拨】连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BEAE，直线l是过C的切线，故OC直线l，OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】22（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于（）求证：；（）求证：【知识点】与圆有关的比例线段；圆周角定理N1【答案】【解析】（）见解析；（）见解析。 解

3、析：()证明：、四点共圆2分且, ,4分5分()由()得,又,所以与相似,，7分又,，根据割线定理得，9分10分【思路点拨】（）根据A，B，C，D 四点共圆，可得ABC=CDF，AB=AC可得ABC=ACB，从而得解;（）证明BADFAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合）

4、，DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT（）求证：；（）若，试求的大小【知识点】几何证明选讲N1【答案】【解析】（） 略；（）30 解析：（）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理，得，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，则，所以 （）由（1）可知，且，故，所以；根据圆周角定理得，则 .【思路点拨】掌握圆的切割线定理及圆的性质是本题解题的关键.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆

5、O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT（）求证：；（）若，试求的大小【知识点】几何证明选讲N1【答案】【解析】（） 略；（）30 解析：（）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理，得，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，则，所以 （）由（1）可知，且，故，所以；根据圆周角定理得，则 .【思路点拨】掌握圆的切割线定理及圆的性质是本题解题的关键.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线

6、上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT（）求证：；（）若，试求的大小【知识点】几何证明选讲N1【答案】【解析】（） 略；（）30 解析：（）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理，得，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，则，所以 （）由（1）可知，且，故，所以；根据圆周角定理得，则 .【思路点拨】掌握圆的切割线定理及圆的性质是本题解题的关键.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】22（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不

7、与点重合）,延长至,延长交的延长线于（）求证：；（）求证：【知识点】与圆有关的比例线段；圆周角定理N1【答案】【解析】（）见解析；（）见解析。 解析：()证明：、四点共圆2分且, ,4分5分()由()得,又,所以与相似,，7分又,，根据割线定理得，9分10分【思路点拨】（）根据A，B，C，D 四点共圆，可得ABC=CDF，AB=AC可得ABC=ACB，从而得解;（）证明BADFAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】22（本小题满分10分）选

8、修4-1几何证明选讲已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于（）求证：；（）求证：【知识点】与圆有关的比例线段；圆周角定理N1【答案】【解析】（）见解析；（）见解析。 解析：()证明：、四点共圆2分且, ,4分5分()由()得,又,所以与相似,，7分又,，根据割线定理得，9分10分【思路点拨】（）根据A，B，C，D 四点共圆，可得ABC=CDF，AB=AC可得ABC=ACB，从而得解;（）证明BADFAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（

9、201501）】22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲切线与圆切于点，圆内有一点满足，的平分线交圆于，延长交圆于，延长交圆于，连接（1）证明：/； （2）求证：【知识点】几何证明选讲N1【答案】【解析】(1)略；(2)略 解析：（1）证明：AB切圆于B，又AB=AC， ，ACD=AEC，又AEC=DGF，ACD=DGF，ACFG;（2）证明：连接BD，BE，BG 由AB=AC，BAD=CAD及AD=AD，知，同理有，BDE=CDE，BE=CE,BE=EG，EC=EG.【思路点拨】本题主要考查圆的性质，三角形全等及相似，处理圆中的问题时，要注意挖掘相等的角，发现三角形的相似关系与全

10、等关系进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲切线与圆切于点，圆内有一点满足，的平分线交圆于，延长交圆于，延长交圆于，连接（1）证明：/； （2）求证：【知识点】几何证明选讲N1【答案】【解析】(1)略；(2)略 解析：（1）证明：AB切圆于B，又AB=AC， ，ACD=AEC，又AEC=DGF，ACD=DGF，ACFG;（2）证明：连接BD，BE，BG 由AB=AC，BAD=CAD及AD=AD，知，同理有，BDE=CDE，BE=CE,BE=EG，EC=EG.【思路点拨】本题

11、主要考查圆的性质，三角形全等及相似，处理圆中的问题时，要注意挖掘相等的角，发现三角形的相似关系与全等关系进行解答.N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】16.直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】2【解析】圆C的极坐标方程为=2cos（+），2=cos-sin，x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，圆C是以M（，-）为圆心，1为半径的圆化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x-y+4=0，

12、 圆心M（，-）到直线l的距离为d=5， 要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，-）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为=2【思路点拨】将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值三、解答题（本大题共6小题，共75分）【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】23（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线的极

13、坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】（）；（）。 解析：（）曲线的极坐标方程可化为 2分又，所以曲线的直角坐标方程为4分 （）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 6分 令，得，即点的坐标为(2，0) 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则 8分所以10分【思路点拨】（）曲线C的极坐标方程可化为，又代入即可得出；（）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得，可得M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则利用即可

14、得出|MN|的最大值【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为()写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；()设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积.【知识点】参数方程 极坐标N3【答案】【解析】() ，;() 解析：() 直线l的参数方程为,即(t为参数) ，由,得cossin，所以2cossin，2x2y2，cosx，siny，.()把代入.得，|PA|PB|t1t2|.故点P到点A、B两点的距离之积为.【思路点拨】理解直线的参数

15、方程中参数的几何意义是本题解答的关键.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为()写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；()设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积.【知识点】参数方程 极坐标N3【答案】【解析】() ，;() 解析：() 直线l的参数方程为,即(t为参数) ，由,得cossin，所以2cossin，2x2y2，cosx，siny，.()把代入.得，|PA|PB|t1t2|.故点P到点A、B两点的距离之积为.【思路点

16、拨】理解直线的参数方程中参数的几何意义是本题解答的关键.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为()写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；()设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积.【知识点】参数方程 极坐标N3【答案】【解析】() ，;() 解析：() 直线l的参数方程为,即(t为参数) ，由,得cossin，所以2cossin，2x2y2，cosx，siny，.()把代入.得，|PA|PB|t1t2|.故点P到点A、B两点的距

17、离之积为.【思路点拨】理解直线的参数方程中参数的几何意义是本题解答的关键.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为（1，5），点的极坐标为（4，），若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，4为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）试判定直线与圆的位置关系.【知识点】参数方程 极坐标N3【答案】【解析】(1) ，（t为参数）， ；(2) 相离 解析：(1)直线l的参数方程是,即，（t为参数），点M的直角坐标为(

18、0,4),圆C的直角坐标方程为，将代入整理得极坐标方程是；（2）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线l和圆C相离.【思路点拨】由参数方程或极坐标方程判断位置关系部方便时，可先化成普通方程或直角坐标方程再进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为（1，5），点的极坐标为（4，），若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，4为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）试判定

19、直线与圆的位置关系.【知识点】参数方程 极坐标N3【答案】【解析】(1) ，（t为参数）， ；(2) 相离 解析：(1)直线l的参数方程是,即，（t为参数），点M的直角坐标为(0,4),圆C的直角坐标方程为，将代入整理得极坐标方程是；（2）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线l和圆C相离.【思路点拨】由参数方程或极坐标方程判断位置关系部方便时，可先化成普通方程或直角坐标方程再进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】13. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系若曲线经过曲线的

20、焦点，则实数的值为_。【知识点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】4 解析：由曲线得y2=2ax，（a0），由，消去参数t可得xy2=0，曲线经过曲线曲线的焦点，由可得，故答案为：4【思路点拨】将直线的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，即可得出结论N4 选修4-5 不等式选讲【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围【知识点】绝对值不等式.N4【答案】【解析】-7x11 解析： a0，b0 且 +=(a+b)( +)=5+

21、9，故+的最小值为9，5分因为对a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分当 x-1时，2-x9， -7x-1，当 -1x时，-3x9， -1x，当 x时，x-29， x11， -7x11 10分【思路点拨】先利用基本不等式求出+的最小值，然后结合不等式恒成立的条件即可求出x的取值范围。【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲对于任意的实数和，不等式恒成立，记实数的最大值是。()求m的值； ()解不等式知识点】不等式选讲N4【答案】【解析】()2； ()

22、x 解析：() 不等式恒成立，即不等式对任意实数a（a0）和b恒成立。由于,当且仅当（a+b）(a-b) 0时取等号,所以有,所以m=2;.() 由(1)得，不等式等价于，解得，即 所以不等式的解集为x.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，解绝对值不等式可先分段讨论取绝对值，再进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲对于任意的实数和，不等式恒成立，记实数的最大值是。()求m的值； ()解不等式知识点】不等式选讲N4【答案】【解析】()2； ()

23、x 解析：() 不等式恒成立，即不等式对任意实数a（a0）和b恒成立。由于,当且仅当（a+b）(a-b) 0时取等号,所以有,所以m=2;.() 由(1)得，不等式等价于，解得，即 所以不等式的解集为x.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，解绝对值不等式可先分段讨论取绝对值，再进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲对于任意的实数和，不等式恒成立，记实数的最大值是。()求m的值； ()解不等式知识点】不等式选讲N4【答案】【解析】()2； ()

24、x 解析：() 不等式恒成立，即不等式对任意实数a（a0）和b恒成立。由于,当且仅当（a+b）(a-b) 0时取等号,所以有,所以m=2;.() 由(1)得，不等式等价于，解得，即 所以不等式的解集为x.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，解绝对值不等式可先分段讨论取绝对值，再进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围【知识点】绝对值不等式. N4【答案】【解析】-7x11 解析： a0，b0 且 +=(a+b)( +

25、)=5+9，故+的最小值为9，5分因为对a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分当 x-1时，2-x9， -7x-1，当 -1x时，-3x9， -1x，当 x时，x-29， x11， -7x11 10分【思路点拨】先利用基本不等式求出+的最小值，然后结合不等式恒成立的条件即可求出x的取值范围。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，对，恒成立，求的取值范围【知识点】绝对值不等式. N4【答案】【解析】-7x11 解析： a0，b0 且 +=(a+b

26、)( +)=5+9，故+的最小值为9，5分因为对a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分当 x-1时，2-x9， -7x-1，当 -1x时，-3x9， -1x，当 x时，x-29， x11， -7x11 10分【思路点拨】先利用基本不等式求出+的最小值，然后结合不等式恒成立的条件即可求出x的取值范围。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求函数的值域（2）求不等式:的解集【知识点】绝对值不等式N4【答案】【解析】(1) 3,3 ;(2

27、) 解析：(1)由题意得，当2x5时，32x73，所以3f(x) 3,则函数的值域为3,3；(2)由(1)可知，当x2时的解集为空集，当2x5时，的解集为，当x5时，的解集为，综上得不等式的解集.【思路点拨】解绝对值不等式通常先分段讨论去绝对值，再对各段求解，最后求各段上的解集的并集即可. 【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求函数的值域（2）求不等式:的解集【知识点】绝对值不等式N4【答案】【解析】(1) 3,3 ;(2) 解析：(1)由题意得，当2x5时，32x73，所以3f(x) 3,则函数的值域为3,3；(2)由(1)可知，当x2时的解集为空集，当2x5时，的解集为，当x5时，的解集为，综上得不等式的解集.【思路点拨】解绝对值不等式通常先分段讨论去绝对值，再对各段求解，最后求各段上的解集的并集即可. N5 选修4-7 优选法与试验设计